湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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时量：120 分钟 满分：150 分
得分：
一、选择题（本大题要 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题意的）
1. 若 ，则 （ ）
A. 12 B. 1 C. D. 5
2. 若 ，则 （ ）
A. －16 B. －15 C. －14 D. －13
3. 若命题 ，命题 ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数 图象的对称中心坐标为（ ）
A B.
C. D.
5. 如图，在棱长均为 2 正四面体 中， ， 分别为 ， 的中点，则 ， 所成角的
余弦值为（ ）
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A. B. C. D.
6. 若函数 的图象如图，则 的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知某大厂的甲、乙车间生产的圆钢数之比为 ，现在要对甲、乙两个车间生产这种圆钢的直径进行
误差抽检，具体要求为按比例分层抽检 50 根，若抽检的甲、乙车间圆钢的直径误差的平均值分别为
，误差的方差分别为 ，则可以估计甲、乙车间的总体误差的方差约
为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知球 的半径为 1，两个大圆面 ， 互相垂直， ，若平面
与平面 的夹角为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
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9. 在某次高三模拟考试后，数学老师统计了第一组的 8 名同学第 19 题的得分情况如下：7，9，5，8，5，3
，3，3，第二组的 8 名同学第 19 题的得分情况如下：8，10，6，9，6，4，4，4，则（ ）
A. 第二组的平均数比较大 B. 两组的中位数之差的绝对值为 1
C. 两组的众数相等 D. 两组的极差相等
10. 若将 4 张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面半径均为 1，高均为 2 的一个密闭圆锥和一
个密闭圆柱、上下底面半径分别为 ，高为 2 的一个密闭圆台及直径为 2 的一个球（不考虑损耗），则体
积与其表面积之比最大的是（ ）
A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 圆台
11. 在 中，三个角 所对的边分别为 ，其外接圆的半径为 ，若 ，则（ ）
A. 的面积为 B.
C. D.
三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 从 1，2，3，5 这四个数中随机取出 2 个不同数，则它们差的绝对值为质数的概率为______．
13 若 或 ，则 ______．
14. 若方程 在 上有唯一解 ，则 的值为______．
四、解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ．
16. 在直三棱柱 中，已知 为 的中点， ．
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（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ， ，证明： 平面 ．
17. 已知 均为第一象限的角，且
（1） 的值；
（2） 值．
18. 如图，在平面四边形 中，已知 ， 交于 ， ， ， ，
且 ，令 ， ．
（1）判断： 是否成立？请说明理由；
（2）求 的值；
（3）证明：当 时， 位于 外接圆的内部．
19. 在不透明的甲袋中装有相同的 6 个红色的乒乓球，其中 个球上标有数字 个球上标有数字
个球上标有数字 3，在不透明的乙袋中装有相同的 3 个白色的乒乓球，其中 个球上标有数字
个球上标有数字 ， 个球上标有数字 3．
（1）若 ，分别从甲、乙袋中随机摸出一个球，求摸出两个球的数字相等的概率；
（2）若 ，从甲袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为 ，再从乙袋中有
放回地随机摸出两个球，记下数字之和为 ，求 的概率；
（3）若 ，将乙袋中 球倒入甲袋中，此时从甲袋中不放回地依次取 2 个小球，每
次取 1 个，记事件 第一次取到的是红球 ，事件 第二次取到了标记数字 1 的球 是否相
互独立?请说明理由．