湖南省名校联合体2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省名校联合体2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求解函数 的定义域与值域得集合 ，再求交集即可.
【详解】由题知集合 分别表示函数 的定义域与值域，
所以 ， ，
所以
2. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. 5 C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【详解】由复数 ，可得 ，则
3. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助对数性质计算即可得.
【详解】 ， ，故 .
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【详解】 .
5. 在平行四边形 中， 是 上靠近点 D 的三等分点，F，G 分别是 ， 的中点， ，
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可.
【详解】在平行四边形 中， ， ，因此 .
已知 是 上靠近 的三等分点，因此 ；
是 中点， 是 中点，则 .
.
，其中 方向与 相反，长度为 的一半，
则 ，
所以 .
6. 在 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ，则 一
定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及正弦定理化简求解即可.
【详解】 ，化简得 .
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根据正弦定理得， .
因为在 中 ，进而 ，故
.
因为 ，所以 ，进而 ，解得 .
所以 为直角三角形.
7. 湘超湘味，湘当韵味！2025 年“湘超”火爆出圈，累计观赛人数超 241 万，全网流量破 163 亿，成为了湖
南足球的精神图腾与全民练兵场，是湖湘文化的新名片！在一场激烈比赛中，某队的 10 号球员从点 A 出发，
以 2.5 米/秒的速度做匀速直线运动，到达 B 点时，发现足球在点 C 处正以 7.5 米/秒的速度向点 A 做匀速直
线运动．已知 米， 米， ．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原
来的速度最快截住足球所用的时间为（ ）
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
【答案】A
【解析】
【分析】设最快截住足球所用时间为 秒，截住位置为点 ，结合余弦定理建立关于 的方程求解即可.
【详解】设最快截住足球所用时间为 秒，截住位置为点 ：
根据速度和路程关系，可得：球员从 出发走的路程 ，
足球从 向 运动后剩余的路程 .
在 中，已知 ， ，
由余弦定理： ，
可得
则 ，解得 或 ，
所以该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为 秒.
8. 若直线 与函数 的图象从左至右交于点 A，B，直线 与 的图象从左至右交
于点 M，N，则当 t 变化时， 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的性质、结合对数函数的性质，平面向量数量积的坐标表示公式、对数的运算性质、
基本不等式进行求解即可.
【详解】当 时， ，所以 A，B 分别与 M，N 重合，因此 ，
所以式子 没有意义，因此 不符合题意，
，
当 时，函数图象如下图所示：
当 时，函数图象如下图所示：
因此 ，
由直线 与函数 的图象从左至右交于点 A，B，
设 ，显然有 ，
于是有 ，
即 ，且 ，
因为直线 与 的图象从左至右交于点 M，N，
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所以设 ，显然有 ，
于是有 ，
即 ，且 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
B. 不等式 对一切实数 x 恒成立的充要条件是
C. 函数 在区间 上存在零点
D. 若 ， ， ，则 的最小值为 4
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于 A，由函数 的定义域为 ，
令 ，得 ，则函数 的定义域为 ，故 A 正确；
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对于 B，由 对一切实数 x 恒成立，
则 ，解得 ，
所以不等式 对一切实数 x 恒成立的充要条件是 ，故 B 错误；
对于 C，因为函数 在 上连续，且 ，
则 ，根据零点存在性定理，
函数 在区间 上存在零点，故 C 正确；
对于 D，由 ， ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则 的最小值为 4，故 D 正确.
10. 函数 的部分图象如图所示， ， 是
相邻的两个零点，则（ ）
A.
B.
C. 函数 的图象关于直线 对称
D. 若函数 在区间 上至少有 10 个零点，则实数 t 的最小值为
【答案】AD
【解析】
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【分析】借助图象结合余弦型函数性质可得该函数解析式，即可得 A；借助零点定义计算可得 B；借助余弦
函数对称轴代入检验可得 C；利用余弦型函数零点计算可得 D.
【详解】由图可得 ，解得 ，
且有 ，则 ，即 ，
则 ，解得 ，
又 ，则 ，故 ；
对 A：由上知， ，故 A 正确；
对 B：令 ，则 ，
则 或 ，
即 或 ，
则 或 ，故 B 错误；
对 C：当 时， ，
由 不是函数 的对称轴，
故 不是函数 的对称轴，故 C 错误；
对 D：当 时， ，
令 ，
由 B 得， 或 ，
由函数 在区间 上至少有 10 个零点，
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则 ，解得 ，
故实数 t 的最小值为 ，故 D 正确.
11. 已知点 O 为 所在平面内一点，满足 （其中 ），则（ ）
A. 当 时，直线 过边 的中点
B. 当 ， 时， 与 的面积之比为
C. 若 ，且 ，则
D. 若 ，且 ，则 ， 满足
【答案】AC
【解析】
【详解】对于 A，设 的中点为 ，当 时， ，
即 三点共线，直线 过边 的中点，A 正确；
对于 B，如图，延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ，
连接 ，设线段 的中点为 ，连接 并延长至点 ，使 ，
连接 ，则四边形 是平行四边形，
所以 ，又 时， ，
所以 ，即 三点共线，且 ，
根据同底等高三角形面积相等，则 ，
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即 与 的面积之比为 ，B 错误；
对于 C，由于 ，且 时， ，
故点 为 的外心和重心，故 为等边三角形，则 ，
由 可得 ，
故 ，C 正确；
对于 D，因为 ，且 ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，D 错误．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 计算： ____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的乘法公式、对数的运算性质、指数幂的运算化简求值即可．
【详解】解：
．
13. 已知两个非零向量 和 ，若 ，则实数 ______．
【答案】
【解析】
【详解】由 ，得 ，则 ，
而向量 和 均为非零向量，因此 ，
所以 .
14. 在 中， ， ，则实数 的最小值为
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____________．
【答案】 ##
【解析】
【 分 析 】 将 两 边 平 方 ,结 合 余 弦 定 理 可 得 ,由
结合正弦定理可得 ,两者结合利用基本不等式求最值.
【详解】在 中， ，可得 .
两边平方得： ，又 .
所以 ，即 .
所以 ，所以 .
由 ，根据正弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
故实数 的最小值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 ， 满足 ， ， ．
（1）求向量 与 的夹角；
（2）若 ，求实数 k 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问 1 详解】
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由 ，得 ，
即 ，则 ，
所以 ，则 ，
又 ，则 .
【小问 2 详解】
由 ，得 ，
则 ，
即 ，解得 .
16. 如图，在直角梯形 中， ， ， ， ，点 O，E 分别为
， 的中点．
（1）设 和 交于点 G，求 的值；
（2）若点 F 在 边上运动（包含端点），求 的取值范围．
【答案】（1）2； （2） .
【解析】
【分析】（1）以点 为原点建立平面直角坐标系，利用向量共线的坐标表示求解.
（2）由（1）中坐标系，利用数量积的坐标表示列式求出范围.
【小问 1 详解】
在直角梯形 中， ， ， ， ，连接 ，
则 ，四边形 为平行四边形， ， ，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立平面直角坐标系，
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则 ，令 ，则 ，
，由 在 上，得 ，
因此 ，解得 ，即 ，则 ，
所以 的值为 2.
【小问 2 详解】
由（1）得 ，由点 F 在 边上，设 ，
则 ， ，而 ，
因此 ，
所以 的取值范围为 .
17. 在 中，内角 所对的边分别是 ，且 ， ．
（1）求角 ；
（2）若 ， 平分 交 于点 ，求 的长；
（3）在第（2）问的条件下，若点 为边 的中点，求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换整理得 ，进而求得答案；
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（2）结合已知，根据余弦定理求得 ，再结合 求解即可.
（3）根据 ，结合向量的模的求解得 ，再将（2）的结果代入
求解即可.
【小问 1 详解】
解：因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以
【小问 2 详解】
解：因为 ， ，
所以，由余弦定理得 ，即
因为 ，
所以 ，解得 ，
因为 平分 交 于点 ，
所以 ，即
所以 ，即 .
【小问 3 详解】
解：因为点 为边 的中点，所以 ，
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所以
，
由（2）知， ， ，
所以 ，
所以 ，即
18. 已知函数 ，定义域为 ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）已知方程 在区间 上有两个不同的实数解，求实数 a 的取值范围；
（3）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵
坐标不变，得到函数 的图象．函数 ， ， ，若对任意的 ，总
存在 ，使得 成立，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） ;
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角公式将 化简，应用公式 即可求出周期；
（2）将方程两个实数解问题转化成函数有两个交点问题，利用换元将函数 转化成正弦函数求解；
（3）由对任意的 ，总存在 ，使得 成立，本质上是两个函数在给定
区间上的值域包含问题，利用换元法求值域即可.
【小问 1 详解】
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由
，
从而函数 的最小正周期 .
【小问 2 详解】
由 ，即 ，则 ，
令 ， ，则 ，
则 ，在 上有两个不同的实数解，即 与 有两个不同的交点；如图
，解得 ，即实数 a 的取值范围 ；
【小问 3 详解】
将函数 的图象向右平移 个单位长度
得
函数图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变
得
当 ，则 ，可得 ，
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从而 ；
当 ，则 ，可得 ，
从而 ，
当 ， ，
当 ， ，
由对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
则 或
解得 或 ，
实数 m 的取值范围为 ．
19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对 视为一个向量，
记作 ，关于复向量的有关运算，现定义如下：两个复向量 ， 的积记作
，定义为 ，其中 ， 分别为 ， 的共轭复数，显然两个复向量的积也为复
数．复向量 的模定义为 ， 与 的夹角记作 ，则 ，若复向量 与 满足
，则称复向量 与 平行．定义以复向量 ， 为“邻边”的“平行四边形”的面积为
．记 i 为虚数单位．设复向量 ．
（1）若复向量 ，求 ；
（2）若复向量 ，且 与 平行，求 z；
（3）若复向量 ，其中 m， ，且 ．试问对于满足条件的任意实数 m，
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n， 是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3） 是定值且该定值为 ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接套用题目定义的复向量内积公式，先求出 两个分量的共轭复数，再代入 的分量展开计
算，利用 化简得到结果；
（2）根据题目定义的平行条件，将 设为 的复数倍数，通过分量对应相等求出复数系数，再代入计算得
到 的值；
（3）先利用复向量模的定义，结合 求出 与 ，再计算内积 并求出其模长，进而由夹角
公式得到 ，再求出 ，最后代入面积公式验证结果为定值.
【小问 1 详解】
由题意得 ；
【小问 2 详解】
设 ，
则 ，
得 ，
又 ，
，
若 与 平行，则 ，即 ，
整理得 ，所以 ， ，
所以 ；
【小问 3 详解】
设 与 的夹角为 ，则
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，
由题意知 ，
， ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 是定值，且该定值为 ．
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