海南省海口市某校学年高二上学期11月校考（期中）数学试题（解析版）-A4

这是一份海南省海口市某校学年高二上学期11月校考（期中）数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合或，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.
【详解】集合或，所以.
故选：C
2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简可得，进而可得复数的虚部.
【详解】由已知，
则，
即复数的虚部为，
故选：C.
3. 国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩（单位：环）分别为10，7，8，10，，10，8，6，其中为整数，若这8次射击成绩的中位数为9，则（ ）
A. 6B. 7C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】按中位数的定义结合选项逐一验证，即可求解.
【详解】将成绩（除了）从小到大排列为：6，7，8，8，10，10，10，
结合选项，只有时，这8次射击成绩中位数.
故选：D.
4. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意设2个红球为，， 3个黄球为，，，考虑有放回地摸球，分别列出试验的样本空间和事件“这2个球同色”表示的集合，利用古典概型概率公式计算即可.
【详解】设2个红球为，，3个黄球为，，，从中有放回地依次随机摸出2个球，
样本空间为：，
，则，
设事件为“这2个球同色”，
则，则，
由古典概率公式，可得.
故选：D
5. 已知函数的定义域为，且满足，，则（ ）
A. 4B. 8C. 14D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】依题意利用赋值法代入计算即可得出结果.
详解】根据题意令，则，可得，
再令，则，可得.
故选：C
6. 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，代入抛物线，解得答案.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为，
由点可得，解得，所以.
当时，，所以水面宽度为.
故选：C.
7. 圆与圆的公共弦长为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】判断出两圆相交，两圆相减求得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求得公共弦长.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
，
，所以两圆相交，
由两式相减并化简得，
到直线的距离为，
所以公共弦长为.
故选：B
8. 已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据坐标写出对应向量坐标，再应用投影向量的定义求在方向上的投影向量即可.
【详解】由题设，，，
在方向上的投影向量为.
故选：D
二、多选题
9. 以下说法正确的是（ ）
A. 过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行
B 过直线外一点，可以作无数个平面与该直线垂直
C. 如果两个平面不相交，则它们就没有公共点
D. 若一条直线与一个平面不垂直，则这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直
【答案】AC
【解析】
【分析】利用线面平行、垂直的意义判断AB；利用两个平面的位置关系判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，过直线外一点可作一条直线与这条直线平行，经过所作直线有无数个平面与该直线平行，A正确；
对于B，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直，B错误；
对于C，两个平面不相交，则它们平行，没有公共点，C正确；
对于D，正四面体的相对棱垂直，而任意棱都不垂直于对棱所在的平面，D错误.
故选：AC
10. 已知角的终边经过，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据三角函数的定义即可求解，再结合诱导公式即可判断．
【详解】由于角的终边经过，故，
故，
，
故A，D错误，B，C正确，
故选：BC．
11. 在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为等腰三角形或直角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正、余弦定理对每项逐一判断即可得解．
【详解】对于A，，则，由正弦定理可得，
，故A正确；
对于B，由正弦定理，
，此时无解，故B错误；
对于C，，又且，
，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故C正确；
对于D：，，
，，
，或，若，，则，
所以为等腰三角形或直角三角形，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
12. 已知直线与直线，则它们之间的距离为___________
【答案】##
【解析】
【分析】利用平行线间的距离公式求解.
【详解】因为，
所以两直线之间的距离.
故答案为：
13. 椭圆的离心率为，则___________.
【答案】3或
【解析】
【分析】根据椭圆的离心率公式，分为和两种情况求解.
【详解】表示椭圆，且.
当时，则，
，解得;
当时，则，
，解得，
综上：或.
故答案为：3或.
14. 设实数满足：，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用不等式的性质计算即可.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，即，
所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
15. 已知点，.
（1）求直线MN的一般式方程；
（2）求以线段MN为直径的圆的标准方程；
（3）求（2）中的圆在点处的切线方程.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用两点式求出直线斜率，然后利用点斜式方程求解即可；
（2）由中点坐标公式求出圆心坐标，再求出半径，即可得到圆的方程；
（3）先求得切线的斜率，代入点斜式直线方程，即可求解.
【小问1详解】
直线MN的斜率为，
则直线MN的方程为，即.
【小问2详解】
由题意可知圆心C为线段MN的中点，即，
半径，
故所求圆的标准方程为.
【小问3详解】
直线CP的斜率为，则所求切线的斜率为，
故所求的切线方程为，即.
16. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接,由于，分别是，的中点.则,得到四边形为平行四边形,再用平行四边形性质得到线线平行，进而得到线面平行；
（2）建立空间直角坐标，计算平面的法向量，以及，然后利用公式计算即可.
【小问1详解】
如图，连接,由于，分别是，的中点.
则,则四边形为平行四边形，
,平面,平面,
则平面.
【小问2详解】
如图，可建空间直角坐标系，则
,
,
设平面法向量为，则
，即，解得，故.
根据点面距离公式，则点到平面的距离.
17. 已知向量，设函数.
（1）当时，求函数的值域;
（2）已知在中，内角对边分别为，若，且，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，整体法求解函数的值域；
（2）在（1）基础上，结合得到，由勾股定理和基本不等式得到，进而得到三角形面积的最大值．
【小问1详解】
，
，
当时，，
，
所以函数的值域为.
【小问2详解】
由（1）可知，
又，所以，
因为，所以，故，
因为，由可知，，
由基本不等式得，
解得，当且仅当时，等号成立，
故三角形面积，
即面积最大值为1.
18. 已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为.
（1）求双曲线的方程;
（2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.
【答案】（1）
（2）23
【解析】
【分析】（1）利用点到直线的距离公式和离心率列方程求出，，，即可得到双曲线的方程；
（2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可.
【小问1详解】
由题意知，解得，
则，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
设双曲线的左焦点为，则，
由双曲线的定义知：，则，
可得，
当，，三点共线时，最小，且最小值为.
故的最小值为.
19. 已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数．
（1）求动点M的轨迹E；
（2）在E上是否存在一点使得它到直线的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可；
（2）根据平行线的性质，结合直线与椭圆的相切的性质、一元二次方程根的判别式进行求解即可.
【小问1详解】
设d是点M到直线的距离，
根据题意，动点M的轨迹E就是集合．
由此得．将此式两边平方，并化简，得，
所以M的轨迹E为．
【小问2详解】
由直线方程方程可知与坐标轴的交点为，
易知此直线与椭圆无公共点，
设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成．
由方程组，消去y，得．
令其根的判别式，解得或，
当时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最小，最小距离．