福建省福州市闽清县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题含答案解析

这是一份福建省福州市闽清县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题含答案解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ）
A．2B．0C．D．
2．在中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．下列各点中，在直线上的是（ ）．
A．B．C．D．
4．如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，如果，那么的长为（ ）

A．2B．4C．6D．8
5．如图，四边形是矩形，A，B两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标为（ ）

A．B．C．D．
6．下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，数轴上点B所表示的数为0，点C所表示的数为2，垂直于该数轴，且，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）．
A．B．C．D．
8．小明家、学校、书店在同一条直线上，某日小明骑车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续骑行去学校．下图反映了这个过程中，小明离家的距离与骑行时间之间的对应关系，根据图象，下列判断正确的是（ ）．
A．小明家到学校的路程是B．小明在书店停留了
C．小明一共行驶了D．在整个上学的途中小明骑车的最快速度是．
9．观察下列各式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
……
猜想的结果是（ ）．
A．B．C．D．
10．如图，在中，，，，P是边上的动点．作于点E，于点F，若M是的中点，则在点P运动过程中，的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题
11．______．
12．将直线向上平移4个单位长度得到的直线的解析式为__________．
13．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是__________．（填“甲”或“乙”）
14．若点，在一次函数的图象上，则__________．（填“＞”、“＝、“＜”）
15．如图，在矩形中，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到，延长恰好经过点．若，，则的长度为______．
16．如图，在和中，，，于点E，射线与交于点F，连接，则线段，，三者之间的数量关系为__________．
三、解答题
17．计算：．
18．已知直线经过点，，求该直线的函数解析式．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接．求证：四边形是矩形．
21．某占地面积为的办公区准备建设一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化，该办公区的规划如图所示，已知，，，，．
(1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条连接点A到点C的直道，求这条直道的长度；
(2)若规划时，要求该办公区的绿化面积不低于，请判断上述设计方案是否符合规划要求？并说明理由．
22．如图，菱形的对角线，相交于点O．
(1)在平面中作出点E，使得四边形是平行四边形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接，，若，，求的面积．
23．【问题背景】弹簧测力计主要由弹簧、挂钩、刻度板构成，在弹性限度内，拉力与弹簧的伸长量成正比（弹性限度指弹簧符合该变化规律的最大长度）．综合实践小组准备用弹簧自制一个弹簧测力计，为此他们准备了若干个质量为的砝码，刻度尺，探究弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．
【实验探究】综合实践小组先测量弹簧的初始长度，然后在弹簧尾部的挂钩上每次加一个砝码，并分别测量弹簧挂上砝码后的长度y（单位：），获得的数据如表一．
表一
【建立模型】
任务一：观察以上实验数据，请估计该弹簧的弹性限度所在的范围是__________；
①，②，③大于．（只填序号）
任务二：在图1的平面直角坐标系中，描出在弹性限度范围内的实验数据，顺次连接各点，合理估计在弹性限度范围内弹簧长度y（单位：）与拉力x（单位：N）的函数关系，并求出该函数解析式；
【产品制作】综合实践小组将弹簧装入刻度板中，弹簧的顶部与刻度板顶部重合，通过观察弹簧底部在刻度板上对应的刻度直接读取重力．
任务三：在图2中，从0刻度线开始，每隔在刻度板上找到对应的刻度线（画出即可），并直接写出相邻刻度线间的距离．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B两点，直线与x轴交于点，点D在第四象限，．
(1)直接写出点A和点B的坐标；
(2)连接，若，
①求点D的坐标；
②若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得以C，D，F，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．
25．如图1，正方形中，点E在延长线上，F是线段的中点，连接，在直线上方作，且，过点G作于点H，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若正方形的边长为4，，求线段的长；
(3)如图3，连接，用等式表示与的数量关系并证明．
拉力x（单位：N）
0
5
10
15
20
25
30
弹簧长度y（单位：）
6
8
10
12
14
16.8
20
《福建省福州市闽清县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题》参考答案
1．A
【难度】0.85
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式中被开方数的非负性求解．
【详解】解： 在实数范围内有意义，
，即，
的值可以是2，
故选：A．
2．A
【难度】0.94
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形两对角相等，得出．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴．
故选：A．
3．B
【难度】0.94
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，在直线上的点的横纵坐标一定满足，据此求解判断即可．
【详解】解：在中，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴四个点中，只有点在直线上，
故选：B．
4．A
【难度】0.85
【知识点】利用菱形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】证明是的中位线，得到，再根据菱形的性质即可求解，
本题考查了，中位线，菱形的性质，解题的关键是：证明是的中位线．
【详解】解：∵E、F分别是的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵菱形，
∴，
故选：．
5．C
【难度】0.94
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查了矩形的性质，点坐标．熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
由四边形是矩形，A，B，可得，进而可求点C的坐标．
【详解】解：∵四边形是矩形，A，B，
∴，
∴点C的坐标为，
故选：C．
6．D
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根
【分析】本题考查平方根的算术平方根．根据平方根的算术平方根的性质进行解题即可．
【详解】解：A、，故该项不符合题意；
B、，故该项不符合题意；
C、，故该项不符合题意；
D、，故该项符合题意；
故选：D．
7．C
【难度】0.85
【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴
【分析】本题主要考查了在数轴上表示实数，勾股定理，
先根据勾股定理求出，再结合数轴上点的特点得出答案．
【详解】解：由，
根据勾股定理，得，
所以点A表示的数．
故选：C．
8．A
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了利用函数图象获取相关的信息，解决本题的关键是理解函数图象中横轴与纵轴表示的量，本题中横轴表示行驶的时间，纵轴表示小明离家的距离，根据小明离家的时间与距离确定出小明行驶的时间、速度、路程即可．
【详解】解：A选项：图象表示的是小明离家的距离与骑行时间之间的对应关系，由图象可知当小明到达学校时离家的距离是，所以小明家到学校的路程是，故A选项正确；
B选项：由图象可知，小明从到与家的距离没有发生变化，表示小明在书店买书，所以小明在书店停留的时间是，故B选项错误；
C选项：由图象可知小明先行驶了，又返回书店行驶的路程是，买完书又行驶了到达学校，所以在整个上学途中小明骑行的路程是，故C选项错误；
D选项：小明从出发到分钟时行驶的速度是，
从到行驶的速度是，
从到行驶的速度是，
从到行驶的速度是，
在整个上学的途中小明骑车的最快速度是，
故D选项错误．
故选：A．
9．B
【难度】0.85
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据已知四个等式的计算结果中10与9的个数关系，归纳类推出一般规律即可得．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
归纳类推得：，
故选：B．
10．C
【难度】0.85
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短，
此时，，
，
即最短时，，
的最小值，
故选：C．
11．
【难度】0.85
【知识点】二次根式的乘法
【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟练掌握“上加下减”的平移规律是解题的关键．根据一次函数图象平移的性质，即可求解．
【详解】解：将直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为．
故答案为：．
13．乙
【难度】0.85
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、勾股定理的证明方法
【分析】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果．
【详解】解：甲出的结果为：，不符合题意；
乙得出的结果为：，即，符合题意；
故答案为：乙．
14．
【难度】0.65
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】本题主要考查的是比较一次函数图象上两点纵坐标的大小，掌握一次函数增减性的判断是解题关键．
由，根据一次函数的性质可得y随x的增大而增大，再结合即可解答．
【详解】解：∵一次函数中，，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
15．
【难度】0.65
【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用矩形和折叠的性质可得，，，进而得到，设，则，，根据勾股定理得，解方程即可求解，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠可得，，，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
16．
【难度】0.85
【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明是本题的关键．
连接，根据，可得，再由结合三角形内角和定理，可得，从而得到是线段的垂直平分线，进而得到，继而得到，再由勾股定理解答，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：
17．
【难度】0.85
【知识点】二次根式的除法、二次根式的混合运算
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
先化简二次根式和绝对值，再进行加减运算，即可计算求值；
【详解】解：原式
．
18．
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式
【分析】本题考查了求一次函数的表达式，熟练掌握用待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键．将、两点代入求解即可．
【详解】解：将点，代入得，
解得：，
∴该直线的函数解析式为．
19．；
【难度】0.85
【知识点】分母有理化、分式化简求值
【分析】本题考查分式的化简与求值和二次根式的运算，根据分式的运算法则对分式进行正确的化简是解题关键．首先根据分式的运算法则对原式进行化简，再把x的值代入化简后的算式计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
20．见解析
【难度】0.65
【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键．
由可推出，由平行四边形可得、，即、，可得四边形是平行四边形．再说明即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴．
∵平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
21．(1)
(2)不符合，见解析
【难度】0.65
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明，然后根据计算出面积，再计算出要求该办公区的绿化面积，比较即可解答．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
答：这条直道的长是．
（2）解：不符合，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
．
，
∵，
∴上述设计方案不符合规划要求．
22．(1)见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、作线段(尺规作图)、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】此题考查了菱形的性质，作线段，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键．
（1）分别以点为圆心，为半径画弧，在点D下方交于点E，连接即可；
（2）根据菱形的性质得到，，，进而得到，，求出．由勾股定理得，求出，利用平行四边形的性质，得到，即可求出四边形的面积．
【详解】（1）解：如图1所示，点E即为所求．
由作图得，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵菱形，，，
∴，，，
∴，，
∴．
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形的面积为．
23．任务一：①；任务二：见解析；；任务三：见解析
【难度】0.65
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键．
任务一：根据表格数据即可解答；
任务二：将在弹性限度范围内的数据描点、连线画出图形，再根据数据设弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为，利用待定系数法求解即可；
任务三：根据题意画图即可．
【详解】解：任务一：由表格数据知时，每增加，弹簧的长度增加，而在时，弹簧长度增加了，故估计该弹簧的弹性限度所在的范围是①；
任务二：描点、连线如图所示．
设弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为，
将，代入函数解析式得：，
解得：，
∴在弹性限度范围内，弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数关系式为．
任务三：如图所示：
答：相邻刻度线间的距离是（答案不唯一）．
24．(1)，
(2)①点D的坐标为；②或
【难度】0.65
【知识点】一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据一次函数图象的性质即可解答；
（2）①如图，过点D作轴于点E，根据A、B、C三点的坐标，得出，，由勾股定理得到，再结合，求出，证明是等腰直角三角形，推出，即可得出点D的坐标；②分两种情况讨论：a四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，得到点Q的纵坐标为，进而得到点Q的坐标，再根据，得到点P的坐标；b四边形为平行四边形时，结合平行四边形的性质，进而的得到点P的坐标，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、B，
令，则；令时，；
∴，．
（2）解：①如图，过点D作轴于点E，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵轴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴点D的坐标为．
②存在点E，使得以C、D、F、E为顶点的四边形是平行四边形，
∵，，
∴设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
a．如图，当四边形为平行四边形时，
∴，，
∴点F的纵坐标为，
∵点F在直线上，
令，则，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
b．如图2，当四边形为平行四边形时，
由a得，，，
∵，
∴．
综上可知，以点C、D、F、E为顶点的四边形是平行四边形，或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象的性质、求一次函数解析式、平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识点，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)1
(3)，证明见解析
【难度】0.4
【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据正方形的性质结合，，可得，推出，再根据，利用即可证明；
（2）由正方形的性质得到，设，则，再根据，求出，，根据勾股定理得：，即可求解；
（3）设正方形的边长为a，由（2）可知：，，，，过点G作交的延长线于Q，连接．证明，推出，，易证为等腰直角三角形，即可解答．
【详解】（1）解：证明：∵四边形为正方形，，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：∵四边形为正方形，边长为4，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴，即，
解得：(舍去负值)，即；
（3）解：．证明如下：
如图，设正方形的边长为a，
设，
由（2）同理可知：，，，
过点G作交的延长线于Q，连接．
∵，
∴四边形为矩形，
又∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵点F是线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
由勾股定理得：．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
B
A
C
D
C
A
B
C