湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（A卷） 含解析

这是一份湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（A卷） 含解析，共19页。试卷主要包含了 已知集合 ，则， 若 ，则， 已知 ，那么， 下列说法正确的是， 已知 ，则下列结论正确 是等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 满分：150 分
（考试范围：必修第一册，必修第二册第六､七､八章）
得分：__________
一､选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题意的）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】联立方程组，计算出 ，得到交集.
【详解】由方程组 ，解得 ，则 .
故选：C．
2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数除法结合共轭复数概念可得答案.
【详解】 ，则 .
故选：B．
3. 已知 ，那么 （ ）
A. B. C. D.
第 1页/共 19页
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式求解即可.
【详解】若 ，
则 ，即 ，
故选：A．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面
B. 平行于同一个平面的两个平面平行
C. 若直线 与平面 平行，则 与平面 内的任意一条直线都平行
D. 垂直于同一条直线的两条直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】利用反例说明 A，根据面面平行的性质判断 B，根据线面平行的性质判断 C，根据线线位置关系判
断 D.
【详解】对于 A：共线的三点不能确定一个平面，故 A 错误；
对于 B：平行于同一个平面的两个平面平行，故 B 正确；
对于 C：若直线 与平面 平行，则 与平面 内的直线可能平行或异面，故 C 错误；
对于 D：垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故 D 错误.
故选：B.
5. 若向量 ， ， 两两的夹角均为 ，且 ， ， ，则 （ ）
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据数量积的定义求 ， ， ，再根据 可求 .
【详解】 ， .
则 ，则 .
第 2页/共 19页
故选：C
6. 如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度 ，选取了与 O 在同一水平面且在同一水平线上的 A，
B，C 三处．已知在 A，B，C 处测得该建筑顶部 P 的仰角分别为 ， ， ， ，则
该建筑的高度 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意，利用 由余弦定理计算即可.
【详解】设 ，则 ，
在 中， ，则 ，
解得 ，则 .
故选：B．
7. 已知函数 在区间 上有零点，则 k 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得方程 在区间 上有解，然后由函数知识求得函数 在区间 上的
第 3页/共 19页
值域可得答案.
【详解】函数 在区间 上有零点 方程 在区间 上有解，
函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，则 .
故选：D．
8. 已 知 函 数 分 别 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ， 且 当 时 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A. 是周期为 2 的函数
B.
C. 函数 为奇函数
D. 函数 有 5 个零点
【答案】D
【解析】
【分析】由题设有 ，再作进一步变形判断 A；利用周期性及已知区间解析式求
函数值判断 B；由奇偶性定义判断 C；问题化为 和 的图象的交点个数，数形结合判断 D.
【详解】A， 为 上的奇函数， 为偶函数，
所以 的图象关于直线 对称， ，
即 ，则 是以 4 为周期的函数，错误；
B， 是 上的奇函数，则 是以 4 为周期的函数，则 ，
当 时， ，则 ，则 ，
所以 ，错误；
C， 为偶函数，所以 ，即 ，故 是偶函
数，错误；
第 4页/共 19页
D，函数 的零点个数等价于 和 的图象的交点个数，
而 ，结合 和 的图象，共有 5 个交点，正确．
故选：D
二､多选题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要永，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知 ，令 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域是
B. 的解集为
C. 是奇函数
D. 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】A 选项，根据真数大于 0 得到不等式，求出定义域；B 选项，根据函数单调性和定义域得到不等式，
求出不等式解集；C 选项，先求出函数定义域，再得到 ，C 正确；D 选项， 在
上单调递增， 在 上单调递减，从而得到 D 错误.
【详解】A 选项，由已知， ，故 ，
解得 ，所以 的定义域为 ，A 正确；
B 选项，由 ，得 解得 正确；
C 选项， 的定义域为 ，
第 5页/共 19页
又 ，
∴ 为奇函数，C 正确；
D 选项， 在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，D 错误．
故选：ABC
10. 已知 ，则下列结论正确 是（ ）
A. 的单调递增区间为
B. 在区间 上的值域为
C. 若 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，则
D. 若 在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正弦型函数的性质，图象的平移变换及函数的零点问题逐项判断求解即可.
【详解】对于 A，由 ，解得 ，选项 A
正确；
对于 B，令 ，由 得 在 上单调递增，在 上单
调递减，
的值域为 ，选项 B 错误；
对于 C， 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，又 ，
即
第 6页/共 19页
，
，即 ，选项 C 正确；
对于 D，令 在区间 上恰有两个零点，
在区间 上恰有两个零点，
，解得 ，选项 D 正确．
故选：ACD
11. 已知正方体 的棱长为 为 的中点， 为 的中点，则下列结论正确的是
（ ）
A. 平面
B. 异面直线 与 所成角的余弦值为
C. 点 到平面 的距离为 2
D. 四面体 的外接球的体积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据线面垂直 判定定理证明判定 A，连接 ，根据异面直线夹角定义知 为 与
所成的角，然后由余弦定理求解即可判断 B，将点 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，
利用等体积法求解判断 C，利用补体法求得外接球的半径，代入球的体积公式求解判断 D.
【详解】 平面 ，
平面 ，又 平面 ， ，
第 7页/共 19页
同理可证 ，又 平面 ，
平面 ，A 正确；
连接 ， 四边形 为平行四边形， ，
则 为 与 所成的角.
在 中由余弦定理可得 ，B 正确；
点 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，
，
在 中， ，
，
点 到平面 的距离为 ，C 错误；
四面体 的外接球即正方体 的外接球，所以直径为 ，
故其外接球体积为 ，D 正确.
故选：ABD
三､填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 计算： ______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据指数及对数运算律计算求解.
第 8页/共 19页
【详解】 ．
故答案为： .
13. 如图，正方形 ABCD 的边长为 20，分别以边 AB 和 CD 的中点 E，F 为圆心画弧 AO 和 CO，以直线 EF
为轴旋转，弧 AO，CO 和线段 AE，CF 旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转所成的两个半球，且可合为一个半径为 10 的球体，即可求表面积.
【详解】由图象知，以直线 为轴旋转，弧 和线段 旋转一周形成的面所围成的
几何体是两个半径均为 10 的半球，可合为一个完整的球，
故几何体的表面积为一个球的表面积加两个圆的面积，
即 ．
故答案为：
14. 如图，已知 是边长为 2 的等边三角形，D 是 AB 的中点，E 是 BC 的一个靠近点 B 的三等分点，
连 接 DE 并 延 长 至 点 F， 连 接 AF 交 BC 于 点 G． 若 ， 则 的 值 是 ______； 若
，则 的值是______．
第 9页/共 19页
【答案】 ①. ②. ##0.4
【解析】
【分析】根据向量的线性运算表示出 ，结合数量积的运算求解，即可得第一空答案；
过点 作 交 于点 ，设 ，表示出 ，结合 求
出 ，即得 ，继而推得 ，即可得第二空答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以
．
过点 作 交 于点 ，设 ，
则
，
，
解得 ，所以 ，
第 10页/共 19页
又 ，而 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，即得 ．
故答案为： ；
四､解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知平面向量 ， ， ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）当 时，求函数 的最小值及此时 x 的值．
【答案】（1）
（2） 时， 的最小值为 0
【解析】
【分析】（1）根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得 的解析式，利用正弦函数周期公式，即可
求得答案；
（2）根据 ，确定 ，利用正弦函数性质，即可求得答案.
【小问 1 详解】
，
故函数 的最小正周期为 ．
【小问 2 详解】
第 11页/共 19页
由 ，可知 ，
结合正弦函数单调性知 在 时取得最小值，此时 ，
所以取 得， ．
16. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别是 ．
（1）求顶点 D 的坐标；
（2）求 的面积．
【答案】（1）
（2）15
【解析】
【分析】（1）方法一：根据 求 点坐标.
方法二：根据 先求 ，再根据 可求 点坐标
（2）先求 ，判断 的形状，再求其面积.
【小问 1 详解】
法一：设顶点 的坐标为 ，
因 ， ，
又 ，所以 ，
即 ，解得 .所以点 的坐标为 ．
法二：由向量加法的平行四边形法则可知，其中 为坐标原点，
，
而 ，所以点 的坐标为 ．
【小问 2 详解】
由（1）可知， ，
则 ，故 ，
第 12页/共 19页
因此 是直角三角形．
.
17. 如图，在四面体 中， ，点 为线段 的中点，
且 .
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出 ，结合 得到 平面 ，故 ，由勾股定理逆定理
得到 ，从而得到线面垂直；
（2）作出辅助线，得到线面垂直，则 为 与平面 所成的角，求出各边长，利用
得到答案.
【小问 1 详解】
点 为 中点，且 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，故
，即 ，
第 13页/共 19页
， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ .
∵ ，
由勾股定理得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
【小问 2 详解】
如图，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
由（1）知 平面 ，又 平面 ，
故 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 .
则 为 与平面 所成的角.
，由勾股定理得 ，
所以 ，其中 ，
第 14页/共 19页
则 .
18. 已知 a，b，c 分别为 的三个内角 A，B，C 的对边，且 ．
（1）判断 的形状；
（2）若 D 为 AC 的中点，且 ，求 面积的最大值及此时的三边长．
【答案】（1）等腰三角形．
（2）最大值为 6，
【解析】
【分析】（1）方法一：根据正弦定理、余弦定理，从边的角度判断三角形的形状.
方法二：利用正弦定理实现边化角，再结合三角形内角和公式与两角和的余弦公式，从角的角度判断三角
形的形状.
（2）方法一：在 和 中，利用余弦定理表示 ，列式可得 的数量关系，再结合基本
不等式可求 面积的最大值及对应的边长.
方法二：建立平面直角坐标系，用解析法探索 的关系，再结合基本不等式可求 面积的最
大值及对应的边长.
【小问 1 详解】
法一： ，由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
化简得 ，即 ，
故 为等腰三角形．
法二： ，
由正弦定理得 ，
整理得 ，
即 ，
，即 ，
，
第 15页/共 19页
整理得 ，即 ，
故 为等腰三角形．
【小问 2 详解】
法一：由 为 的中点，且 ，可得 ，
由余弦定理得， ，
整理得 ，
如图 1，过点 向 作垂线 ，垂足为点 ，由（1）易知 ，
在 中，由勾股定理可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 面积的最大值为 6，
由 解得 ，
综上， 面积的最大值为 6，此时 ．
法二：建立平面直角坐标系如图 2，由（1）可得 ，
由 为 的中点可得 ，
因为 ，由两点间距离公式可得 ，
第 16页/共 19页
整理得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 面积的最大值为 6，
由 ，可得 ，则 ，
综上， 面积的最大值为 6，此时 .
19. 将函数 的图象整体沿 x 轴正方向平移 m 个单位长度 ，再沿 y 轴方向平移 个单位长度
（ 时沿 y 轴正方向平移， 时沿 y 轴负方向平移），得到新函数 的图象，若新函数图象与原
函数图象重合，称原函数在 方向上具有平移不变性． 是函数 在 方
向上具有平移不变性的充要条件．例如： 在 方向上具有平移不变性．
（1）判断以下三个函数是否具有平移不变性，若具有该性质，则直接写出一个平移方向．
① ；
② （其中 表示不超过 x 的最大整数）；
③ ．
（2）已知点 关于直线 对称的点是 ，点 关于点 对称的点是 ，
现函数 的图象既关于直线 对称，又关于点 对称，当 时， ．
（ⅰ）求点 先关于直线 对称再关于点 对称的点坐标；
（ⅱ）证明 在 方向上具有平移不变性；
（ⅲ）求 ．
【答案】（1） 在 方向上具有平移不变性； 在 方向上具有平移不变性； 在
方向上具有平移不变性．
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析；（ⅲ）
第 17页/共 19页
【解析】
【分析】（1）由平移不变性定义结合函数周期性可得答案；
（2）（ⅰ）由题中所提及信息可得答案；（ⅱ）设点 在函数 的图象上，由题中信息可得
在函数 的图象上，即可完成证明；（ⅲ）由（ⅱ）可得 ，
然后令 ，结合 ， 在 上可得答案.
【小问 1 详解】
注意到 ；
；
．
所以函数 在 方向上具有平移不变性；
函数 在 方向上具有平移不变性；
函数 方向上具有平移不变性，其中 ；
【小问 2 详解】
（ⅰ）由题目中所给信息可得：点 关于直线 对称的点是
，点 关于点 对称的点是 ．
（ⅱ）设点 在函数 的图象上，则由题 点 关于直线 对称后的点 在函数
的图象上，则点 关于点 对称后的点 在函数 的图象上，则
关于直线 对称后的点 在函数
的图象上，则 关于 点对称的点 在函数 的图象上．所以
在 方向上具有平移不变性．
（ⅲ）由（2），
，注意到 .
第 18页/共 19页
设点 在函数 的图象上，其中 ，
则 在函数 的图象上，其中 ，
令 ，则 ，
所以 ．
【点睛】关键点睛：对于函数新定义问题，关键为读懂定义；将新问题转化为与已解决问题有关的问题，
是我们常见处理问题的手段.
第 19页/共 19页