第25讲 图形的变化（讲义）-【讲通练透】2026中考数学一轮复习讲通练透讲+练+测试卷

这是一份第25讲 图形的变化（讲义）-【讲通练透】2026中考数学一轮复习讲通练透讲+练+测试卷，共10页。试卷主要包含了尺规作图的要求，五种基本尺规作图，根据基本作图作三角形，根据基本作图作圆，正投影等内容，欢迎下载使用。

考点一
尺规作图
1.尺规作图的要求
只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹.
2.五种基本尺规作图
3.根据基本作图作三角形
4.根据基本作图作圆
【题型1 尺规作图】
【例1】（2024·山东德州·中考真题）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点．
求作：四边形内一点P，使EP∥BC，且点P到AB,AD的距离相等．
【变式1-2】（2023·湖北·中考真题）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．

(1)在图1中作出以BE为对角线的一个菱形BMEN；
(2)在图2中作出以BE为边的一个菱形BEPQ．
【变式1-3】（1）如图（1），点E, F分别在正方形ABCD边AB, CD上，连接EF．求作GH，使点G, H分别在边BC, AD上（均不与顶点重合），且GH⊥EF．
（2）已知点P, Q, R, S的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点P的边所在的直线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【题型2 补充作图步骤及依据】
【例2】（2025·重庆·模拟预测）如图，在▱ABCD中，∠BAC=90°，点E为线段BC的中点，连接AC
(1)用尺规完成以下基本作图，过点E作AC的垂线交AC于点F，交AD于点G，连接CG；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)证明：DG+AE=BC．（补充完整证明过程）
证明：∵∠BAC=90°，点E是线段BC的中点
∴①__________．
∵EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC
∴∠GAC=∠GCA，∠EAC=∠ECA．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AG∥CE，
∴∠ECA=∠GAC
∴②__________．
∴AE∥CG
∴③__________．
∵AC⊥EG
∵四边形AGCE是菱形，
∴④__________．
∴DG+AE=DG+AG=AD=BC．
【变式2-1】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知：如图，点M在∠AOB的边OA上．
求作：射线MN，使MN∥OB．且点N在∠AOB的平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D．
②分别以点C，D为圆心．大于12CD长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P．
③画射线OP．
④以点M为圆心，OM长为半径画弧，交射线OP于点N．
⑤画射线MN．
射线MN即为所求．

(1)用尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵OP平分∠AOB．
∴∠AON= ① ，
∵OM=MN，
∴∠AON= ② ，( ③ )．(括号内填写推理依据)
∴∠BON=∠ONM．
∴MN∥OB．( ④ )．(填写推理依据)
【变式2-2】阅读下列材料，解决问题．
如图1，已知正六边形ABCDEF，要求在正六边形ABCDEF的内部作一个矩形A1B1C1D1，且矩形A1B1C1D1的顶点在正六边形ABCDEF的边上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
小明利用尺规作图只作了部分，如图2所示．
(1)请你根据小明的作图思路，补画出矩形A1B1C1D1；
(2)在（1）的基础上，连接AC，若AC=4，则线段A1D1的长为 ，依据是 ；
(3)如图3，已知正五边形A2B2C2D2E2，在其内部作一个矩形MND2C2，使得点
M，N分别在边A2B2，A2E2上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【变式2-3】（2025·重庆·模拟预测）在学习了内切圆相关知识后，小麦同学进行了更深入的研究，他发现三角形的内切圆半径与这个三角形周长，面积之间有一定的数量关系，他的思路是利用面积法探索这三者之间的联系，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空．
(1)如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，用尺规作图作∠ABC的角平分线分别交AD，AC于点O，E（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的基础上，过O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，OH⊥AC于点H，连接OC，根据题意完善图形，求证：OM=2S△ABCC△ABC．
∵AD平分∠BAC，OM⊥AB，OH⊥AC，
∴OM=OH（填写依据：①_______），
又∵BE平分∠ABC，OM⊥AB，ON⊥BC，
∴OM=ON，
∴②________，
∵S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC=12AB⋅OM+12BC⋅ON+12AC⋅OH，C△ABC=AB+BC+AC，
∴OM=2S△ABCC△ABC．
对此，请你根据上述数量关系解决问题：当AB=42，AC=5，BC=7时，则△ABC内切圆半径为③_______．
【题型3 与尺规作图有关的计算】
【例3】（2024·海南·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于12MN为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若∠BCE=∠DCE，DE=4，则四边形BCDE的周长是（ ）

A．22B．21C．20D．18
【变式3-1】（2024·湖北·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC．若∠CAB=50°，则∠CBD的度数是（ ）

A．30°B．25°C．20°D．15°
【变式3-2】（2021·甘肃武威·中考真题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知AB,C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB于点D,AC于点E，连接AD,CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F（F,A两点不重合），连接DF,BD,BF．
（2）直接写出引理的结论：线段BC,BF的数量关系．
【变式3-3】（2024·江苏徐州·中考真题）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2=AD⋅DB，则称点D是点C的“关联点”．
(1)如图（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．
(2)如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD=m，DB=n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）．
【题型4 与尺规作图有关的证明】
【例4】（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：BD=BF．
【变式4-1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在△ABC中，D是AB中点．
(1)求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接BE，CF．补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形．
【变式4-2】（2024·广东·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°．

(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．
【变式4-3】（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD=AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH>BH，CH>DH）．

(1)在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)连结AD，猜想，当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD的长度；
(3)如图2，延长AH至点F，使得HF=AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM，若PD=12AD．求证：MH⊥CP．
考点二
展开图、投影
1.正方体的平面展开图
正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有一种.
正方体展开图口诀：
①一线不过四;田凹应弃之；
②找相对面：相间，“Z”端是对面；
③找邻面：间二，拐角邻面知.
2.投影
定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
3.平行投影
概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影.（例如：太阳光）
特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
图1 图2
4.中心投影
概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等）
特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，
离点光源远的物体它的影子长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

图3 图4
5.正投影
概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影.
正投影的分类：
线段的正投影分为三种情况.如图所示.

①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、
②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；
③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.
【题型5 识别常见几何体的展开图】
【例5】（2023·四川达州·中考真题）下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-2】下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( )
A．B．C．D．
【变式5-3】如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（ ）
A．B．C．D．
【题型6 由展开图确定几何体】
【例6】（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A．三棱锥B．圆锥C．三棱柱D．长方体
【变式6-1】（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块．
【变式6-2】（2022·江苏泰州·中考真题）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是( )
A．三棱锥B．四棱锥C．四棱柱D．圆锥
【变式6-3】（2021·江苏扬州·中考真题）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（ ）
A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱
【题型7 正方体展开图的常见类型与相对面】
【例7】（2022·江苏徐州·中考真题）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（2022·山东淄博·中考真题）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）

A．31B．32C．33D．34
【变式7-3】如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（ ）

A． B． C． D．
【题型8 平行投影与中心投影】
【例8】（2020·贵州安顺·中考真题）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-1】（2024·江苏常州·中考真题）下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：
将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（ ）
A．③④②①B．②④③①C．③④①②D．③①②④
【变式8-2】（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】（2022·浙江温州·中考真题）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA,OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m,CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
考点三
几何体的三视图
1.三视图的概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，
①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；
②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；
③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.
主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
2.三视图之间的关系：
1）位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，
2）大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.
3.画几何体三视图的基本方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体
1）确定主视图的位置，画出主视图；
2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
4.由三视图确定几何体的方法：
1）由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
① 根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
② 从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③ 熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助.
利用三视图计算几何体面积的方法：利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积.
【题型9 已知几何体判定三视图】
【例9】（2024·内蒙古·中考真题）如图所示的几何体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】（2024·吉林长春·中考真题）南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）．
A．主视图B．俯视图C．左视图D．右视图
【变式9-2】（2024·吉林·中考真题）葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同D．主视图、左视图与俯视图都相同
【变式9-3】（2024·宁夏·中考真题）用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（ ）
A．①号位置B．②号位置C．③号位置D．④号位置
【题型10 根据视图判断几何体的组成】
【例10】（2024·山东东营·中考真题）某几何体的俯视图如图所示，下列几何体（箭头所示为正面）的俯视图与其相同的是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-1】（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

A． B． C．D．
【变式10-2】（2021·广西·中考真题）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-3】（2023·四川眉山·中考真题）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（ ）

A．6B．9C．10D．14
【题型11 利用三视图计算几何体的面积或体积】
【例11】（2021·山东菏泽·中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）
A．12πB．18πC．24πD．30π
【变式11-1】某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．该几何体是长方体
B．该几何体的高是3
C．底面有一边的长是1
D．该几何体的表面积为18平方单位
【变式11-2】（2020·湖南怀化·中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 （结果保留π）．
【变式11-3】如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（ ）
A．主视图的面积为5B．左视图的面积为3
C．俯视图的面积为3D．三种视图的面积都是4
【新考向：新考法】
1．（2022·湖北恩施·中考真题）下图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是（ ）
A．“恩”B．“乡”C．“村”D．“兴”
2．（2023·湖南·中考真题）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【新考向：新趋势】
1．请写出一个主视图、左视图和俯视图完全一样的几何体 ．
2．春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是 （写出符合题意的两个图形即可）
3．如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题.
（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= ；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）.
【新考向：新情境】
1．定义：两组邻边对应相等的四边形为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=CD，请利用尺规（无刻度的直尺和圆规），在筝形ABCD中找一点P，连接PB、PD，使折线BPD将筝形ABCD的面积等分（保留作图痕迹，不写作法）．
2．定义：自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端点，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．
问题：如图②，已知线段AB与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段AB的视角最大．
小明的分析思路如下：过A、B两点，作⊙O使其与直线l相切，切点为P，则点P对线段AB的视角最大，即∠APB最大．
小明的证明过程：为了证明点P的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点Q，连接AQ、BQ，如图②，设直线BQ交圆O于点H，连接AH，
则∠APB=∠AHB．（依据1）
∵∠AHB=∠AQH+∠QAH．（依据2）
∴∠APB=∠AQH+∠QAH
∴∠APB>∠AQH
所以，点P对线段AB的视角最大．
(1)请写出小明证明过程中的依据1和依据2；
依据1：________________________________________
依据2：________________________________________
(2)应用：在足球电子游戏中，足球队球门的视角越大，越容易被踢进，如图③，A、B是足球门的两端，线段AB是球门的宽，CD是球场边线，∠ADC是直角，EF⊥CD．
①若球员沿EF带球前进，记足球所在的位置为点P，在图③中，用直尺和圆规在EF上求作点P，使点P对AB的视角最大（不写作法，保留作图痕迹）．
②若AB=10，DE=25，直接写出①中所作的点P对AB的最大视角的度数（参考数据：sin67°≈1213,cs67°≈513,tan67°≈2.4,tan23°≈512,tan42°≈1213．）
3．综合与实践．
【实践背景】
人体工学座椅通常具有可调节的功能，座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整．座椅在如图1的形态下，靠背与座面基本垂直，脚板收拢于座面下方，其结构简图如图3所示．
【实践操作】
现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态，使得靠背AE与脚板BF平行，请在图4中用尺规作图法画出脚板BF；（保留作图痕迹，不要求写出作法）
【升级设计】
如图5，现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中，把靠背AE由直变曲，并赋予座面AB一定的座位深度，使其不再与地面平行．其中曲线AE是二次函数的部分图象，点A为顶点：线段AB=582cm（实际生产时取AB≈45cm）；
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如果座椅两扶手之间相距60cm，现在还要制作一个无盖的长方体形纸箱用于包装此座椅，提供如下面积足够大的长方形纸皮，请你直接在图6中画出设计图（纸箱的展开图），并在图中标明尺寸．（要求：包装箱的体积最小）
【新考向：跨学科】
1．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（ ）
A．增加0.5米B．增加1米C．增加2米D．减少1米
2．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）

A．减少32米B．增加32米C．减少53米D．增加53米
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，选项给出的四个平面图形中不属于其三视图的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川达州·中考真题）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ）

A．热B．爱C．中D．国
3．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′=∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
4．如图是胡老师画的一幅写生画，四位同学对这幅画的作画时间作了猜测. 根据胡老师给出的方向坐标，猜测比较合理的是 （ ）
A．小明：“早上8点”B．小亮：“中午12点”
C．小刚：“下午5点”D．小红：“什么时间都行”
5．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接AM，AM和CD交于点N，连接ON若AB=9,AC=5，则ON的长为（ ）

A．2B．52C．4D．92
6．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
7．（2023·四川·中考真题）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA=34°，则∠CAB的度数为 ．

8．如图，小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10dm的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为 dm

9．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有 个．
10．（2023·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．

（1）线段AB的长为 ；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
11．由一些相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，请在网格中涂出一种该几何体的主视图，且使该主视图是轴对称图形．
12．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子， 他先用5 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图（实线部分）， 经折叠后发现还少一个面． 请你在图中的拼接图形上再接一个正方形， 使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．
13．如图，楼房和旗杆在路灯下的影子如图所示．
（1）试确定路灯灯泡的位置；
（2）再作出小树在路灯下的影子．（用线段表示，不写作法，保留作图痕迹）
14．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ=2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若sinA=35，CM=12，求BM的长．
15．（2023·广东·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠DAB=30°．

(1)实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与计算：在（1）的条件下，AD=4，AB=6，求BE的长．
16．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离CB=16m．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m．将观测点D后移24m到D′处，采用同样方法，测得C′G′=1.2m，D′G′=2m．求雕塑高度（结果精确到1m）．
17．（2022·江苏常州·中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．
(1)沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．
18．如图12，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB
上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.
⑴求证：①DE=DG；②DE⊥DG；
⑵尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
⑶连接⑵中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
⑷当CECB=1n时，请直接写出S正方形ABCDS正方形DEFG的值.
作一条线段等于已知线段
步骤：
1.作射线OP；
2.在OP上截取OA=a，OA即为所求线段
作角的平分线
步骤：
1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，
分别交OA.OB于点N.M；
2.分别以点M.N为圆心，大于MN的长为半径作弧，
相交于点P；
3.画射线OP,OP即为所求角平分线
作线段的垂直平分线
步骤：
1.分别以点A.B为圆心，以大于AB的长为半径，在AB两侧作弧；
2.连接两弧交点所成直线即为所求线段的垂直平分线
作一个角等于已知角
步骤：
1.在∠α上以点O为圆心.以适当的长为半径作弧，
交∠α的两边于点P.Q；
2.作射线O′A；
3.以O′为圆心.OP长为半径作弧，交O′A于点M；
4.以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；
5.过点N作射线O′B，∠BO′A即为所求角
过一点作已知直线的垂线
步骤：
1.在直线另一侧取点M；
2.以P为圆心，以PM为半径画弧,交直线于A.B两点；
3.分别以A.B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，交M同侧于点N；4. 连接PN,则直线PN即为所求垂线
步骤：
1.以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，
交直线于A.B两点；
2.分别以点A.B为圆心，以大于AB长为半径向直线
两侧作弧，交点分别为M.N；
3.连接MN，MN即为所求垂线
类型
图示
已知三角形的三边，求作三角形
已知三角形的两边及其夹角，求作三角形
a
b
已知三角形的两角及其夹边，求作三角形
已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形
类型
图示
过不在同一直线上的三点作圆
（即三角形的外接圆）
作三角形的内切圆
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；
（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB.