专题25 图形的变换（练透）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题25 图形的变换

一、单选题

1．（2022·福建省福州杨桥中学）下列交通标志中，是中心对称图形的是（    ）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：A．

2．（2022·全国九年级专题练习）下列每组的两个图形不是位似图形的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．

【详解】

解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．

据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；

而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．

故选：D．

3．（2022·广东九年级期末）下列图形中，是中心对称图形的是（     　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据中心对称图形的概念求解．

【详解】

A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是中心对称图形，故此选项正确；

故选：D．

4．（2018·内蒙古九年级期末）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．

【详解】

A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；

B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；

D是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意．

故选B．

5．（2022·哈尔滨市第十七中学校九年级）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；

C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：B．

6．（2020·浙江九年级期末）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（　　）

A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．轴对称变换

【答案】B

【分析】

根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．

【详解】

解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．

故选：B．

7．（2022·全国九年级课时练习）晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是（    ）

A．先变短后变长 B．先变长后变短 C．逐渐变短 D．逐渐变长

【答案】A

【分析】

根据投影可直接进行求解．

【详解】

解：由人在马路上走过一盏路灯的过程中，可知光线与地面的夹角越来越大，人在地面上留下的影子越来越短，当人到达灯的下方时，人在地面上的影子变成一个圆点，当远离路灯时，则影子又开始变长；

故选A．

8．（2022·西安·陕西师大附中）在平面直角坐标系中，若将三角形上各点的横坐标都加上，纵坐标保持不变，则所得图形在原图形的基础上（    ）

A．向左平移了个单位长度 B．向下平移了个单位长度

C．向上平移了个单位长度 D．向右平移了个单位长度

【答案】D

【分析】

根据图象平移特点，横坐标增加5，纵坐标不变，即图象向右平移，据此解题即可．

【详解】

解：因为三角形三个顶点的横坐标都增加5，纵坐标保持不变，

所以所得的新图形与原图形相比向右平移了5个单位长度，

故选：D

9．（2022·哈尔滨市第四十七中学九年级开学考试）下列图形中，是轴对称图形的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】

利用轴对称图形的定义进行解答即可．

【详解】

解：从左到右，第一、二、三、四个图形都是轴对称图形，

故选：D．

10．（2022·全国九年级单元测试）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；据此判断即可．

【详解】

解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意；

B、是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意；

C、是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；

D、是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意；

故选：C．

二、填空题

11．（2022·全国九年级课时练习）轴对称图形的性质：

（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_____________．

（2）类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_______________．

【答案】垂直平分线    垂直平分线   

12．（2022·全国九年级课时练习）像这样，把一个图形绕某一个点旋转180º，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或________．这个点叫做___________．

这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的_________．

△OCD和△OAB关于点O对称，对称点是A与_______、B与________．

【答案】中心对称    对称中心    对称点    C    D   

13．（2022·湖南）如图，所示的美丽图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有_____个．

【答案】3．

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：（1），（3），（4）是轴对称图形，也是中心对称图形．

（2）是轴对称图形，不是中心对称图形．

故答案为：3．

14．（2022·福建省泉州实验中学九年级期中）如图，正六边形沿方向平移至正六边形位置，已知四边形的面积是，则平移的距离是________．

【答案】

【分析】

分别连接GE、DF，两线交于点O，依题意可得四边形FGDE是菱形，且∠FGD=120°，GE⊥DF，设AF=a，则GE=，，由菱形的面积公式即可求得a的值，从而得平移的距离．

【详解】

分别连接GE、DF，两线交于点O，如图

由正六边形的每个内角为120°，且每条边都相等

根据平移的性质得：四边形FGDE是菱形，且∠FGD=120°

∴GE⊥DF，∠FGE=60°

∴△FGE是等边三角形

设AF=a，则GE=

∴，

∴

∵

∴

∴a=2（负根舍去）

所以平移的距离为2

故答案为：2．

15．（2022·江苏高港区·高港实验学校）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，将AC绕点A逆时针旋转120°得AD，若AB＝2，则BD的最大值为_____．

【答案】

【分析】

将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与C重合，B'是定点，BD的最大值即B'C的最大值，根据圆的性质，可知：B'、O、C三点共线时，BD最大，根据勾股定理可得结论．

【详解】

如图，将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与C重合，B'是定点，BD的最大值即B'C的最大值，即B'、O、C三点共线时，BD最大，过B'作B'E⊥AB于点E，

由题意得：AB＝AB'＝2，∠BAB'＝120°，

∴∠EAB'＝60°，

Rt△AEB'中，∠AB'E＝30°，

∴AE＝AB'＝1，EB'＝＝，

由勾股定理得：OB'＝＝＝，

∴B'C＝OB'＋OC＝＋1．

故填：＋1．

．

三、解答题

16．（2020·浙江杭州·九年级期中）已知：如图，在中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得到．

（1）求证：

（2）若四边形是菱形，且，求的值．

【答案】（1）见详解；（2）AB：BC=2：3．

【分析】

（1）根据平移的性质，可得：AE=CG，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG即可得到BE=DG；

（2）根据四边形ABFG是菱形，得出AB=BF；根据条件找到满足AB=BF的AB与BC满足的数量关系即可．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD．

∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．

∴CG⊥AD．

∴∠AEB=∠CGD=90°．

∵AE=CG，AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL）．

∴BE=DG；

（2）∵四边形ABFG是菱形

∴AB∥GF，AG∥BF，

∵Rt△ABE中，∠B=60°，

∴∠BAE=30°，

∴BE=AB．（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半）

∵四边形ABFG是菱形，

∴AB=BF．

∴BE=CF，

∴EF=AB，

∴BC=AB，

∴AB：BC=2：3．

17．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级）如图，图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；

（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为10的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．

【答案】（1）作图见解析，四边形AQCP的周长为4；（2）见解析．

【分析】

（1）利用网格特点和对称的性质作出格点Q，使P、Q点关于直线AC对称，判断四边形AQCP为正方形，然后计算AP的长度得到正方形AQCP的周长；

（2）利用（1）中方法作正方形ABCD，则正方形ABCD满足条件．

【详解】

（1）如图，点Q和四边形AQCP为所作；

由网格特征可得AQ=QC=CP=PA，OA=OC=OQ=OP，

∵点P与点Q关于AC对称，

∴PQ⊥AC，

∴四边形AQCP是正方形，

∴四边形AQCP的周长＝4AQ=4×＝4；

（2）如图，矩形ABCD为所作．

18．（2022·黑龙江）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算．

（1）画出，使得，点在小正方形的顶点上，且的面积为；

（2）画出点，点在小正方形的顶点上，且，并直接写出边的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析，的长为

【分析】

（1）过A作AE⊥AB交网格于E，由勾股定理AB=AE=，可得∠ABE=45°，延长BE交网格于C，△ABC为所求；

（2）由CD=AC=5，根据勾股定理CD=，取过A点竖直网格点F，作AB关于AF的对称点AD，连结CD，则CD为所求，=AB=．

【详解】

解：（1）过A作AE⊥AB交网格于E，

由勾股定理AB=AE=，

∴∠ABE=45°，

延长BE交网格于C，

则S△ABC=，

∴△ABC为所求；

（2）∵CD=AC=5，

根据勾股定理CD=

取过A点竖直网格点F，作AB关于AF的对称点AD，连结CD，

则CD为所求，

如图所示，=AB=

∴的长为．

19．（2022·江苏徐州·）如图，将平行四边形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠四边形EFGH．

（1）请直接写出∠HEF的度数      ；

（2）判断HF与AD的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）90°；（2）HF＝AD，理由见解析

【分析】

（1）由折叠的性质可得：∠HEJ＝∠AEH，∠BEF＝∠FEJ，由平角的性质可求∠HEF＝90°；

（2）先证四边形EFGH是矩形，可得HG＝EF，HGEF，由“AAS”可证△BFE≌△DHG，可得BF＝HD＝JF，即可求解．

【详解】

解：（1）由折叠可得：∠HEJ＝∠AEH，∠BEF＝∠FEJ，

∴∠HEF＝∠HEJ+∠FEJ＝×180°＝90°，

故答案为：90°；

（2）HF＝AD，

理由如下：由折叠可得：∠EFB＝∠EFH，∠CFG＝∠KFG，BF＝JF，AH＝HJ，DH＝HK，

∴∠EFG＝90°，

同理可得∠EHG＝∠HGF＝90°，

∴四边形EFGH是矩形，

∴HG＝EF，HGEF，

∴∠GHF＝∠EFH，

∴∠BFE＝∠DHG，

在△BFE和△DHG中，

，

∴△BFE≌△DHG（AAS），

∴BF＝HD，

∴HD＝JF，

∴HF＝AD．

20．（2022·浙江衢州市·九年级期中）在平面直角坐标系中，已知，，．

（1）将沿轴负方向平移2个单位至△，画图并写出的坐标 　　；

（2）以点为旋转中心，将△逆时针方向旋转得△，画图并写出的坐标为 　　；

（3）求在旋转过程中线段扫过的面积．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）将三个顶点分别向左平移2个单位得到其对应点，再顺次连接即可得；

（2）将三个顶点分别以点A1为旋转中心，逆时针方向旋转90°得到对应点，再顺次连接即可得；

（3）由题意可知线段扫过的面积是一个圆心角为90°，半径为线段长的扇形，由此求解即可．

【详解】

解：（1）如图，△即为所求．画图并写出的坐标；

故答案为：．

（2）如图，△即为所求．画图并写出的坐标为；

故答案为：；

（3）由题意得 ，

旋转过程中线段扫过的面积．

21．（2022·福建省福州第十九中学九年级月考）如图，在中，，CD平分交AB于点D，将绕点C逆时针旋转到的位置，点F在AC上，连接DE交AC于点O．

（1）求证：；

（2）若，．求的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）由角平分线的性质得出，由旋转的性质得出，，得出，则可得出答案；

（2）证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案．

【详解】

解：证明：（1），平分交于点，

，

将绕点逆时针旋转到的位置，

，，

，

，

，

；

（2）由（1），，

，

，

，

，

，

，

，

．

22．（2022·珠海市斗门区实验中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D、E分别在AB，AC上，且AD＝AE．若△ADE绕点A逆时针旋转，得到△AD1E1，设旋转角为a（0＜≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．

（1）求证：BD1＝CE1；

（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，求旋转角为的度数．

【答案】（1）见解析；（2）135°

【分析】

（1）由旋转得到△ABD1≌△ACE1的条件即可；

（2）由（1）的结论，得出∠ABD1＝∠ACE1，即可得出结论．

【详解】

解：（1）由题意得：∠BAC=∠D1AE1=90°，

∴∠CAE1=∠BAD1，

在△ABD1和△ACE1中，

，

∴△ABD1≌△ACE1（SAS），

∴BD1＝CE1；

（2）设AC与BP交于点G，

由（1）知△ABD1≌△ACE1，

∴∠ABD1＝∠ACE1，

∵∠AGB＝∠CGP，

∴∠CPG＝∠BAG＝90°，

∴∠CPD1＝90°，

∵∠CPD1＝2∠CAD1，

∴∠CAD1＝∠CPD1＝45°，

∴旋转角＝90°＋∠CAD1＝135°．

23．（2022·黑龙江）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1.点、点和点在小正方形的顶点上．

（1）在图中确定点，点在小正方形的顶点上，连接，，使得到的四边形为中心对称图形；

（2）在（1）确定点后，在图中确定点，点（不与点重合）在小正方形的顶点上，连接，得到凸四边形，使，直接写出的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析，．

【分析】

（1）利用平行四边形的对称性确定；

（2）如图，连接AE，可得△ADE是等腰直角三角形，得到∠EDA=45°，利用网格特点可得∠EBA=45°，从而确定E点即为所求，然后再利用勾股定理求解即可．

【详解】

解：（1）如图：

此时，由勾股定理得：，，

四边形是平行四边形，

四边形是中心对称图形．

（2）如图，点E即为所求，

连接AE，则有AE=

，

∵

∴AD2+AE2=10=DE2，

∴△ADE是等腰直角三角形，∠DAE=90°，

∴∠EDA=45°，

又∠EBA=45°，

，

∴点E是符合条件的点，

此时．