福建省福州市闽侯县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题含答案解析

这是一份福建省福州市闽侯县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题含答案解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．要使二次根式有意义，的值可以是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．1，1，
C．6，8，11D．5，12，23
3．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（ ）
A．当时，是菱形
B．当时，是菱形
C．当时，是矩形
D．当时，是正方形
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
6．已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有的关系式是（ ）
A．B．C．D．
7．若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．1
8．如图，点P是正方形内一点，连接，，．若是等边三角形，则的度数为（ ）
A．30°B．60°C．75°D．90°
9．一个平行四边形的一条边长为7，两条对角线的长分别是10和，则这个平行四边形的面积为（ ）
A．B．C．35D．
10．如图，在菱形中，，，点E、G分别在边、上，现将菱形沿折叠，使得点A恰好落在的四等分点F处，且，则的长为（ ）
A．B．C．7D．
二、填空题
11．已知，则__________．
12．在平行四边形中，，则的度数为__________．
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，则直线与直线之间的距离是__________．
14．如图，矩形的对角线相交于点O，且，则的面积为__________．
15．当时，代数式的值为__________．
16．正方形的边长为4，点在对角线上（可与点重合），，点在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形是平行四边形；
②存在无数个四边形是菱形；
③存在无数个四边形是矩形；
④至少存在一个四边形是正方形．
所有正确结论的序号是_______．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，在中，，，边上的中线．求的面积．
19．如图，在矩形中，点E、F分别在边上且．求证：四边形是平行四边形．
20．如图，在中，，，点D为的中点，连接，过点D作，且，连接，求证：四边形是菱形．
21．如图，已知．

(1)尺规作图：过点A作直线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在l上截取（点D在点A的右侧），连接，线段与相于点O，过点O且与线段分别交于点E，F．请在（1）图中补全图形，并求证：．
22．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下的探索：
设（其中均为正整数），
则有，
．
这样小明就找到了一种把部分化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数填空：____+____（____+___）；
(3)若，且均为正整数，求a的值．
23．如图，菱形的对角线相交于点O，过B点作，且，连结．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
24．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数．
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程
(1)若，则_____， _____， _____；
(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）．
25．将矩形放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上，．在边上选取适当的点E，连接，将沿折叠得到，点O的对应点是点D．
(1)如图①，当点D落在矩形内部时，过点E作轴交于点H，交于点G．求证：；
(2)如图②，过点E作轴交于点H，若，试证明点D恰好落在边上；
(3)如图③，将矩形的短边延长变为正方形，当点E为中点时，点O落在正方形内部的点D处，延长交于点T，求此时的长度．
《福建省福州市闽侯县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题》参考答案
1．A
【难度】0.94
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】由题意得，x+2≥0，
解得，x≥-2，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2．B
【难度】0.85
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【详解】解：A、∵，
∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵，
∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵，
∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．D
【难度】0.85
【知识点】添一个条件使四边形是菱形、添一个条件使四边形是正方形、添一条件使四边形是矩形
【分析】本题主要考查菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形、矩形及正方形的判定定理可排除选项．
【详解】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意；
B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意；
C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意；
D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意；
故选D．
4．C
【难度】0.85
【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了二次根式混合运算，掌握（，），（，）是解题的关键．
【详解】解：A.，不是同类二次根式不可以计算，故不符合题意；
B.，结果错误，故不符合题意；
C.，结果正确，故符合题意；
D.，结果错误，故不符合题意；
故选：C．
5．B
【难度】0.85
【知识点】利用菱形的性质求面积
【分析】根据菱形面积公式即菱形对角线乘积的一半，即可求出另一对角线的长．
【详解】解：设另一条对角线长为xcm，
则×6•x＝12，
解得x＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的面积，掌握菱形面积公式，即对角线乘积的一半是解题关键．
6．A
【难度】0.85
【知识点】代入消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组的代入消元法，把②代入①即可得出x、y的关系．
【详解】解：
把②代入①，得，
∴，
故选：A．
7．A
【难度】0.85
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性
【分析】根据非负数的性质求出未知数的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解题关键是明确算术平方根和绝对值为非负数，利用非负数的性质求出未知数的值．
8．C
【难度】0.85
【知识点】等边三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用、正方形性质理解
【分析】求得，，根据三角形内角定理和等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
9．B
【难度】0.85
【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求面积、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】根据勾股定理逆定理可以说明平行四边形的对角线互相垂直，进而可以判断这个平行四边形是菱形，据此即可求解．
【详解】解：设平行四边形的对角线交于点O，且，，，
∴，，

∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
∴平行四边形的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定．
10．B
【难度】0.65
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、折叠问题、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等；过作交的延长线于，过作交的延长线于，连接，结合由菱形的性质，由矩形的判定方法和直角三角形的特征得四边形是矩形，，由勾股定理得，设，由勾股定理得，即可求解；掌握菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定及性质，能构建直角三角形并熟练利用直角三角形的特征，勾股定理进行求解是解题的关键．
【详解】解：过作交的延长线于，过作交的延长线于，连接，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
点A恰好落在的四等分点F处，
，
，
，
设，
由折叠得：，
，
，
，
解得：，
；
故选：B．
11．1
【难度】0.94
【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式计算，解题关键是掌握平方差公式．
直接利用平方差公式计算．
【详解】解：当时，
，
故答案为：1．
12．/60度
【难度】0.65
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质成为解题的关键．
由平行四边形的性质可得、，则；将把代入解得：，进而求得的度数即可．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，，
∴，
把代入得：，解得：．
∴．
故答案为：．
13．8
【难度】0.85
【知识点】点坐标规律探索、利用平行四边形的性质求解、求平行线间的距离
【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，理解“平行线之间的距离处处相等”是解题的关键．
利用平行线之间的距离处处相等即可求解．
【详解】解：∵，
∴轴，
∵四边形是平行四边形，
∴轴，
∴直线与直线之间的距离是，
故答案为：8．
14．
【难度】0.65
【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据三角形中线求面积
【分析】本题主要考查矩形的性质、三角形中位线的性质等知识点，熟练三角形中线等分三角形的面积是解答的关键．
根据矩形的性质和三角形中线等分三角形的面积求解即可．
【详解】解：∵矩形的对角线相交于点O，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15．8
【难度】0.65
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、代数式求值、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用完全平方公式对代数式进行变形成为解题的关键．
先运用配方法将代数式变形，然后将代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
故答案为：8．
16．①②④
【难度】0.65
【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形
【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：①设正方形的对角线相交于点O，若MN的中点恰好是点O，则经过点O任意一直线PQ，分别与正方形的边AD,BC交于点P,G，通过正方形的性质对称性易得OP=OG，则四边形PMQN是平行四边形，由于PQ的任意性，则存在无数个四边形是平行四边形，故①正确；
②过MN的中点E作垂线，分别与正方形的相邻两边交于P,Q，根据正方形的对称性可得，PE=GE，则四边形是菱形，由于MN的任意性，则存在四边形是菱形；③由①存在由无数个平行四边边形，要是的四边形为正方形则PQ=MN=2=CD，故此时PQ经过正方形对角线的交点，且与正方形的边BC垂直，是唯一的，故不存在无数个四边形是矩形；④由②知存在菱形，故只需满足∠PMQ=90°时，则四边形PMQN时正方形，此时M与点A重合即可，故存在至少存在一个四边形是正方形；
故正确的结论序号是①②④.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟记各定理是解题的关键．
17．
【难度】0.65
【知识点】零指数幂、二次根式的混合运算
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂等知识，熟练掌握运算法则是关键．利用平方差公式、二次根式的性质、零指数幂进行计算，再进行加减法即可．
【详解】解：原式
18．
【难度】0.85
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用勾股定理的逆定理求解、根据三角形中线求面积
【分析】首先利用勾股定理逆定理证明，根据三角形的面积公式代入数计算即可．
【详解】解：是的中线，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理、三角形的中线，解题的关键是根据题意证明．
19．证明见解析
【难度】0.85
【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是平行四边形
【分析】先由矩形的性质得到，则，，再证明，进而证明，则，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，熟知两组对边分别平行的四边形是平行四边形是解题的关键．
20．见解析
【难度】0.65
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、含30度角的直角三角形、证明四边形是菱形、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30度直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识是解答的关键．
先证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据30度角所对直角边是斜边的一半可得，即；最后根据一组对边相等的平行四边形是菱形即可证明结论．
【详解】证明：，且，
∴四边形是平行四边形，
在中，点D为的中点，
，
又，
，
，
∴四边形是菱形．
21．(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】过直线外一点作已知直线的平行线、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）作法一：利用平行四边形的性质完成；
作法二：利用平行线的判定完成，
（2）按照题目条件补全图形即可；先证明四边形是平行四边形，再证明即可完成证明．
【详解】（1）解：两种作法如下：

如图所示，直线l是过点A且平行于的直线．
（2）解：补全的图形如下：
（注：补全图形并字母标注正确）．
证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴
又∵
∴
∴
【点睛】本题考查了尺规作图—作已知直线的平行线，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握这些知识是关键．
22．(1)，
(2)7，2，1，1（答案不唯一）
(3)21或9
【难度】0.65
【知识点】二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的式子；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，，首先确定整数m、n的值，通过分析或者，然后即可确定好a的值．
【详解】（1）解∶，
，
故答案为∶ ，；
（2）解∶设，，
由（1）知：，，
故答案为：7，2，1，1（答案不唯一）；
（3）解∶，
，
，
均为正整数，
或，
当时，，
当时，，
综上，a的值为21或9
23．(1)见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明四边形是矩形、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、矩形性质理解
【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定、矩形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）由菱形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明结论；
（2）根据菱形的性质、勾股定理可得，由矩形的性质可得，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
．
，
，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴根据勾股定理得：，
，
由（1）知四边形是矩形，
，
在中，，
．
24．(1)，，
(2)①作图见解析；②
【难度】0.65
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、二次根式的应用
【分析】（1）将分别代入求值即可得；
（2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：当时，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【难度】0.15
【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL）、正方形性质理解、矩形与折叠问题
【分析】（1）由折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后由等量代换可得，最后根据等角对等边即可解答；
（2）如图：过D作轴于F点，交于点K，则，由折叠可得：，设，则，根据勾股定理列方程可得；再根据三角形的面积公式可得、，进而得到、D、B纵坐标相同，即可证明结论；
（3）如图：连接，利用折叠性质知：．再证明可得，设，则，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图：由折叠的性质可得：，
轴，
，
，
．
（2）解：如图：过D作轴于F点，交于点K，则，
由折叠可知，，
设，则，
在中，，
由股定理得：，解得：，
，
，
，
，
∴A、D、B纵坐标相同，
∴点D恰好落在边上．
（3）解：如图：连接，利用折叠性质知：．
∵点E为中点，，
∴，
，
∵正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
设，则，
在中，，
根据勾股定理∶，即，
解得∶，
∴的长度为
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、对角对等边、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
C
B
A
A
C
B
B