2025-2026学年甘肃省兰州市九年级上学期期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年甘肃省兰州市九年级上学期期末数学试卷（学生版），共8页。试卷主要包含了下列各数中，最小的数为，如图，在菱形中，，，则的度数是，著名数学家华罗庚说过等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中，最小的数为（ ）
A.2B.﹣3C.0D.﹣2
2.米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ）
A.B.
C.D.
3.如图，在菱形中，，，则的度数是（ ）
A.B.C.D.
4.如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连接，交线段于点P．若要使点P把线段分成的两条线段，则（ ）
A.只有方法1对B.只有方法2对C.方法1，2都对D.方法1，2都错
5.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A.（1）处可填B.（2）处可填
C.（3）处可填D.（4）处可填
6.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
7.已知点，都在反比例函数的图象上，若，则（ ）
A B.
C.D.
8.一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点，点，点，则点D的坐标是（ ）
A.B.C.D.
9.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（ ）
A B.C.D.
10.著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数的图象，那么无论为何值，函数值恒为正的条件是（ ）
A.B.
C.D.
11.如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值为（ ）
A.B.2.5C.D.
二．填空题（本题共4小题，每题3分，共12分）
12 如图，，添加一个条件_______使得．
13.抛物线的顶点坐标是__________．
14.已知是方程的一个根，则________．
15.在中，，点C在线段上，过点C作于点E，于点F，使得四边形为正方形，此时，则阴影部分面积为______．
三．解答题（本题共11小题，共75分）
16.选择适当的方法解下列方程．
（1）
（2）
17.（1）计算：．
（2）求中锐角α的值．
18.如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题：
（1）利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若交于点，，，求的长．
19.某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元．
（1）根据题意，填表：
（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？
20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，的取值范围；
（3）点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标．
21.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，分别过点B、点C作CO，BO的平行线交于点E，连接AE交BD于点H，交BC于点F．
（1）求证：四边形OCEB是矩形；
（2）若BF=1，求菱形ABCD的周长．
22.爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．黄老师周末到附近的山区爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从山脚A出发，沿走420米到达B点，再沿到山顶C点，已知山高为360米，，，交的延长线于点F，，．（图中所有点均在同一平面内）
（1）求的长；
（2）求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，）
23.酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．
（1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？
（2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率．
24.掷实心球是丰都中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示、掷出时，起点处高度为1.9m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.5m处.
（1）求y关于x函数表达式：
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分，该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由.
25.利用尺规作图将一个角三等分已经被数学家证明不可能完成，但是数学家帕普斯利用反比例函数图象完成了将一个角三等分，具体方法如下：
第一步：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点；
第二步：以为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点；
第三步：分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接，得到（如图1），这时．为什么呢？小静想要证明这个结论却没有思路，老师便组织同学们进行了研究讨论．
讨论后有以下思路：分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点（如图2），此时，四边形便构成了一个矩形；如果我们能再证明三点共线，就可以利用矩形性质证明这个结论了．研究讨论后，小静采用代数设点，设，．请你和小静一起完成下列问题．
（1）请你写出坐标（用含的式子表示）；
（2）请你在第（）问的基础上证明三点共线；
（3）请证明．
26.四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上．
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由．
每件利润（元）
销售量（件）
利润（元）
降价前
44
20
880
降价后
①
②