四川省南充市重点高中2024-2025学年高一下学期6月期末模拟考试 数学（含解析）

这是一份四川省南充市重点高中2024-2025学年高一下学期6月期末模拟考试 数学（含解析），共15页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【详解】因为，集合，
则集合或.
故选：A.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. 5B. 3C. D.
【答案】C
【详解】因为向量，， ，
所以，解得：，
则，
所以.
故选：C.
3. 已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
【答案】D
【详解】对选项A：若，，则或为异面直线，错误；
对选项B：若，，则和可以是任何位置关系，错误；
对选项C：若，，则和可以是任何位置关系，错误；
对选项D：若，，，则，正确；
故选：D.
4. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则所有的数据都为0
B. 若，则的平均数为6
C. 若，则的方差为12
D. 若该组数据的分位数为90，则可以估计总体中至少有的数据不小于90．
【答案】D
【详解】对于选项A：当时，有，
则，但不一定为0，故选项A错误；
对于选项B：因为，所以，
则
，故选项B错误；
对于选项C：由选项B可知的平均数为.
所以的方差为
，故选项C错误；
对于选项D：根据百分位数的定义可判断选项D正确.
故选：D.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由可得，，
根据正切函数的性质得，，不能推出，
反过来，当时，，
，则，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】令，则令 即有4个不同的实数根.
则要有两个解，

由图知，.
，得.
则.
令，得，则，，得，.
则.
故选：D.
7. 《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】连接,交于点,取的中点，则平面,,取的中点,连接,作,垂足为，如图所示
由题意可知，，所以,
所以,,所以,又,
所以，即这个几何体的外接球的球心为，半径为，
所以这个几何体的外接球的体积为.
故选：B.
8. 若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】，，即，
由正弦定理得，，
，即，
，①
当时，，，，
此时，不满足题意，，
①式两边同时除以得，，
不妨设，则，
，
当且仅当，即，时等号成立，
的最大值为.
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，部分选对得2分或3分，有选错的得0分）
9. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若是纯虚数，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则在复平面内对应点位于第三象限
【答案】BCD
【详解】A选项，由，
若是纯虚数，则，可得，A错；
B选项，若，即，可得，B对；
C选项，若，则，，故，C对；
D选项，若，则，故，对应点坐标为，
在复平面内对应点在第三象限，D对.
故选：BCD
10. 如图，在正方形中，为上一点，交于，且，为的两个三等分点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】ABC
【详解】由题意，，
所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
因为为上靠近的三等分点，所以，
利用可得；
所以，故D错误.
故选：ABC
11. 如图，正方体中，M，N，Q分别是AD，，的中点，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则平面MPN
B. 若，则平面MPN
C. 若平面MPQ，则
D. 若，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形
【答案】ACD
【详解】对于A,连接,在正方体中，可知，
当时，是中点，则,所以 ，由于平面,平面,所以平面MPN，故A正确，
对于B 当时，与点重合，连接交于点 ,连接,
若平面MPN,则平面,且平面平面,则，
由于是的中点，则为中点，这显然不符合要求，故B错误，
对于C, 若平面MPQ，则,由于 平面平面,又, 平面,
所以平面,平面,则,
显然 与平面不垂直，故,则,
由于为中点，所以为中点，故 ，C正确，
对于D，取中点,在 上取点,使得，在棱取,使得，在棱上取
由于分别为的中点，所以 ,
同理
连接即可得到截面多边形，故D正确，
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 求值：________．
【答案】
【详解】由
.
故答案为：.
13. 已知某圆柱与圆锥高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为______．
【答案】
【详解】设圆柱与圆锥的底面半径分别为，，母线长分别为，，高均为，
由题意可得：，即，化简可得：.
故答案为：
14. 已知函数，则的解集是________．
【答案】
【详解】当，即，时，
，
所以，即，解得，，
当，即，时，
，
所以，即，解得，，
综上，的解集为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，满足：，．
（1）若，求．
（2）若，求当为何值时，．
（3）若，求在方向上的投影向量的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
因为，，，
所以.
【小问2详解】
因，即，即，则，
由，得，
解得，所以当时，．
【小问3详解】
.
16. 后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得2000位在职员工的个人所得税（单位：百元）数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：

（1）求直方图中t的值：
（2）根据频率分布直方图估计该市的70%职工年个人所得税不超过m（百元），求m的最小值；
（3）已知该地区有20万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过5000元的正常收取，若超过5000元，则超出的部分退税20%，请估计该地区退税总数约为多少．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
，解得.
【小问2详解】
前5组的频率之和为：；
前4组的频率之和为：；
故，，解得.
【小问3详解】
区间在，，，内的个人所得税分别取作为代表.
则分别超出元，
则退税总数约为：
.
17. 如图，是半径为1，的扇形，是弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，记，，当时，四边形的面积取得最大值，求的值．

【答案】
【详解】在直角中，，，在直角中，，
因为，且，所以，所以，
所以，
其中，，
所以当，即时，最大，即，
所以，
即，可得，所以.
18. 如图，在圆锥中，已知底面，，的直径，是的中点，为的中点.

（1）证明：平面平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【小问1详解】
连接，
，是的中点，
，
又底面，底面，
，
，平面，
平面，而平面，
平面平面.
【小问2详解】
因为是的中点，是的直径，所以，
所以，
所以.
【小问3详解】
在平面中，过作于，由（1）知，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
，
在平面中，过作于，连接，，平面，
所以平面，又平面，从而．
故为二面角的平面角，
中，，
在中，，
在中，，
在中，，
所以，
故二面角的余弦值为.

19. 将函数的图象向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图象．
（1）设，，当时，求的值域；
（2）在中，，，分别是角，，所对的三条边且．在内一点满足条件，称为的布洛卡点，若．
求证：
①（为的面积）；
②若，求的周长

【答案】（1）；
（2）①证明见解析；②.
【小问1详解】
的图象向左平移个单位得，
，
再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到，
即，
又因，，故，，，，
故，
因，，
所以，
设，
，，
，
，
因为在上单调递减，
所以在上单调递增，则，
所以的值域为；
【小问2详解】
①且，
，又因为，所以，即，
则
，
所以，
在，，中，分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得，
即，
故；
②在中，设，
由正弦定理得，所以，
在中，由上可知，，，
所以，
由正弦定理，得，所以，
所以，则，整理，得，
所以，解得．
又，所以，
则，因此为等边三角形，
在中，由余弦定理得，，
所以，故的周长为．