2025-2026学年甘肃省兰州市城关区九年级上学期第三次学情自测数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年甘肃省兰州市城关区九年级上学期第三次学情自测数学试卷（学生版），共18页。试卷主要包含了图中的影子是中心投影的有，方程的根的情况为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，它的主视图是（ ）
A.B.
C.D.
2.观察如图每组图形，是相似图形的是（ ）
A.B.
C.D.
3.用配方法解方程，方程变形为的形式时，的值是（ ）
A.7B.C.3D.
4.图中的影子是中心投影的有（ ）
A.0个B.1个C.2个D.3个
5.我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A.测量是否有三个角是直角B.测量对角线是否相等
C.测量两组对边是否分别相等D.测量对角线是否互相垂直
6.如图，与位似，点是它们的位似中心，若，的面积为，则的面积为（ ）
A.B.C.D.
7.方程的根的情况为（ ）
A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根D.没有实数根
8.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（和）门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是多少寸？（1尺寸）设单门的宽度是尺，则所列方程为（ ）
A.B.
C.D.
9.如图，是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．下列结论：①；②；③；④中，正确的有（ ）个．
A.1B.2C.3D.4
10.如图，四边形是菱形，对角线交于点O，E是边的中点，过点E作，点F，G为垂足，若，则的长为（ ）
A.5B.6.5C.10D.12
二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11.若反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________．
12.已知，则代数式的值为________．
13.如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____．
14.如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形，，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形，连接BB′，若AB＝2，则线段的长度为_______．
三．解答题：（本大题共11个小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.解一元二次方程：．
16.解方程：
17.如图，在中，，平分，，．求证：四边形是矩形．
18.魔术师在今年央视春晚中表演的纸牌魔术让我们感受到魔术的神奇，很多对此兴趣的学者很快就解开了扑克牌魔术背后的数学秘密．下面请你尝试用数学知识解答下面的问题：把一副普通扑克牌中的四张：黑桃2，红心3，梅花4，黑桃5，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是方块6是______事件；（填“必然”“不可能”或“随机”）；
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用画树状图法或列表法，求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．
19.如图，育才学校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教学楼在建筑物的墙上留下高的影子，而当光线与地面夹角是时，教学楼顶点A在地面上的影子点F与墙角点C有的距离（B，F，C在同一条直线上，结果精确到，参考数据：，，）
（1）求教学楼的高度；
（2）请你求出点A，E之间的距离．
20.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的．
（2）以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在平面直角坐标系中画出．
（3）①点的坐标为 ．②求的面积．
21.在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点．
（1）求k与m的值：
（2）直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积．
22.一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为(单位：小时)．
（1）求关于的函数解析式；
（2）若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？
23.阅读下面的材料，回答问题：方程一个一元四次方程，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解①得．
当时，，，；
当时，，．
∴原方程的解为，，，．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到 的目的(填“降次”或“消元”)，体现了数学的转化思想；
（2）仿照上面的方法，解方程．
24.我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”．
（1）如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ；
（2）如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”；
（3）若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值．
25.如图在平面直角坐标系中，已知直线交轴负半轴于点；直线交轴正半轴于点，且这两条直线与轴交于同一点A．
（1）求的长．
（2）作的垂直平分线交线段于点，交轴于，连接交轴于点，若的长为，求与的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，过点作轴的平行线，连接交于，连接，若当时，，求点的坐标．