四川省南充市2025-2026学年高考数学二模试卷（含答案解析）

这是一份四川省南充市2025-2026学年高考数学二模试卷（含答案解析），共6页。试卷主要包含了设i是虚数单位，若复数等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（ ）
A．300，B．300，C．60，D．60，
2．设且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．两圆和相外切，且，则的最大值为（ ）
A．B．9C．D．1
4．在中，，分别为，的中点，为上的任一点，实数，满足，设、、、的面积分别为、、、，记（），则取到最大值时，的值为（ ）
A．－1B．1C．D．
5．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（ ）
A．B．C．1D．3
7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．设，是非零向量，若对于任意的，都有成立，则
A．B．C．D．
9．已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于两点（A在右支，B在左支）若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，其中，若恒成立，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
12．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）
因为所以不是函数的周期；
对于定义在上的函数若则函数不是偶函数；
“”是“”成立的充分必要条件；
若实数满足则．
14．已知函数在处的切线与直线平行，则为________.
15．已知，满足，则的展开式中的系数为______.
16．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设分别为人数、猪价，则___，___.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知中，角所对边的长分别为，且
（1）求角的大小；
（2）求的值.
18．（12分）已知函数．
（1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；
（2）已知，若，使得成立，求实数的取值范围．
19．（12分）已知数列满足，，，且.
（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（12分）从抛物线C：（）外一点作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点在抛物线C上，且（F为抛物线的焦点）.
（1）求抛物线C的方程；
（2）①求证：四边形是平行四边形.
②四边形能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由.
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.
22．（10分）已知函数.
（1）当时，求函数的值域.
（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率．
【详解】
由频率分布直方图得：
在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为，
∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：，
行驶速度超过的频率为：．
故选：B．
本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．A
【解析】
项，由得到，则，故项正确；
项，当时，该不等式不成立，故项错误；
项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；
项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．
综上所述，故选．
3．A
【解析】
由两圆相外切，得出，结合二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】
因为两圆和相外切
所以，即
当时，取最大值
故选：A
本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.
4．D
【解析】
根据三角形中位线的性质，可得到的距离等于△的边上高的一半，从而得到，由此结合基本不等式求最值，得到当取到最大值时，为的中点，再由平行四边形法则得出，根据平面向量基本定理可求得，从而可求得结果.
【详解】
如图所示：
因为是△的中位线，
所以到的距离等于△的边上高的一半，
所以，
由此可得，
当且仅当时，即为的中点时，等号成立，
所以，
由平行四边形法则可得，，
将以上两式相加可得，
所以，
又已知，
根据平面向量基本定理可得，
从而.
故选：D
本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.
5．C
【解析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】
A. ，值域为，非奇非偶函数，排除；
B. ，值域为，奇函数，排除；
C. ，值域为，奇函数，满足；
D. ，值域为，非奇非偶函数，排除；
故选：.
本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
6．A
【解析】
根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.
【详解】
由复数的除法运算化简可得
，
因为是纯虚数，所以，
∴，
故选：A.
本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.
7．B
【解析】
根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．
【详解】
由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为，
∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
且球半径为，
∴三棱锥外接球表面积为，
∴当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为．
故选B．
（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．
（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．
8．D
【解析】
画出，，根据向量的加减法，分别画出的几种情况，由数形结合可得结果.
【详解】
由题意，得向量是所有向量中模长最小的向量，如图，
当，即时，最小，满足，对于任意的，
所以本题答案为D.
本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题.
9．D
【解析】
根据双曲线的定义可得的边长为，然后在中应用余弦定理得的等式，从而求得离心率．
【详解】
由题意，，又，
∴，∴，
在中，
即，∴．
故选：D．
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把到两焦点距离用表示，然后用余弦定理建立关系式．
10．D
【解析】
双曲线的渐近线方程是，所以，即 ， ，即 ，，故选D.
11．A
【解析】
，从而可得，，再解不等式即可.
【详解】
由已知，
，所以，
，由，
解得，.
故选：A.
本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
12．A
【解析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.
【详解】
水费开支占总开支的百分比为.
故选：A
本题考查折线图与柱形图，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
对①,根据周期的定义判定即可.
对②,根据偶函数满足的性质判定即可.
对③,举出反例判定即可.
对④,求解不等式再判定即可.
【详解】
解：因为当时,
所以由周期函数的定义知不是函数的周期,
故正确；
对于定义在上的函数,
若,由偶函数的定义知函数不是偶函数,
故正确；
当时不满足
则“”不是“”成立的充分不必要条件,
故错误；
若实数满足
则
所以成立,
故正确．
正确命题的序号是．
故答案为：．
本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.
14．
【解析】
根据题意得出，由此可得出实数的值.
【详解】
，，直线的斜率为，
由于函数在处的切线与直线平行，
则.
故答案为：.
本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
15．1
【解析】
根据二项式定理求出，然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得系数．
【详解】
由题意，．
∴的展开式中的系数为．
故答案为：1．
本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键．
16．10 900
【解析】
由题意列出方程组，求解即可.
【详解】
由题意可得，解得.
故答案为10 900
本题主要考查二元一次方程组的解法，用消元法来求解即可，属于基础题型.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）正弦定理的边角转换，以及两角和的正弦公式展开，特殊角的余弦值即可求出答案；
（2）构造齐次式，利用正弦定理的边角转换，得到，结合余弦定理 得到
【详解】
解：（1）由已知，得
又∵
∴
∴,因为
得
∵
∴.
（2）∵
又由余弦定理，得
∴
1.考查学生对正余弦定理的综合应用；2.能处理基本的边角转换问题；3.能利用特殊的三角函数值推特殊角，属于中档题
18．（1） （2）
【解析】
（1）求解不等式，结合整数解有且仅有一个值，可得，分类讨论，求解不等式，即得解；
（2）转化，使得成立为，利用不等式性质，求解二次函数最小值，代入解不等式即可.
【详解】
（1）不等式，即，所以，
由，
解得．
因为，所以，
当时，
，
不等式等价于或或
即或或，
故，
故不等式的解集为．
（2）因为，
由，
可得，
又由，使得成立，
则，解得或．
故实数的取值范围为．
本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
19．（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）根据题目所给递推关系式得到，由此证得数列为等比数列，并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和
【详解】
（1）已知，
则，
且，则为以3为首相，3为公比的等比数列，
所以，.
（2）由（1）得：，
，①
，②
①－②可得，
则
即.
本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查累加法求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.
20．（1）；（2）①证明见解析；②能，.
【解析】
（1）根据抛物线的定义，求出，即可求抛物线C的方程；
（2）①设，，写出切线的方程，解方程组求出点的坐标. 设点，直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理得到点的坐标，写出点的坐标，，可得线段相互平分，即证四边形是平行四边形；②若四边形为矩形，则，求出，即得点Q的坐标.
【详解】
（1）因为，所以，即抛物线C的方程是.
（2）①证明：由得，.设，，
则直线PA的方程为（ⅰ），
则直线PB的方程为（ⅱ），
由（ⅰ）和（ⅱ）解得：，，所以.
设点，则直线AB的方程为.
由得，则，，
所以，所以线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分.
在①中，令解得，所以，同理得，所以线段CD的中点坐标为，即，又因为直线PQ的方程为，所以线段CD的中点在直线PQ上，即线段CD被线段PQ平分.
因此，四边形是平行四边形.
②由①知，四边形是平行四边形.
若四边形是矩形，则，即
，
解得，故当点Q为，即为抛物线的焦点时，四边形是矩形.
本题考查抛物线的方程，考查直线和抛物线的位置关系，属于难题.
21．（1）（2）
【解析】
（1）由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）把点极坐标化为直角坐标，直线的参数方程是过定点的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线的方程，利用参数的几何意义求解．
【详解】
解：（1），则，∴，
所以曲线的直角坐标方程为，即
（2）点的直角坐标为，易知.设对应参数分别为
将与联立得
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题．
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）令，求出的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；
（2）对分类讨论，分别求出以及的最小值或范围，与的最小值建立方程关系，求出的值，进而求出的取值关系.
【详解】
（1）当时，，
令，
∵∴，
而是增函数，∴，
∴函数的值域是.
（2）当时，则在上单调递减，
在上单调递增，所以的最小值为，
在上单调递增，最小值为，
而的最小值为，所以这种情况不可能.
当时，则在上单调递减且没有最小值，
在上单调递增最小值为，
所以的最小值为，解得（满足题意），
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
本题考查复合函数的值域与分段函数的最值，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.