2025-2026学年四川省南充市高考考前模拟数学试题（含答案解析）

这是一份2025-2026学年四川省南充市高考考前模拟数学试题（含答案解析），共5页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，集合，，则，已知集合，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一个交点为，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知实数、满足不等式组，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（ ）
A．2或B．3或C．4或D．5或
5．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若实数满足的约束条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若，则λ＋μ的值为（ ）
A． B．C．D．
8．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
9．已知偶函数在区间内单调递减，，，，则，，满足（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（ ）
A．B．C．D．
11．在区间上随机取一个实数，使直线与圆相交的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．若函数在处有极值，则在区间上的最大值为（ ）
A．B．2C．1D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为45°的直线与双曲线的两条渐近线顺次交于，两点若，则的离心率为________．
14．如图所示，点，B均在抛物线上，等腰直角的斜边为BC，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标是________.
15．设实数，若函数的最大值为，则实数的最大值为______.
16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，则该四面体的外接球的体积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，，若存在实数使成立，求实数的取值范围.
18．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：
（Ⅰ）若测试的同学中，分数段内女生的人数分别为，完成列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与安全意识有关？
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行座谈，现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）某评估机构以指标（，其中表示的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？
附表及公式：，其中.
19．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）曲线在点处的切线斜率为.
（i）求；
（ii）若，求整数的最大值.
20．（12分）已知等差数列{an}的各项均为正数，Sn为等差数列{an}的前n项和，.
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设bn＝an⋅3n，求数列{bn}的前n项和Tn.
21．（12分）如图，过点且平行与x轴的直线交椭圆于A、B两点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点M且斜率为正的直线交椭圆于段C、D，直线AC、BD分别交直线于点E、F，求证：是定值.
22．（10分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，，，，，为的中点，为棱上的一点.
（1）证明：面面；
（2）当为中点时，求二面角余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比.
【详解】
作图，设与的夹角为，则中边上的高与中边上的高之比为，，设，则直线，即，与联立，解得，从而得到面积比为.
故选：
解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.
2．A
【解析】
画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．
【详解】
画出不等式组所表示平面区域，如图所示，
由目标函数，化为直线，当直线过点A时，
此时直线在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，
又由，解得，
所以目标函数的最大值为，故选A．
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
3．A
【解析】
联立直线方程与椭圆方程，解得和的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得，由离心率定义可得结果.
【详解】
由，得，所以，.
由题意知，所以，.
因为,所以,所以.
所以，所以，
故选：A.
本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.
4．C
【解析】
先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出.
【详解】
设直线的倾斜角为，则，
所以，，即，
所以直线的方程为.当直线的方程为，
联立，解得和，所以；
同理，当直线的方程为.，综上，或.选C.
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.
5．A
【解析】
计算，再计算交集得到答案.
【详解】
，，故.
故选：.
本题考查了交集运算，属于简单题.
6．B
【解析】
根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围.
【详解】
实数满足的约束条件，画出可行域如下图所示：
将线性目标函数化为，
则将平移，平移后结合图像可知，当经过原点时截距最小，；
当经过时，截距最大值，，
所以线性目标函数的取值范围为，
故选：B.
本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.
7．B
【解析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示，利用，列出方程组求解即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，

∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
解得则.
故选：B
本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.
8．C
【解析】
由题意和交集的运算直接求出.
【详解】
∵ 集合，
∴.
故选:C.
本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.
9．D
【解析】
首先由函数为偶函数，可得函数在内单调递增，再由，即可判定大小
【详解】
因为偶函数在减，所以在上增，
，，，∴.
故选：D
本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.
10．A
【解析】
结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断．
【详解】
图象上相邻两个极值点，满足，
即，
，，且，
，，
，，，
当时，为函数的一个极小值点，而．
故选：．
本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．
11．D
【解析】
利用直线与圆相交求出实数的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
由于直线与圆相交，则，解得.
因此，所求概率为.
故选：D.
本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题.
12．B
【解析】
根据极值点处的导数为零先求出的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可.
【详解】
解：由已知得，，，经检验满足题意.
，.
由得；由得或.
所以函数在上递增，在上递减，在上递增.
则，，
由于，所以在区间上的最大值为2.
故选：B.
本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
设直线的方程为，与联立得到A点坐标，由得，，代入可得，即得解.
【详解】
由题意，直线的方程为，与
联立得，，
由得，，
从而，
即，
从而离心率．
故答案为：
本题考查了双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
14．
【解析】
设出两点的坐标，结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程，解方程求得的坐标.
【详解】
设，由于在抛物线上，所以.由于三角形是等腰直角三角形，，所以.由得，化为，可得，所以，解得，则.所以.
故答案为：
本题考查抛物线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15．
【解析】
根据，则当时，，即.当时，显然成立；当时，由，转化为，令，用导数法求其最大值即可.
【详解】
因为，又当时，，即.
当时，显然成立；
当时，由等价于，
令，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，则，
又，得，
因此的最大值为.
故答案为：
本题主要考查导数在函数中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
16．
【解析】
将四面体补充为长宽高分别为的长方体，体对角线即为外接球的直径，从而得解.
【详解】
采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别为，长方体的外接球即为该四面体的外接球，外接球的直径即为长方体的体对角线，所以球半径为，体积为.
本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．
【解析】
试题分析：先将问题“ 存在实数使成立”转化为“求函数的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可获解.
试题解析：
存在实数使成立，等价于的最大值大于，
因为，
由柯西不等式：，
所以，当且仅当时取“”，
故常数的取值范围是．
考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.
18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）不需要调整安全教育方案.
【解析】
（I）根据题目所给数据填写好列联表，计算出的值，由此判断出在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（II）利用超几何分布的计算公式，计算出的分布列并求得数学期望.（III）由（II）中数据，计算出，进而求得的值，从而得出该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.
【详解】
解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数为，.
性别与合格情况的列联表为：
即在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.
（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值为,
.
的分布列为：
所以.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知： .
故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.
本小题主要考查列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算，所以中档题.
19．（1）在上增；在上减；（2）（i）；（ii）2
【解析】
（1）求导求出，对分类讨论，求出的解，即可得出结论；
（2）（i）由，求出的值；
（ii）由（i）得所求问题转化为，恒成立，设
，，只需，根据的单调性，即可求解.
【详解】
（1）
当时，，即在上增；
当时，，，，，
即在上增；在上减；
（2）（i），.
（ⅱ），即，
即，只需.
当时，，在单调递增，
所以满足题意；
当时，，，，
所以在上减，在上增，
令，.
.在单调递减，所以
所以在上单调递减
，，
综上可知，整数的最大值为.
本题考查函数导数的综合应用，涉及函数的单调性、导数的几何意义、极值最值、不等式恒成立，考查分类讨论思想，属于中档题.
20．（1）.（2）
【解析】
（1）先设等差数列{an}的公差为d（d＞0），然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d的方程，解出d的值，即可得到数列{an}的通项an；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用错位相减法计算前n项和Tn.
【详解】
（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d（d＞0），则
a4a5＝（1+3d）（1+4d）＝11，
整理，得12d2+7d﹣10＝0，
解得d（舍去），或d，
∴an＝1（n﹣1），n∈N*.
（2）由（1）知，bn＝an⋅3n•3n＝（2n+1）•3n﹣1，
∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝3×1+5×31+7×32+…+（2n+1）•3n﹣1，
∴3Tn＝3×31+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n，
两式相减，可得：
﹣2Tn＝3×1+2×31+2×32+…+2•3n﹣1﹣（2n+1）•3n
＝3+2×（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n
＝3+2（2n+1）•3n
＝﹣2n•3n，
∴Tn＝n•3n.
本题主要考查等差数列基本量的计算，以及运用错位相减法计算前n项和.考查了转化与化归思想，方程思想，错位相减法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.
21．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由题意求得的坐标，代入椭圆方程求得，由此求得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，可得关于的一元二次方程，设出的坐标，分别求出直线与直线的方程，从而求得两点的纵坐标，利用根与系数关系可化简证得为定值.
【详解】
（1）由已知可得：，
代入椭圆方程得：
椭圆方程为；
（2）设直线CD的方程为，代入，得：
设，，则有，
则AC的方程为，令，得
BD的方程为，令，得
，证毕.
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是难题．
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）要证明面面，只需证明面即可；
（2）以为坐标原点，以，，分别为，，轴建系，分别计算出面法向量，面的法向量，再利用公式计算即可.
【详解】
证明：（1）因为底面为正方形，所以
又因为，，满足，
所以
又，面，面，
，
所以面.
又因为面，所以，面面.
（2）由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，以，，分别为，，轴建系如图所示，
则，，,，则，.
所以，，，，
设面法向量为，则由得，
令得，，即；
同理，设面的法向量为，
则由得，
令得，，即，
所以，
设二面角的大小为，则
所以二面角余弦值为.
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角，考查学生的运算求解能力，此类问题关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
等级
不合格
合格
得分
频数
6
24
是否合格
性别
不合格
合格
总计
男生
女生
总计
是否合格
性别
不合格
合格
小计
男生
女生
小计
20
15
10
5
0