第26讲 图形的相似与位似（讲义）-【讲通练透】2026中考数学一轮复习讲通练透讲+练+测试卷

这是一份第26讲 图形的相似与位似（讲义）-【讲通练透】2026中考数学一轮复习讲通练透讲+练+测试卷，共10页。试卷主要包含了比例线段的定义，01m．参考数据，画位似图形的方法，位似图形的性质，画位似图形的步骤等内容，欢迎下载使用。

考点一
比例线段
1.比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项，
比例的性质：
1）基本性质：ab=cd⇔ad=bc ab=bc⇔b2=ac
2）变形：ab=cd⇔&ac=bd，(交换内项)&db=ca，(交换外项)&dc=ba．(同时交换内外项) 核心内容：ad=bc
3）合、分比性质：ab=cd⇔a±bb=c±dd
实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：ab=cd⇒&b−aa=d−cc&a−ba+b=c−dc+d
4）等比性质：如果ab=cd=ef=⋯=mn=k， 那么a+c+e+⋯+mb+d+f+⋯+n=k(b+d+f+⋯+n≠0).
根据等比的性质可推出，如果ab=cd，则ab=cd=a+cb+d(b+d≠0).
5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果ACAB=BCAC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
6）平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
【题型1 成比例线段】
【例1】（2024·湖南永州·一模）已知线段a，b，c，d成比例，且a=3b，c=12cm，则线段d的长为（ ）
A．4cmB．6cmC．9cmD．36cm
【变式1-1】湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是 千米（结果精确到1千米）
【变式1-2】（2024·安徽芜湖·一模）已知四个数a，b，c，d成比例，且a=3，b=2，c=4，那么d的值为（ ）
A．2B．3C．43D．83
【变式1-3】（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则mn的值为 ．
【题型2 利用比例的性质求值】
【例2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知abc≠0，且a+bc=b+ca=a+cb=k，那么k的值是（ ）
A．2B．−1C．2或0D．2或−1
【变式2-1】（2023·甘肃武威·中考真题）若a2=3b，则ab=（ ）
A．6B．32C．1D．23
【变式2-2】（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
【变式2-3】（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：

【题型3 黄金分割的应用】
【例3】（2022·湖南衡阳·中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）
A．0.73mB．1.24mC．1.37mD．1.42m
【变式3-1】如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB．若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB、宽是PB的矩形的面积，则S1 S2.
【变式3-2】如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为5−12的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝ ．
【变式3-3】（2021·四川德阳·中考真题）我们把宽与长的比是5−12的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为5−1，则该矩形的周长为 ．
【题型4 平行线分线段成比例】
【例4】（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（ ）
A．1B．2C．5D．10
【变式4-1】（2023·海南海口·一模）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ）
A．2B．2C．103D．5
【变式4-2】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函数y=kxk≠0的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则ANAB的值为（ ）
A．13B．14C．15D．25
【变式4-3】（2023·四川雅安·中考真题）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF=1，EC=3，则GF的长为（ ）

A．4B．6C．8D．10
考点二
相似图形与位似
1.相似多边形的性质：
1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
2.位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.
3.画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
4.判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
5.位似图形的性质：
1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点；
2）位似图形的对应边互相平行或者共线.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k.
6.画位似图形的步骤：
1）确定位似中心,找原图形的关键点.
2）确定位似比.
3）以位似中心为端点向各关键点作射线.
4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形.
【题型5 相似多边形及其性质】
【例5】如图，直线y=13x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作AB⊥AM，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，An−1Bn−1Cn−1An中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为 ．
【变式5-1】（2021·江苏无锡·中考真题）下列命题中，正确命题的个数为 ．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【变式5-2】（2023·山东·中考真题）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1，则CD的长为（ ）

A．2−1B．5−1C．2+1D．5+1
【变式5-3】如图，点A,B,C在同一直线上，且AB=23AC，点D,E分别是AB,BC的中点，分别以AB,DE,BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作S1,S2,S3，若S1=5，则S2+S3= ．
【题型6 画位似图形】
【例6】（2022·广西河池·中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．

(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2:1，并写出点B2的坐标．
【变式6-1】（2020·宁夏·中考真题）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1)．
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1∶2的△A2B2C2．
【变式6-2】（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(3,1)，C(2,3)，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个ΔA1B1C1，使它与ΔABC位似，且相似比为2：1，然后再把ΔABC绕原点O逆时针旋转90°得到ΔA2B2C2．
（1）画出ΔA1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）画出ΔA2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．
【变式6-3】（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于12；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．
【题型7 与位似图形有关的求值】
【例7】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O0,0，A3,0，B3,2，C0,2，以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比13缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（ ）

A．9,4B．4,9C．1,32D．1,23
【变式7-1】（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB:BB1=2:3，则△A1B1C1的面积是（ ）
A．90 cm2B．135 cm2C．150 cm2D．375 cm2
【变式7-2】（2023·吉林长春·中考真题）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA:AA′=1:2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为 ．

【变式7-3】（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C=90°．则点C′的坐标为 ．（结果用含a，b的式子表示）

考点三
相似三角形的性质与判定
1.相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”.
2,。相似三角形的判定方法：
1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2）两个三角形相似的判定定理：
①三边成比例的两个三角形相似；
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③两角分别相等的两个三角形相似．
④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.
3.相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3）相似三角形周长的比等于相似比.
4）相似三角形面积比等于相似比的平方.
【题型8 添加条件使两个三角形相似】
【例8】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则下列三角形中，与△BOC一定相似的是（ ）

A．△ABD B．△DOA C．△ACDD．△ABO
【变式8-1】（2024·青海·中考真题）如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件： ，使△AOB∽△COD．
【变式8-2】如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A．B．C．D．
【变式8-3】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A．∠AED=∠BB．∠ADE=∠CC．ADAE=ACABD．ADAB=AEAC
【题型9 证明两个三角形相似】
【例9】（2024·广西·中考真题）如图1，△ABC中，∠B=90°，AB=6．AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB．
(1)求证：△ABC∽△CBO；
(2)如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A′OC′，旋转角为α0°