北师大版数学八年级下册第六单元平行四边形单元检测培优卷（含解析）

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北师大版数学八年级下册第六单元平行四边形单元检测培优卷一、选择题（每题3分，共24分）1．如图，在周长为20 cm的▱ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）A．10 cmB．20 cmC．5 cmD．15 cm2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点P为BC边上任意一点，连接PA，将PA沿BC方向平移至CQ，连接AQ、PQ，则当PQ取得最小值时，BP的长为(　　)A．72B．103C．175D．23． 如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，BE=3，AB=310，AD=210，则DE的长为（　　）A．72B．85C．62D．754． 如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC上的中线，过点 C作CG⊥AD于F，交AB于 G，连结EF，则线段EF的长为（　　）A．1B．12C．34D．235．如图，将两个宽为3cm的直尺交叉叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，转动其中一个直尺，另一个保持不动，下列结论：①四边形ABCD 始终是平行四边形； ②∠ABC=∠ADC； ③四边形ABCD的周长保持不变； ④当∠ABC=30°时， 四边形ABCD的面积为18cm2，其中一定正确的是（　　）A．①④B．②③④C．①②④D．①②③④6．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上任意一点P作EF∥BC，GH∥AB，且AH=2HD，若△HDP的面积为1，则▱ABCD的面积为（　　）A．9B．63C．12D．187． 如图，有两个完全重合的▱ABCD和▱AEFG，把▱AEFG绕点A按逆时针方向转动，使得点E落在▱ABCD的边CD上，连接BG，∠DAB=45°，AB=10，BC=2，则BG的长为（　　）A．102B．10C．5D．258．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=2，BC=4，∠ABC=60∘，直线EF过点O，连接DF，交AC于点G，连BG，△DCF的周长等于6，下列说法正确的个数为（　　）①∠EOD=90∘；②S△DFC=2S△AEO；③S△ABG+S△DGC=12S▱ABCD；④AE=65．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每题3分，共15分）9．如图，AB∥CD，AD∥BC，AD=2，BE=5，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为　 　．10． 如图，在□ABCD中，∠A=60°，E是AD上一点，连接BE.将△ABE沿BE对折得到△A'BE，当点A'恰好落在边AD上时，A'D=4（图甲)，当点A'恰好落在边CD上时，A'D=6（图乙)，则AB=　 　.11．如图，△ABC中，∠A=45°，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O，BD=CE，∠BOC=120°，若BE=42，CD=6，则BD=　 　.12．如图，四边形ABCD是等腰梯形，上底CD=6cm，过点C作CE⊥BC，且CE=BC=13cm，连接DE.若△DCE的面积为36cm2，则AB的长为　 　cm.13．如图，▱ABCD中，AC，BD交于O，AE平分∠BAD，EC＝CD＝1，∠ECD＝2∠CDA．下列结论：①AC平分∠EAD；②OE＝14AD；③BD＝7；④S▱ABCD＝3．正确的有　 　个．三、解答题（共7题，共61分）14．如图，在▱ABCD中，∠ABC=45°，过点A作AE⊥CD于点E，且CE=12DE，连接BE，延长EA至点F，连接DF，使∠F=∠BEC，若AE=2，求DF的长．15． 小吴和小李一起研究一个尺规作图问题：如图1，在△ABC中，以AB、BC为边作▱ABCD.小吴：如图2，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.小李：如图3，分别以点A、点C为圆心，相同长度（大于12AC）为半径作弧，两弧分别相交于点M、N，连接MN交AC于点O，作射线BO，并截取OD=OB，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.（1） 填空：判断他们的作图方法是否正确.（填“正确”或“错误”）① 小吴的作法　 　；② 小李的作法　 　.（2） 从(1)中任选一项判断，说明理由.（要求：写出推理过程）16．如图所示，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点．（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）若DG⊥BH，BD=3，EF=2，求BH的长．17．有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．（1）探索：已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD．应用此定理进行证明求解．（2）应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求证：∠B=∠C；（3）应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和．18．如图，（1）已知四边形ABCD，现有下列三个条件：①AB=CD；②AD∥BC；③∠B=∠D．请从中选择两个能证明四边形ABCD是平行四边形的条件，并写出证明过程；（2）若四边形ABCD是平行四边形．①实践与操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AD于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）②猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段CD、DE和BC的数量关系，并加以证明．19．综合与探究【问题情境】在△ABC中，分别以AB和AC为边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，其中∠ADB=∠AEC=90°，AD=BD，AE=CE，F是边BC的中点.【猜想验证】（1）如图1，若DM丄AB，ENLAC，垂足分别是M，N，连接MF，NF.试判断四边形AM-FN的形状，并说明理由。（2）【深入探究】如图2，连接DF，EF.①试判断线段DF与EF的数量关系和位置关系，并说明理由，②若DF=2，求四边形ADBC和△ACE的面积之和.20．综合与实践数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究。（1）【活动一】拼接将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点A与点F重合，点C与点D重合），求四边形ABCE的周长；（2）【活动二】平移在图2中，将△ABC纸片沿射线FE的方向平移。在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形AMDN，如图3所示。①求证：四边形AMDN是平行四边形；②若点A为EF的中点，则四边形AMDN的周长为 。（3）【活动三】旋转在图3中，当点A为EF的中点时，将△DEF绕点F顺时针旋转一周。在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数。答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵OE⊥BD，∴BE=DE，∴△ABE的周长AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD，∵▱ABCD为20cm，∴AD+BD=10cm，∴△ABE的周长为10cm，故选：A．【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质以及线段垂直平分线的特性，需要综合运用这些知识点来解决问题。由题可知，四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得对角线互相平分，即OB=OD。由此可以推导出OE是线段BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得BE=DE。所以，三角形△ABE的周长可以表示为AB+AD。再结合题目给定的条件，平行四边形▱ABCD的周长为20cm，通过这个信息即可完成最终求解。2．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°,AB=3,BC=5，∴AC=BC2−AB2=4，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO=QO，CO=AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP'，垂足为P'，连接BO，∵垂线段最短，∴当点P在点P'处时，PO最小，即PQ最小，∵∠CP'O=∠CAB=90°,∵S△ABO=S△BOC，即12BC×OP'=12AB×AO，∵CO=AO=2,BC=5,AB=3，∴OP'=65，∴则PQ的最小值为2OP'=125=2.4，∴CP'=OC2−OP'2=22−652=85，∴BP'=BC−CP'=5−85=175，∴当PQ取得最小值时，BP的长为175．故选：C．【分析】本题主要考查平移的性质、平行四边形的性质以及勾股定理的应用。首先运用勾股定理求出边BC的长度。根据平行四边形的性质可知，当OP最短时，PQ也最短，此时点P的位置满足垂线段最短的条件。然后利用面积关系S△ABO=S△BOC，求出OP'的长度，进而确定PQ的长度，最终得出答案。3．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，BE=DG=3，CG=AE=AB2−BE2=90−9=9.∵M是GF的中点，∴GM=12GF=12HE.∴GM是△DHE的中位线.∴DH=2DG=2×3=6.∵AD=210 ，∴AH=AD2−DH2=40−36=2.∴HE=AE−AH=9−2=7.∴DE=DH2+HE2=36+49=85.故答案为：B.【分析】首先判断出GM是△DHE的中位线，利用中位线性质能得到DH长. 然后利用勾股定理计算出AH、HE，从而得到HE长，最后继续利用勾股定理即可计算出DE.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵ AD是∠BAC的角平分线，∴∠DAG=∠DAC.∵CG⊥AD于点F，∴∠AFG=∠AFC=90°，∵AF=AF，∴△AFG≌△AFC(ASA)，∴AG=AC=3，GF=FC.∵AB=4，∴BG=AB－AG=1.∵GF=FC，AE是BC上的中线，∴EF是△BCG的中位线，∴EF=12BG=12.故答案为：B.【分析】结合角平分线的定义和垂线的定义可证明△AFG≌△AFC，由全等三角形的性质可得AG=AC=3，GF=FC，继而可得BG长，再由中位线的定义即可求得EF的长.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，则①②正确；随着直尺转动，边长变化，可知四边形ABCD周长发生变化，∴③不正确；过点A作AE⊥BC，交BC于点E，在Rt△ABE中，AE=3,∠ABE=30°，∴AB=2AE=6，∴四边形ABCD的面积为3×6=18(cm2)，则④正确，可知正确的有①②④．故答案为：C．【分析】先证出四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC，从而可判断出①②是否正确；再利用四边形的周长公式求解并判断出③是否正确；再利用四边形的面积公式求出四边形ABCD的面积，从而可判断出④是否正确，从而得解.6．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得，四边形HPFD，四边形AEPH、四边形PGCF，四边形EBGP都是平行四边形，∵S△HDP=1，∴S▱HPFD=2S△HDP=2，∵AH=2HD，∴S▱AEPH=2S▱HPFD=4，∵S△ABD=S△CBD，S△EBP=S△GBP，S△HDP=S△FDP，∴S▱AEPH=S▱PGCF=4，∵BG=AH=2HD=2CG，∴S▱EBGP=2S△BGP=2S▱PGCF=8，（△PBG与平行四边形PCGF高相等）∴S▱ABCD=2+4+4+8=18，故选：D．【分析】利用平行四边形的性质及三角形的面积关系，可以计算出平行四边形ABCD的面积，从而解决本题。7．【答案】B【解析】【解答】解：连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，如图所示：由旋转的性质可知，AE＝AB=10，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，∴∠AEB＝∠ABE，AH＝GH=2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，∴∠CEB＝∠ABE，BM=2，∴∠BEN＝∠BEM，又∵BE＝BE，∴△BEN≌△BEM（AAS），∴BN＝BM=2=GH，又∵∠GQH＝∠BQN，∴△QGH≌△QBN（AAS），∴BQ＝CQ，HQ＝NQ，∴BG＝2BQ，∵AB=10，∴AN=AB2−BN2=22，∴HN＝AN﹣AH=2，∴HQ＝NQ=22，∴BQ=QN2+BN2=102，∴BG＝2BQ=10．故答案为：B【分析】连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，先根据旋转的性质得到AE＝AB=10，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，则∠AEB＝∠ABE，AH＝GH=2，再根据平行四边形的性质得到CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，则∠CEB＝∠ABE，BM=2，根据三角形全等的判定与性质（AAS）证明△BEN≌△BEM得到BN＝BM=2=GH，再证明△QGH≌△QBN（AAS）得到BQ＝CQ，HQ＝NQ，进而根据勾股定理求出AN，从而即可得到HQ＝NQ=22，再根据勾股定理求出BQ，根据BG=2BQ即可求解。8．【答案】D【解析】【解答】解：∵△DCF的周长等于6，∴CD+CF+DF=6，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=2，BO=DO，AO=CO，AB∥CD，AD∥BC，∴CD+BC=2+4=6，即CD+CF+BF=6，∴CD+CF+DF=CD+CF+BF，∴DF=BF，∴△BDF为等腰三角形，∵BO=DO，∴FO⊥BD，即EF⊥BD，∴∠EOD=90°，故①正确；过点O作MN⊥BC于M，交AD与N，∵AD∥BC，∴MN⊥AD，∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，在△OAE和△OCF中，∠OEA=∠OFC∠OAE=∠OCFAO=CO，∴△OAE≌△OCFAAS，∴AE=CF，同理可得，ON=OM，∴MN=2ON，∵S△DFC=12CF·MN，S△AEO=12AE·ON，∴S△DFC=2S△AEO，故②正确；过点G作HK⊥AB于H，交CD于K，∵AB∥CD，∴HK⊥CD，∴S△ABG+S△DGC=12AB·GH+12CD·GK=12ABGH+GK=12AB·HK，∵S▱ABCD=AB·HK，∴S△ABG+S△DGC=12S▱ABCD，故③正确；过点D作DP⊥BC的延长线于点P，则∠DPC=90°，∵∠ABC=60°，AB∥CD，∴∠DCP=∠ABC=60°，∴∠CDP=90°−60°=30°，∴CP=12CD=12×2=1，∴DP=CD2−CP2=22−12=3，设DF=BF=x，则CF=4−x，∴FP=4−x+1=5−x，在Rt△DPF中，FP2+DP2=DF2，∴5−x2+32=x2，解得x=145，∴CF=4−145=65，∵AE=CF，∴AE=65，故④正确；∴说法正确的个数有4个，故选：D．【分析】根据三角形的周长得到DF=BF，利用三线合一可得EF⊥BD，即可判断①；过点O作MN⊥BC，交AD与N，利用AAS得到△OAE≌△OCF，即可得到AE=CF，同理得到ON=OM，再由三角形的面积公式即可判断②；过点GHK⊥AB于H，交CD于K，根据三角形面积公式可得S△ABG+S△DGC=12AB·HK，即可判断③；过点D作DP⊥BC的延长线于点P，根据两直线平行，同位角相等得到∠DCP=∠ABC=60°，即可得到∠CDP=30°，根据30°的直角三角形的性质可得CP=1，根据勾股定理求出DP=3，再在Rt△DPF中，由勾股定理求出AE的长判断④解答即可．9．【答案】8【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD=2，∴CE=BE−BC=5−2=3，∵AD∥BE，∴点A和点D到直线BC的距离相等，设点A到BC的距离为ℎ，∵△DCE的面积为6，∴12×3×ℎ=6，解得ℎ=4，∴四边形ABCD的面积=2×4=8．故答案为：8．【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及三角形、平行四边形的面积公式，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，得到BC=AD=2，进而求出CE=BE−BC的长度，由AD∥BE可知点A和点D到直线BC的距离相等，设该距离为ℎ，根据三角形面积公式12×CE×ℎ=6求出ℎ，再利用平行四边形面积公式计算其面积。10．【答案】38【解析】【解答】解：如图，作BF⊥CD，设AB=2x，在图甲中，由轴对称的性质可得AB=A'B=2x，∵∠A=60°，∴A'A=AB=2x，∵A'D=4，∴AD=AA'+A'D=2x+4，在图乙中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2x+4，CD=AB=2x，∠C=∠A=60°，∵A'D=6，∴A'C=2x−6，∵BF⊥CD，∴∠BFD=∠BFC=90°，∴CF=12BC=x+2，A'F=A'C−CF=x−8，BF2=BC2−CF2=A'B2−A'F2，∴2x2−x−82=2x+42−x+22，解得x=19，∴AB=2x=38.故答案为：38.【分析】设AB=2x，由轴对称的性质可得AD=2x+4，A'B=2x，在图乙中作BF⊥CD，利用含30°角直角三角形的性质可得CF=x+2，A'F=x-8，再利用勾股定理列出关于x的方程2x2−x−82=2x+42−x+22，解得x=19，进而求得AB的长度.11．【答案】229【解析】【解答】解：点C作NF∥AB， 且CF= BE， 过点D作DN⊥FN于N，则∠DCN =∠A=45°，∴DN=CN，由勾股定理得： DN2+ CN2=CD2=62=36，∴DN=CN=32,∴FN=32+42=72,∵CF\|BE， CF=BE，∴四边形BEFC为平行四边形，∴BF = EC = BD，BF∥EC，∴∠DBF=180°-∠BOC =180°-120°= 60°∴△BDF为等边三角形，∴BD=DF，由勾股定理得： DF=DN2+FN2= 322+722=229,故答案为： 229.【分析】过点C作NF∥AB，且CF= BE， 过点D作DN⊥FN于N，根据勾股定理求出DN、CN，进而求出FN，根据平行四边形的性质得到BF =EC =BD，BF∥EC，根据等边三角形的性质得到BD =DF，根据勾股定理求出DF，得到答案.12．【答案】30【解析】【解答】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点D作DG⊥AB交Ab于点G，过点C作CH⊥AB交AB于点H，如图所示：∵△DCE的面积为36cm2，CD=6cm，∴12CD×EF=36，∴3EF=36，解得：EF=12，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AG=BH，DC//AB，∴CH⊥DF，∵CE⊥BC，∴∠ECF=90°-∠BCF=∠BCH，在△ECF和△BCH中，∠EFC=∠BHC∠ECF=∠BCHEC=BC，∴△ECF≌△BCH（AAS），∴EF=BH=12，∴AG=12，∵DG⊥AB，CH⊥AB，DC//AB，∴GH=CD=6，∴AB=AG+GH+BH=12+6+12=30，故答案为：30.【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点D作DG⊥AB交Ab于点G，过点C作CH⊥AB交AB于点H，先利用三角形的面积公式求出EF的长，再利用“AAS”证出△ECF≌△BCH，可得EF=BH=12，再求出GH=CD=6，最后利用线段的和差求出AB的长即可.13．【答案】4【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD，∴∠BCD＋∠CDA＝180°，∵∠ECD＝2∠CDA，∴∠CDA＝∠ABC＝60°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝BE＝AE，∠AEB＝60°，∵EC＝CD＝AB，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠CAD＝∠ECA，故①正确，（2）由(1)可知：BE＝CE，BC＝2AB，∵OA＝OC，∴OE＝12AB=14BC=14AD，故②正确；（3）由（1）可知AB＝1，BC＝2，∠EAC＝∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴AC＝3，∴OB＝AB2+OA2＝12+(32)2＝72，∴BD＝2OB＝7，故③正确；（4）由（3）可知，S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝AB•AC＝3．故④正确．故答案为：4．【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．证明△ABE是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB＝BE＝AE，∠AEB＝60°，得出AE＝CE，可判断①正确；由三角形中位线定理得出OE＝12AB=14BC=14AD，则可得出②正确；证明∠BAC＝90°，由勾股定理求出OB的长，则可得出③正确；由平行四边形的面积可得出④正确．14．【答案】解：∵▱ABCD，∴∠ADE=∠ABC=45°， 又∵AE⊥CD， ∴∠DAE=∠ADE=45°， ∴AE=DE=2， ∵CE=12DE，∴CE=1， ∵∠C+∠ADC=180°，∠FAD+∠DAE=180°∴∠C=∠FAD=135°在△ADF和△EBC中，∠FAD=∠C，∠F=∠BEC，AD=BC，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AF=CE=1，∴EF=AE+AF=3，∴DF=EF2+DE2=32+22=13．【解析】【分析】先利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质证得AE=DE=2、然后根据AAS得到△ADF≌△CBE，即可得到AF=CE=1，进而可得EF=AE+AF=3，再根据勾股定理解答即可．15．【答案】（1）正确；正确（2）解：选择①，∵AD=BC， AB=CD，∴ABCD为平行四边.选择②，∵AO=CO， BO=DO，∴ABCD为平行四边形【解析】【分析】（1）小吴的方法可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判断；小李的方法可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判断；（2）若选小吴的方法，就证明两组对边相等；若选小李的方法，就证明对角线互相平分.16．【答案】（1）证明：∵点D、E分别为AB，AC的中点∴DE∥BC，DE=12BC，∵点G、F分别为BH，CH的中点，∴GF∥BC，GF=12BC∴DE∥GF，DE=GF∴四边形DEFG为平行四边形（2）解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF=2，∵DG⊥BH，∴∠DGB=90°，∴BG=BD2−DG2=32−22=5，∵G为BH中点，∴BH=2BG=25即线段BH的长度为25．【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．（1）由三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可得：DE∥BC，DE=12BC，GF∥BC，GF=12BC，等量代换得DE∥GF，DE=GF，再由平行四边形的判定：一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形，可知：四边形为平行四边形，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质：对边相等可知：DG=EF=2，再由勾股定理在Rt△BDG中 ，BG=BD2−DG2=32−22=5求出BG的长，最后结合中点的定义可知：BH=2BG=25，即可得到答案．17．【答案】（1）证明：如图1，连接AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA∵AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA在△ABC和△CDA中，∠BAC=∠DCAAC=AC∠ACB=∠DAC ，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AB=CD（2）证明：如图2，作DE∥AB交BC于点E，∵AD∥BC，∴AB=DE∵AB=CD，∴DE=CD，∴∠DEC=∠C∵DE∥AB，∴∠B=∠DEC，∴∠B=∠C；（3）解：如图3，作DF∥AC交BC的延长线于点F∵AD∥BC，∴AC=DF、AD=CF，∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BEC，∵AC⊥BD，∴∠BDF=∠BEC=90°，在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF=5，故BC+AD=BC+CF=BF=5【解析】【分析】 (1) 连接 AC，利用平行线的内错角相等，结合 AC 为公共边，通过 ASA 证明△ABC≌△CDA，从而得 AB=CD。(2) 作 DE∥AB 构造平行线段，结合已知 AB=CD 推出 DE=CD，利用平行线的同位角相等和等腰三角形的底角相等，推导得∠B=∠C。(3)利用 “平行线间平行线段相等”，将 AD 与 BC 的垂线段转化为 AC（或 BD 相关），结合 AC⊥BD 的条件，通过面积法计算两条线段的积。18．【答案】（1）解：选择②③；证明如下；∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°， ∵∠B=∠D，∴∠A+∠D=180°，∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解： ① ：作角平分线如图1；②CD+DE=BC，理由如下；∵ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC， ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE， ∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE=∠ABE，∴AB=AE， ∴BC=AD=AE+DE=CD+DE，∴CD+DE=BC．【解析】【分析】(1)根据两直线平行同旁内角互补得到∠A+∠B=180°， 等量代换得到∠A+∠D=180°，根据平行线的判定得到AB∥CD， 由此根据平行四边形的判定可得到四边形ABCD是平行四边形；（2）①根据尺规作图作出角平分线，解答即可；②根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC， 根据角平分线的概念得到∠ABE=∠CBE， 根据平行线的判定得到∠AEB=∠CBE=∠ABE，再根据等腰三角形的性质得到AB=AE， 再计算线段的和差即可解答.19．【答案】（1）证明：∵ DM丄AB ， ∠ADB=90°， AD=BD，∴M为AB中点，∵ F是边BC的中点 ，∴FM //AC 即FM//AN ∵ EN⊥AC， ∠AEC=90° ， AE =CE∴N为AC中点，∵F为BC中点，∴FN//AB即 FN//AM，∴四边形 ANFM为平行驰形；（2）① DF=EF， DF⊥EF，理由如下：延长DF至H，使得FH=DF，连接CH，EH，DE，∵BF=CF，DF=HF， ∠DFB=∠HFC，∴ △BDF≅△CHF(SAS)∴BD=CH，∠DBF=∠BCH，∵AD=BD∴AD=BD=CH∵四边形BDEC内角和为360°，∴∠ADE+∠DEA+∠BDA+∠AEC+∠DBF+∠ECF=360°∵ ∠ADB=∠AEC=90° ，∴∠ADE+∠DEA+∠DBF+∠ECF=180°，∴∠ADE+∠DEA+∠ECF+∠BCH=180°，∴∠ADE+∠DEA+∠ECH=180°，∵∠ADE+∠DEA+∠DAE=180°，∴∠DAE=∠ECH，∵AD=CH，EC=AE，∴ △DAE≅△HCE(SAS)，∴DE=EH，∠DEA=∠CEH，∴∠DEH=∠AEC=90° ，∴△DEH为等腰直角三角形，∵F是边DH的中点∴DF=EF， DF⊥EF② 由① 可知△BDF≅△CHF，△DAE≅△HCE∴S△BDF=S△CHF，S△DAE=S△HCE∴ 四边形ADBC的面积+△ACE的面积=S△BDF+S四ADFC+S△AEC=S△CHF+S四ADFC+S△AEC=S△DEF-S△ADE+S△CHF+S△HCE=S△DEF+S△HEF=S△DEH∵DF=2，∴FH=EF=2∴DH=22，∵EF⊥DH，∴S△DEH=12×22×2=2∴ 四边形ADBC的面积于△ACE的面积之和为2.【解析】【分析】 (1) 根据等腰直角三角形三线合一的性质得到M为AB中点，N为AC中点，再结合中位线定理即可解答；(2) ① 延长DF至H，使得FH=DF，连接CH，EH，DE，利用SAS证明 △BDF≅△CHF；利用全等三角形的性质和四边形BDEC内角和为360°计算转化可得∠DAE=∠ECH，即可利用SAS证明△DAE≅△HCE，再根据等腰直角三角形的三线合一性质可得到DF=EF， DF⊥EF，解答即可；②通过全等三角形的性质可得S△BDF=S△CHF，S△DAE=S△HC，即可表示处四边形ADBC的面积+△ACE的面积转化可得S△DEH，根据面积公式即可计算出S△DEH的的值为2，由此解答即可.20．【答案】（1）解：由图1可知，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，∴AB=DE=2AC=6，∴由勾股定理得：BC=AE=AB2−AC2=33∴C四边形ABCE=2×(6+33)=12+63（2）解： ①∵平移，∴AF∥CD，AF=CD， ∴四边形ACDF是平行四边形。∴AN∥DM 又∵EF=BC，∴AE∥BD，AE=BD，∴四边形AEDB是平行四边形，∴DN∥AM。∴四边形AMDN是平行四边形。 ②9（3）60°或240°【解析】【解答】解：（2）②AN=DM=12AC=32，AM=DN=12AB=3，∴ 四边形AMDN的周长 =2（AN+AM)=2（32+3）=9.故答案为：9；（3）解：当 △DEF顺时针旋转60°时：位于△D1E1F； 当 △DEF顺时针旋转240°时：位于△D2E2F，当△DEF顺时针旋转60°时，此时两个三角形重合部分为△AD1G，∵AB∥DF，∴∠AD1F=∠D1FD=60°，∴∠BAC=90°-30°=60°，∴△AD1G为等边三角形，符合题意；当△DEF顺时针旋转240°时，此时两个三角形重合部分为△PQC，∵∠PQC=∠AQE1=∠BAC-∠D1E1F=30°=∠PCQ，∴△PQC为等腰三角形，符合题意。故旋转角的度数为：60°或240°。【分析】（1）首先根据含30°锐角的直角三角形的性质求出AB和BC的长度，进而求出四边形ABCE的周长；（2）①根据一组对边平行切线等即可判定得出 四边形 ACDF 是平行四边形，可得出AN∥DM ，再通过证明四边形AEDB是平行四边形， 可得出DN∥AM，进而得出四边形AMDN是平行四边形；②根据 点A为EF的中点， 可得出AN=DM=12AC=32，AM=DN=12AB=3，进而即可得出 四边形AMDN的周长；（3）当 △DEF顺时针旋转60°时，两个三角形重合部分为△AD1G为等边三角形，符合题意；当△DEF顺时针旋转240°时，两个三角形重合部分△PQC为等腰三角形，符合题意。