第27讲 解直角三角形（讲义）-【讲通练透】2026中考数学一轮复习讲通练透讲+练+测试卷

这是一份第27讲 解直角三角形（讲义）-【讲通练透】2026中考数学一轮复习讲通练透讲+练+测试卷，共10页。试卷主要包含了锐角三角函数，特殊角的三角函数值，140+1−2+14−1．，4+54≈59．，8m，眼睛到地面的距离为1，03千米，AD+AB≈5等内容，欢迎下载使用。

考点一
锐角的三角函数
1.锐角三角函数
在中，，则的三角函数为
2.特殊角的三角函数值
【题型1 求角的三角函数值】
【例1】（2024·四川资阳·中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME−14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，则sin∠ABE=（ ）
A．55B．35C．45D．255
【答案】C
【分析】设EF=x，则AH=3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE=4x，再根据勾股定理可得AB=5x，即可求出sin∠ABE的值．
【详解】解：根据题意，设EF=x，则AH=3x，
∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形，
∴AH=BE=3x，EF=HE=x，
∴AE=4x，
∵∠AEB=90°，
∴AB=AE2+BE2=5x，
∴sin∠ABE=AEAB=4x5x=45，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式1-1】（2024·云南·中考真题）在△ABC中，若∠B=90°,AB=3,BC=4，则tanA=（ ）
A．45B．35C．43D．34
【答案】C
【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数即可得到本题答案．
【详解】解：∵∠B=90°,AB=3,BC=4，
∴tanA=BCAB=43，
故选：C．
【变式1-2】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC，连接DE,AF,DE与AF相交于点G，连接BG．若AB=4，BC=6，则sin∠GBF的值为（ ）
A．1010B．31010C．13D．23
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点G作GH⊥BC，证明△AGD∽△FGE，得到FGAG=EFAD=13，再证明△GHF∽△ABF，分别求出HG,FH的长，进而求出BH的长，勾股定理求出BG的长，再利用正弦的定义，求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD，BE=EF=FC，AB=4，BC=6，
∴AD=BC=6,AD∥BC，BE=EF=FC=2，
∴△AGD∽△FGE，BF=4，
∴FGAG=EFAD=13，
∴FGAF=14
过点G作GH⊥BC，则：GH∥AB，
∴△GHF∽△ABF，
∴FHBF=GHAB=FGAF=14，
∴FH=14BF=1，GH=14AB=1，
∴BH=BF−FH=3，
∴BG=12+32=10，
∴sin∠GBF=HGBG=110=1010；
故选A．
【变式1-3】（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD=120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为（ ）
A．2B．23C．32D．3
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长BC交格点于点F，连接AF，E,G分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出∠AFC=90°，解直角三角形求得AF,FC的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长BC交格点于点F，连接AF，E,G分别在格点上，
依题意，∠EGF=120°,EG=GF，GF=GC,∠FGC=60°
∴∠CEF=30°,∠ECF=60°
∴∠AFC=90°
又FC=2，
∴AF=2EF=4EGcs30°=4×2×32=43
∴tan∠BCD=tan∠ACF=AFFC=432=23
故选：B．
【题型2 由角的三角函数值求边长】
【例2】（2024·山东泰安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，若DF=1，tanB=12，则AE的长为 ．

【答案】5
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
先证∠DAF=∠ABD可得△DAF∽△DBA从而得到DFAD=ADBD=tanB=12，求得AD=2，再运用勾股定理可得AF=5，再根据圆周角定理以及角的和差可得∠AED=∠AFD，最后根据等角对等边即可解答．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AH是⊙O的切线，
∴∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠ABD=90°−∠DAB，
∴△DAF∽△DBA，
∴DFAD=ADBD=tanB=12，
∵DF=1，
∴AD=2，
∴AF=5，
∵点D为AC的中点，
∴AD=CD，
∴∠ABD=∠DAC=∠DAF，
∵∠ADE=∠ADF=90°，
∴90°−∠DAE=90°−∠DAF，即∠AED=∠AFD，
∴AE=AF=5．
故答案为：5．
【变式2-1】（2023·四川南充·中考真题）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC=α，则A，C两处相距（ ）

A．xsinα米B．xcsα米C．x⋅sinα米D．x⋅csα米
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.
【详解】解：小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，
∴∠ABC=90°，AB=x米.
∴csα=ABAC，
∴AC=ABcsα=xcsα米.
故选： B .
【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.
【变式2-2】（2023·山东·中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE=30°，tan∠EAC=13，则BD= ．

【答案】3−3
【分析】过点A作AH⊥BC于H，根据等边三角形的性质可得∠BAC=60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH=30°，再根据∠BAD+∠EAC=30°，可得∠DAH=∠EAC，从而可得tan∠DAH=tan∠EAC=13，利用锐角三角函数求得AH=AB⋅sin60°=33，再由DHAH=DH33=13，求得DH=3，即可求得结果．
【详解】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=6，∠BAC=60°，
∵AH⊥BC，
∴∠BAH=12∠BAC=30°，
∴∠BAD+∠DAH=30°，
∵∠DAE=30°，
∴∠BAD+∠EAC=30°，
∴∠DAH=∠EAC，
∴tan∠DAH=tan∠EAC=13，
∵BH=12AB=3，
∵ AH=AB⋅sin60°=6×32=33，
∴DHAH=DH33=13，
∴DH=3，
∴BD=BH−DH=3−3，
故答案为：3−3．

【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明∠DAH=∠EAC是解题的关键．
【变式2-3】（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG=12，正方形ABCD的边长为8，则BH的长为 ．

【答案】10
【分析】根据正切的概念和正方形的性质，求得AG的长度，再根据勾股定理求得BG的长度，证明∠ABG=∠DGH，求得DH,GH，最后根据勾股定理即可求得BH的长．
【详解】解：∵正方形ABCD和正方形BEFG，
∴∠A=∠D=∠BGH=90°，AB=AD=8，
∵tan∠ABG=12，
∴AGAB=12，
∴AG=8×12=4，GD=AD−AG=4，
在Rt△ABG中，BG=AB2+BG2=45，
∵∠AGB+∠DGH=90°，∠AGB+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠DGH，
∴DHGD=12
∴DH=2，
在Rt△CDH中，HG=GD2+DH2=25，
∴在Rt△BGH中，HB=GB2+GH2=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，正切的概念，熟知正切的概念再进行角度转换是解题的关键．
【题型3 求特殊角的三角函数值】
【例3】（2020·四川攀枝花·中考真题）计算：sin60°= ．
【答案】32
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值成为解题的．
根据特殊角的三角函数值即可解答．
【详解】解：sin60°=32．
故答案为：32．
【变式3-1】（2025·上海闵行·一模）用含特殊锐角的三角比的式子表示：2= ．
【答案】2sin45°
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据45°的正弦值等于22求解即可．
【详解】解∶∵sin45°=22，
∴2=2sin45°，
故答案为：2sin45°．
【变式3-2】（2024·上海·模拟预测）正二十边形中心角的正弦值为
【答案】12/0.5
【分析】本题考查正十二边形性质，特殊角的三角函数值等知识，先由正十二边形的性质得到正二十边形中心角，再由特殊角的三角函数值求解即可得到答案，熟记正多边形的性质及特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
【详解】解：正二十边形中心角为360°12=30°，
∴正二十边形中心角的正弦值为sin30°=12，
故答案为：12．
【变式3-3】（2024·天津·中考真题）2cs45∘−1的值等于（ ）
A．0B．1C．22−1D．2−1
【答案】A
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据cs45°=22代入即可求解.
【详解】2cs45∘−1=2×22−1=0，
故选：A.
【题型4 含特殊角的三角函数值的混合运算】
【例4】（2024·广东深圳·中考真题）计算：−2⋅cs45°+π−3.140+1−2+14−1．
【答案】4
【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂．先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得
【详解】解：−2⋅cs45°+π−3.140+1−2+14−1
=−2×22+1+2−1+4
=−2+1+2−1+4
=4．
【变式4-1】（2024·四川遂宁·中考真题）计算：sin45°+22−1+4+12021−1．
【答案】2024
【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键．
【详解】解：sin45°+22−1+4+12021−1
=22+1−22+2+2021
=2024．
【变式4-2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）求值：3−2−2024+π0+tan60°．
【答案】1
【分析】本题主要考查了实数运算．直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简即可得出答案．
【详解】解：3−2−2024+π0+tan60°
=2−3−1+3
=1．
【变式4-3】（2024·四川广元·中考真题）计算：2024−π0+3−2+tan60°−12−2．
【答案】−1
【分析】此题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数值，零次幂及负指数幂计算，正确掌握各计算法则是解题的关键．
【详解】解：原式=1+2−3+3−4=3−4=−1．
【题型5 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】
【例5】（2024·安徽芜湖·一模）在△ABC中，2csA−22+1−tanB=0 ，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得2csA−23=0，1−tanB=0，从而得csA=22，tanB=1，根据特殊角度三角函数的性质，得∠A=45°，∠B=45°；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．
【详解】解：∵2csA−23+1−tanB=0
∴2csA−23=0，1−tanB=0
∴2csA−2=0，1−tanB=0
∴csA=22，tanB=1
∴∠A=45°，∠B=45°
∴∠C=180°−∠A−∠B=90°，BC=AC
∴△ABC一定是等腰直角三角形
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．
【变式5-1】在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足sinC−22＋(32－csB)2＝0，则∠A的度数为( )
A．100°B．105°C．90°D．60°
【答案】B
【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出∠C=45°，∠B=30°，进而得出答案．
【详解】∵|sinC-22|+（32-csB）2=0，
∴sinC-22=0，32-csB=0，
则sinC=22，csB=32，
故∠C=45°，∠B=30°，
∴∠A=180°-45°-30°=105°．
故选B．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及偶次方的性质和绝对值的性质，正确记忆有关特殊角的三角函数值是解题关键．
【变式5-2】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=32，csB=12，则△ABC的形状为 三角形.
【答案】等边
【分析】根据∠A、∠B都是锐角，sinA=32，csB=12，求出∠A、∠B的度数，根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，可得出△ABC的形状．
【详解】解：∵sinA=32，csB=12，∠A、∠B都是锐角，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴∠C=180°−60°−60°=60°，
∴△ABC为等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值，求得∠A、∠B的度数．
【变式5-3】（2021·贵州黔西·模拟预测）在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，csB=12，则△ABC的形状是（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．直角三角形
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值可判断∠A=30°，∠B=60°，从而可求出∠C=90°，即证明△ABC的形状是直角三角形．
【详解】∵∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，csB=12，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−30°−60°=90°，
∴△ABC的形状是直角三角形．
故选D．
【点睛】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
【题型6 利用三角函数间的关系求解】
【例6】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)求证：sin2B+cs2B=1．
(2)若sinB+csB=75，求sinB⋅csB的值．
【答案】(1)见解析
(2)1225
【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可．
（1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得sinB=ACAB，csB=BCAB，AB2=AC2+BC2，通过变形可得，sin2B=AC2AB2，cs2B=BC2AB2，再进行计算即可；
（2）根据题意，sinB+csB=75，变形可得(sinB+csB)2=752，再根据sin2B+cs2B=1，即可求出sinB⋅csB．
【详解】（1）解：证明如下：
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinB=ACAB，csB=BCAB，AB2=AC2+BC2，
∴sin2B=AC2AB2，cs2B=BC2AB2，
∴sin2B+cs2B=AC2AB2+BC2AB2=AC2+BC2AB2=AB2AB2=1．
（2）解：∵sinB+csB=75，
∴(sinB+csB)2=752，
∴sin2B+cs2B+2sinB⋅csB=4925，
∵sin2B+cs2B=1，
∴1+2sinB⋅csB=4925，
∴sinB⋅csB=1225．
【变式6-1】计算：sin²48°+sin²42°−tan44°⋅tan45°⋅tan46°= ．
【答案】0
【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系．根据平方关系，倒数关系，互余关系，进行求解即可．掌握三角函数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵42°+48°=90°，
∴sin42°=cs48°，sin248°+cs248°=1，
∵44°+46°=90°，
∴tan44°⋅tan46°=1，
∴原式=1−1×1=0；
故答案为：0．
【变式6-2】如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上，满足BC2=CD⋅AC，若sin∠A=csα0°