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湖南省名校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）
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这是一份湖南省名校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了已知，则，已知集合，则等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
得分：__________.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1.已知，则（ ）
A.1 B.2 C. D.5
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，把通过四舍五入精确到小数点后位的近似值分别记为，若从中任取1个数字，则满足的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知圆台的上､下底面的半径分别为，若，过轴（其中分别为上､下底面的圆心）的轴截面的面积为，则该圆台的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，正方形是同样大小的正方形，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，则（ ）
A. B.
C. D.大小不能确定
7.将函数的图象的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，曲线与的交点个数为（ ）
A.3 B.4 C.6 D.8
8.由甲､乙､丙､丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲､丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙､丙都猜对的概率是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.
9.已知小王2023年5月份总收入10000元，总支出5000元，他的各项收入与支出占比情况如下表：
则下列判断中正确的是（ ）
A.小王2023年5月份的收入主要来源是工资
B.小王2023年5月份的兼职收入低于食的支出
C.小王2023年5月份的最大支出出于食
D.小王2023年5月份的工资刚好够支出
10.《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏赋所写的一首词作.其下阕为“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”，如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（ ）
A.秋千绳与墙面始终平行
B.秋千绳与道路所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复
C.秋千板与墙面所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复
D.秋千板与道路始终垂直
11.若且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量满足，且，则__________.
13.王老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为）；③在上为单调增函数.王老师说某中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确.请你写出一个这样的函数__________.
14.在直三棱柱中，分别为的中点，则过作直三棱柱的截面，则截面的面积等于__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文笔说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间的最大值和最小值.
16.（本小题满分15分）
某中学有高一年级学生1000人，高二年级学生800人，高三年级学生800人，参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取260名学生，对其成绩进行统计分析.得到如下图所示的顼率分布直方图.
（1）求以及从该校高一年级､高二年级､高三年级学生中各抽取的人数；
（2）根据频率分布直方图，估计该校这2600名学生中竞赛成绩在80分（含80分）以上的人数；
（3）根据频率分布直方图，估计该校这2600名学生竞赛成绩的平均数､中位数､众数.（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）（结果取1位小数）
17.（本小题满分15分）
已知内角所对的边长分㓩为.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
18.（本小题满分17分）
如图，在棱长为3的正方体中，为的中点.
（1）求证：平面，
（2）在体对角线上是否标在动点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
19.（本小题満分17分）
将连续正奇数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当肘，此时为1357911，共有7个数字，则.现从这个数中随机取一个数学，为恰好取到1的概率.
（1）求，
（2）当时，求的表达式；
（3）求满足的的对数（注：算一对）
名校联考联合体2024年春季高一年级期未考试
数学参考答案
一､二､选择题：1~8题为单项选择题，每小题5分，共40分；9~11题为多项选择题，每小题6分，共18分，每题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
1.A 【解析】，所以.故选.
2.D 【解析】集合，所以.故选D.
3.B 【解析】由题意可得，从中任取1个数字，结果有4种，其中满足的有，共2种，故所求概率.故选B.
4.C 【解析】，因为，所以，即.故选C.
5.A 【解析】如图所示，过点作垂直于点，则，
设圆台的高为.因为过轴的横截面的面积为，
所以，解得，
所以在直角中，，
所以.故选A.
6.C 【解析】设正方形的边长为，
则，
，
所以.
故选C.
7.C 【解析】将函数的图象的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到，然后再向右平移个单位长度，得到，作出函数与函数在上的图象如下图所示，
观察图象可知，曲线与的交点个数为6.故选C.
8.B 【解析】设甲､乙､丙､丁猜对的概率依次为，依题意，根据独立事件的性质，可得
解得所以乙､丙都猜对的概率是.故选B.
9.ACD 【解析】对于A项，小王2023年5月份的收入来源中工资占比为，占比最大，故A正确；对于B项，小王2023年5月份的兼职收入为，食的支出为，故小王2023年5月份的兼职收入高于食的支出，故B错误；
对于C项，小王2023年5月份的支出中食占比为，占比最大，故C正确；
对于D项，小王2023年5月份的工资收入为，刚好够支出，故D正确.
故选ACD.
10.ABD 【解析】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，故A正确；但与道路所成的角在变化，逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复.故B正确；
秋千板始终与墙面垂直，故C错误；
秋千板也与道路始终垂直.故D正确.
故选ABD.
11.ABD 【解析】因为且，所以，则，所以，，
对于A项，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B项，，当且仅当，即时等号成立，所以，故正确；
对于C项，，因为，所以，所以，即，故C错误；
对于D项，，当且仅当时等号成立，此时不符合题意，所以等号不成立，故D正确.
故选ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.-8 【解析】由，解得.
13.（答案不唯一） 【解析】由题意可得满足②③，不满足①，符合题意.
14. 【解析】如图，取的中点，连接，
结合三棱柱的性质知：且，因为是的中位线，
所以且，所以且，所以四点共面，
则过作直三棱柱的截面就是梯形.
因为，所以由勾股定理得，
，
则等腰梯形的高，
所以截面等腰梯形的面积.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步叕.
15.【解析】（1）
，
所以函数的最小正周期.
（2）因为，所以，
所以，
即函数在区间的最大值为1，最小值为.
16.【解析】（1）由频率分布直方图可得：，
解得.
依题意从高一年级学生中抽取人，
从高二年级学生中抽取人，
从高三年级学生中抽取人.
（2）由频率分布直方图可得样本中竞赛成绩在80分（含80分）以上的频率为，
所以估计该校这2600名学生中竞赛成绩在80分（含80分）以上的人数为人
（3）估计该校这2600名学生竞赛成绩的平均数为
，
因为，
所以中位数位于区间内，设为，
则，解得，故估计中位数为76.4，
因为区间的频率最大，所以估计众数为75.
17.【解析】（1）由，得，
由余弦定理得，
得，
所以，
又，则.
（2）因为为锐角三角形，，则，
所以可得，
又，由正弦定理，得，
而，所以，则，则，
故的取值范围为.
18.【解析】（1）证明：连接，交于点，连接.
因为四边形是正方形，所以是的中点，
又是的中点，所以.
因为平面平面，所以平面.
（2）在对角线上存在点，且，使得平面.
证明如下：因为四边形是正方形，所以.
因为平面平面，所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
作于点，因为，所以.
因为平面，平面平面，
所以平面.
由，得.
所以当时，平面.
19.【解析】（1）当时，，
即这个数中共有95个数字，其中数字1的个数为，
则恰好取到1的概率为.
（2）当时，这个数由个一位数组成，；
当时，这个数由5个一位数和个两位数组成，
则；
当时，这个数由5个一位数，45个两位数和个三位数组成，
则；
当时，这个数由5个一位数，45个两位数，450个三位数和个四位数组成，
则；
综上所述，
（3）由（2）得，当时，；
当时，；
当时，；
要满足，
则或，
或或或或或或或或或或或或或或或或
又显然是关于的单调递增函数，所以与是一一对应的，
所以满足的的对数是17对.工资
兼职
理财
其他
收入占比
衣
食
住
行
其他
支出占比
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
B
C
A
C
C
B
ACD
ABD
ABD
时量：120分钟 满分：150分
得分：__________.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1.已知，则（ ）
A.1 B.2 C. D.5
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，把通过四舍五入精确到小数点后位的近似值分别记为，若从中任取1个数字，则满足的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知圆台的上､下底面的半径分别为，若，过轴（其中分别为上､下底面的圆心）的轴截面的面积为，则该圆台的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，正方形是同样大小的正方形，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，则（ ）
A. B.
C. D.大小不能确定
7.将函数的图象的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，曲线与的交点个数为（ ）
A.3 B.4 C.6 D.8
8.由甲､乙､丙､丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲､丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙､丙都猜对的概率是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.
9.已知小王2023年5月份总收入10000元，总支出5000元，他的各项收入与支出占比情况如下表：
则下列判断中正确的是（ ）
A.小王2023年5月份的收入主要来源是工资
B.小王2023年5月份的兼职收入低于食的支出
C.小王2023年5月份的最大支出出于食
D.小王2023年5月份的工资刚好够支出
10.《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏赋所写的一首词作.其下阕为“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”，如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（ ）
A.秋千绳与墙面始终平行
B.秋千绳与道路所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复
C.秋千板与墙面所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复
D.秋千板与道路始终垂直
11.若且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量满足，且，则__________.
13.王老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为）；③在上为单调增函数.王老师说某中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确.请你写出一个这样的函数__________.
14.在直三棱柱中，分别为的中点，则过作直三棱柱的截面，则截面的面积等于__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文笔说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间的最大值和最小值.
16.（本小题满分15分）
某中学有高一年级学生1000人，高二年级学生800人，高三年级学生800人，参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取260名学生，对其成绩进行统计分析.得到如下图所示的顼率分布直方图.
（1）求以及从该校高一年级､高二年级､高三年级学生中各抽取的人数；
（2）根据频率分布直方图，估计该校这2600名学生中竞赛成绩在80分（含80分）以上的人数；
（3）根据频率分布直方图，估计该校这2600名学生竞赛成绩的平均数､中位数､众数.（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）（结果取1位小数）
17.（本小题满分15分）
已知内角所对的边长分㓩为.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
18.（本小题满分17分）
如图，在棱长为3的正方体中，为的中点.
（1）求证：平面，
（2）在体对角线上是否标在动点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
19.（本小题満分17分）
将连续正奇数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当肘，此时为1357911，共有7个数字，则.现从这个数中随机取一个数学，为恰好取到1的概率.
（1）求，
（2）当时，求的表达式；
（3）求满足的的对数（注：算一对）
名校联考联合体2024年春季高一年级期未考试
数学参考答案
一､二､选择题：1~8题为单项选择题，每小题5分，共40分；9~11题为多项选择题，每小题6分，共18分，每题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
1.A 【解析】，所以.故选.
2.D 【解析】集合，所以.故选D.
3.B 【解析】由题意可得，从中任取1个数字，结果有4种，其中满足的有，共2种，故所求概率.故选B.
4.C 【解析】，因为，所以，即.故选C.
5.A 【解析】如图所示，过点作垂直于点，则，
设圆台的高为.因为过轴的横截面的面积为，
所以，解得，
所以在直角中，，
所以.故选A.
6.C 【解析】设正方形的边长为，
则，
，
所以.
故选C.
7.C 【解析】将函数的图象的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到，然后再向右平移个单位长度，得到，作出函数与函数在上的图象如下图所示，
观察图象可知，曲线与的交点个数为6.故选C.
8.B 【解析】设甲､乙､丙､丁猜对的概率依次为，依题意，根据独立事件的性质，可得
解得所以乙､丙都猜对的概率是.故选B.
9.ACD 【解析】对于A项，小王2023年5月份的收入来源中工资占比为，占比最大，故A正确；对于B项，小王2023年5月份的兼职收入为，食的支出为，故小王2023年5月份的兼职收入高于食的支出，故B错误；
对于C项，小王2023年5月份的支出中食占比为，占比最大，故C正确；
对于D项，小王2023年5月份的工资收入为，刚好够支出，故D正确.
故选ACD.
10.ABD 【解析】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，故A正确；但与道路所成的角在变化，逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复.故B正确；
秋千板始终与墙面垂直，故C错误；
秋千板也与道路始终垂直.故D正确.
故选ABD.
11.ABD 【解析】因为且，所以，则，所以，，
对于A项，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B项，，当且仅当，即时等号成立，所以，故正确；
对于C项，，因为，所以，所以，即，故C错误；
对于D项，，当且仅当时等号成立，此时不符合题意，所以等号不成立，故D正确.
故选ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.-8 【解析】由，解得.
13.（答案不唯一） 【解析】由题意可得满足②③，不满足①，符合题意.
14. 【解析】如图，取的中点，连接，
结合三棱柱的性质知：且，因为是的中位线，
所以且，所以且，所以四点共面，
则过作直三棱柱的截面就是梯形.
因为，所以由勾股定理得，
，
则等腰梯形的高，
所以截面等腰梯形的面积.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步叕.
15.【解析】（1）
，
所以函数的最小正周期.
（2）因为，所以，
所以，
即函数在区间的最大值为1，最小值为.
16.【解析】（1）由频率分布直方图可得：，
解得.
依题意从高一年级学生中抽取人，
从高二年级学生中抽取人，
从高三年级学生中抽取人.
（2）由频率分布直方图可得样本中竞赛成绩在80分（含80分）以上的频率为，
所以估计该校这2600名学生中竞赛成绩在80分（含80分）以上的人数为人
（3）估计该校这2600名学生竞赛成绩的平均数为
，
因为，
所以中位数位于区间内，设为，
则，解得，故估计中位数为76.4，
因为区间的频率最大，所以估计众数为75.
17.【解析】（1）由，得，
由余弦定理得，
得，
所以，
又，则.
（2）因为为锐角三角形，，则，
所以可得，
又，由正弦定理，得，
而，所以，则，则，
故的取值范围为.
18.【解析】（1）证明：连接，交于点，连接.
因为四边形是正方形，所以是的中点，
又是的中点，所以.
因为平面平面，所以平面.
（2）在对角线上存在点，且，使得平面.
证明如下：因为四边形是正方形，所以.
因为平面平面，所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
作于点，因为，所以.
因为平面，平面平面，
所以平面.
由，得.
所以当时，平面.
19.【解析】（1）当时，，
即这个数中共有95个数字，其中数字1的个数为，
则恰好取到1的概率为.
（2）当时，这个数由个一位数组成，；
当时，这个数由5个一位数和个两位数组成，
则；
当时，这个数由5个一位数，45个两位数和个三位数组成，
则；
当时，这个数由5个一位数，45个两位数，450个三位数和个四位数组成，
则；
综上所述，
（3）由（2）得，当时，；
当时，；
当时，；
要满足，
则或，
或或或或或或或或或或或或或或或或
又显然是关于的单调递增函数，所以与是一一对应的，
所以满足的的对数是17对.工资
兼职
理财
其他
收入占比
衣
食
住
行
其他
支出占比
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
B
C
A
C
C
B
ACD
ABD
ABD
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