海南省三亚市学年九年级上学期1月期末数学试题（解析版）-A4

这是一份海南省三亚市学年九年级上学期1月期末数学试题（解析版）-A4，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学科期末学业水平质量监测试卷
（全卷满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）
1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入20元记作元，那么支出20元记作（ ）
A 元B. 20元C. 0元D. 40元
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查相反意义的量，解题的关键是理解正负数的意义；因此此题可根据正负数的意义及题意直接进行求解．
【详解】解：由题意得：支出20元记作元；
故选A．
2. 2024年5月3日，长征五号遥八运载火箭托举嫦娥六号探测器，进入地月转移轨道，嫦娥六号正式开启“月背征途”和“挖宝之旅”，月球和地球相距约380000000米，将数据380000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解： ，
故选：D
3. 若代数式的值为7，则x等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键；
根据题意列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得：
解得：，
故选：A．
4. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多项式合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项等运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A．，故A选项计算错误；
B．，故B选项计算错误；
C．，故C选项计算错误；
D．，故D选项计算正确．
故选：D．
6. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
利用去分母将方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为，
故选：C．
7. 今年海南荔枝大丰收，为了解某品种荔枝市场价格，在7个市县调查它的单价（单位：元/斤），收集到的数据为：5，5，5，6，7，8，8．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 5，6B. 6，5C. 6，8D. 8，6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了众数和中位数的定义，出现次数最多的即为众数；把数值排序后再取中间位置的数即为中位数，据此即可作答．
【详解】解：∵收集到的数据为：5，5，5，6，7，8，8
∴的次数是3次，最多，
故众数是；
∴中间位置的数即为6
∴中位数是6
故选：B
8. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为（ ）．
A. -4B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键．
将代入中计算即可；
【详解】解：∵，
∴
故选B．
9. 如图，直线，四边形是正方形，点C在直线n上，点D在直线m上．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，平行线的性质．
由正方形可得，利用三角形的内角和定理可求得，进而得到，根据即可得到．
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D
【详解】详解片段
10. 如图，在中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E；再分别以点A和点E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F；作射线，交于点G．若，，则的长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线四边形的性质，角平分线的定义和尺规作图，等角对等边，先由平行四边形的性质得到，，则，由作图方法可知，平分，则可得，进而推出，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由作图方法可知，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选；C．
11. 如图，点A的坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转得到，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的变化−旋转，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点A作轴，垂足为D，过点B作轴，垂足为E，然后利用一线三等角构造全等模型证明，从而利用全等三角形的性质可得，即可解答．
【详解】解：过点A作轴，垂足为D，过点B作轴，垂足为E，
∴，
∴，
∵点A的坐标为
∴，
由旋转得：
，
∴，
∴
∴
∴，
∴点B的坐标为，
故选：B．
12. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，于点F，交于点P．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先由菱形的性质得到，，，再证明是等边三角形，则，进而得到，由三线合一定理得到，则可求出，利用勾股定理得到，则．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选：C．
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【详解】解：=；
故答案为
14. 请你写出一个大于1而小于5 的无理数_____．
【答案】答案不唯一，如、等．
【解析】
【详解】试题分析：一个大于1而小于5的无理数有，，，等，故答案为答案不唯一，如、等．
考点：1．估算无理数的大小；2．开放型．
15. 如图，是直径，点P在的延长线上，切于点C，连接．若，则______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，连接，由切线的性质得到，则由三角形内角和定理得到，再由圆周角定理得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵切于点C，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在矩形中，，点E、F分别是所在直线上的动点，连接，以为边，在上方作等边，H为的中点，连接， 则_______°，的最小值为_______．

【答案】 ①. 30 ②. 4
【解析】
【分析】连接，由矩形的性质和等边三角形的性质可得，，，，可证点B，点E，点H，点F四点共圆，可得，则点H在边上移动，即当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵四边形是矩形，
∴，
∵是等边三角形，点H是的中点，
∴，
∵，
∴点B，点E，点H，点F四点共圆，
∴，
∴，
∴点H在边上移动，
∴当时，有最小值，
∵，
∴．
故答案为：30，4．
【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，矩形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，确定点H的运动轨迹是本题的关键．
三、解答题（本大题满分72分）
17. （1）计算：；
（2）解不等式组．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组，实数的运算，负整数指数幂：
（1）先计算算术平方根和负整数指数幂，再计算乘方和绝对值，接着计算乘除法，最后计算减法即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
18. 为了更好地保护环境，治污公司决定购买若干台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，已知购买1台A型号设备比购买1台B型号设备多2万元，购买2台A型号设备比购买3台B型号设备少6万元．求A、B两种型号设备的单价．
【答案】A：12万元，B：10万元
【解析】
【分析】设A型号设备的单价为x万元，B型号设备的单价为y万元，根据1台A型号设备比购买1台B型号设备多2万元，购买2台A型号设备比购买3台B型号设备少6万元这两个等量关系,列出方程组求解即可．
【详解】解：设A型号设备的单价为x万元，B型号设备的单价为y万元，
根据题意得:
，
解这个方程组得:
．
答：A、B两种型号设备的单价分别为12万元、10万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是正确理解题意，找到题目中蕴含的等量关系.
19. 为了调查学生对海南自贸港建设知识的了解程度，普及海南自贸港建设的相关知识．某校随机抽取若干名学生进行了测试，根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A，B，C，D四组，绘制了如下不完整的统计图表：
问卷测试成绩统计表
（1）本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）在这次调查中，抽取的学生一共有 人；扇形统计图中n的值为 ；
（3）样本的D组50名学生中有20名男生和30名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生代表学校参加市里的演讲比赛，则恰好抽到女生的概率是 ；
（4）若该校共有1000名学生参加测试，则估计问卷测试成绩在之间的学生有 人．
【答案】（1）抽样调查
（2）200；35 （3）
（4）350
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用样本估计总体，简单的调查方式，扇形统计图与条形统计图信息相关联：
（1）根据题意可得本次调查采用的调查方式为抽样调查；
（2）用A组的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而求出C组的人数，再用C组的人数除以参与调查的人数即可求出n的值；
（3）用女生人数除以D组的总人数即可得到答案；
（4）用1000乘以样本中成绩在之间的人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵某校随机抽取若干名学生进行了测试，
∴本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
【小问2详解】
解：人，
∴在这次调查中，抽取的学生一共有200人，
∴，
∴，
故答案为：200；35；
【小问3详解】
解：，
∴从这50名学生中随机抽取1名学生代表学校参加市里的演讲比赛，则恰好抽到女生的概率是，
故答案为：；
【小问4详解】
解：人，
∴估计估计问卷测试成绩在之间的学生有350人，
故答案为：350．
20. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．

某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．
（1）求的长；
（2）设塔的高度为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；
②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解；
②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，
∴．
即的长为．
小问2详解】
解：①在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
②如图，过点作，垂足为．
根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
21. 如图1，在正方形中，E是AD上一点，过点D作于点O，交AB于点F，与CB的延长线交于点G，连结．
（1）求证：；
（2）当时，求证：；
（3）如图2，在上取一点H，连结，当，猜想与的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明即可；
（2）同理（1）可证，再根据正方形的性质结合，可得点F是AB的中点，进而得到，易证，推出，即得到点是的中点，利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）过点A作于点M，利用正方形的性质证明，得到，再证明是等腰直角三角形，推出，再证明是等腰直角三角形，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：同理（1）得证，
∴，
∵，，
∴，
∴点F是AB的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴得到点是的中点，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：，证明如下：
过点A作于点M，
∵四边形是正方形，
∴，
由（1）知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键．
22. 如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）已知点是抛物线顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点．
①求四边形的面积；
②求的边CE上的高的最大值；
③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①12；②．③
【解析】
【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可．
（2）①先求出抛物线的顶点坐标为，再根据四边形的面积计算即可；
②求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案；
③以点A为顶点作，过点G作于点M，得到三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，利用解直角三角形求出答案即可．
【小问1详解】
∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设该抛物线解析式为：．
∵过点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
∵，
∴抛物线的顶点坐标为
∴四边形的面积；
即四边形的面积
②设直线的解析式为：，
把点，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为：．
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的边上的高为，如图，
设点E为，则，
则，
在中，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
③以点A为顶点作，过点G作于点M，
∴，
∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，
如图：
由可知，当时，，
∴有最大值时，点E的坐标为， 则，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全．
组别
分数/分
A
B
C
D