湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一下学期期中联考数学（A卷）试卷（Word版附解析）

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时量：120 分钟 满分：150 分
（考试范围：必修第一册，必修第二册第六､七､八章）
得分：__________
一､选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题意的）
1 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则 （ ）
A B. C. D.
3. 已知 ，那么 （ ）
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面
B. 平行于同一个平面的两个平面平行
C. 若直线 与平面 平行，则 与平面 内的任意一条直线都平行
D. 垂直于同一条直线的两条直线平行
5. 若向量 ， ， 两两的夹角均为 ，且 ， ， ，则 （ ）
A. 4 B. C. 2 D.
6. 如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度 ，选取了与 O 在同一水平面且在同一水平线上的 A，
B，C 三处．已知在 A，B，C 处测得该建筑顶部 P 的仰角分别为 ， ， ， ，则
该建筑的高度 （ ）
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A. B. C. D.
7. 已知函数 在区间 上有零点，则 k 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已 知 函 数 分 别 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ， 且 当 时 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A. 是周期为 2 的函数
B.
C. 函数 为奇函数
D 函数 有 5 个零点
二､多选题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要永，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知 ，令 ，则下列结论正确 是（ ）
A. 的定义域是
B. 的解集为
C. 是奇函数
D. 区间 上单调递增，在区间 上单调递减
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10. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的单调递增区间为
B. 在区间 上的值域为
C. 若 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，则
D. 若 在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围是
11. 已知正方体 的棱长为 为 的中点， 为 的中点，则下列结论正确的是
（ ）
A. 平面
B. 异面直线 与 所成角的余弦值为
C. 点 到平面 的距离为 2
D. 四面体 的外接球的体积为
三､填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 计算： ______．
13. 如图，正方形 ABCD 的边长为 20，分别以边 AB 和 CD 的中点 E，F 为圆心画弧 AO 和 CO，以直线 EF
为轴旋转，弧 AO，CO 和线段 AE，CF 旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是______．
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14. 如图，已知 是边长为 2 的等边三角形，D 是 AB 的中点，E 是 BC 的一个靠近点 B 的三等分点，
连 接 DE 并 延 长 至 点 F， 连 接 AF 交 BC 于 点 G． 若 ， 则 的 值 是 ______； 若
，则 的值是______．
四､解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知平面向量 ， ， ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）当 时，求函数 的最小值及此时 x 的值．
16. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别是 ．
（1）求顶点 D 的坐标；
（2）求 的面积．
17. 如图，在四面体 中， ，点 为线段 的中点，
且 .
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（1）证明：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
18. 已知 a，b，c 分别为 的三个内角 A，B，C 的对边，且 ．
（1）判断 的形状；
（2）若 D 为 AC 的中点，且 ，求 面积的最大值及此时的三边长．
19. 将函数 的图象整体沿 x 轴正方向平移 m 个单位长度 ，再沿 y 轴方向平移 个单位长度
（ 时沿 y 轴正方向平移， 时沿 y 轴负方向平移），得到新函数 的图象，若新函数图象与原
函数图象重合，称原函数在 方向上具有平移不变性． 是函数 在 方
向上具有平移不变性的充要条件．例如： 在 方向上具有平移不变性．
（1）判断以下三个函数是否具有平移不变性，若具有该性质，则直接写出一个平移方向．
① ；
② （其中 表示不超过 x 的最大整数）；
③ ．
（2）已知点 关于直线 对称的点是 ，点 关于点 对称的点是 ，
现函数 的图象既关于直线 对称，又关于点 对称，当 时， ．
（ⅰ）求点 先关于直线 对称再关于点 对称的点坐标；
（ⅱ）证明 在 方向上具有平移不变性；
（ⅲ）求 ．
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