海南省海口市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份海南省海口市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．化简的结果是（ ）
A．2B．C．D．4
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（ ）．
A．8B．9C．7D．6
4．当x=-1时，代数式x2-1的值是（ ）
A．1B．2C．2-D．-2
5．将一元二次方程化成的形式，则等于（ ）
A．3B．4C．7D．13
6．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则( )
A．b＝1，c＝﹣6B．b＝﹣1，c＝﹣6
C．b＝5，c＝﹣6D．b＝﹣1，c＝6
7．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ）
A．20B．40C．100D．120
8．如图，为的角平分线，交于点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，则等于（ ）

A．B．C．D．
10．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若OE=2，AD=5，则□ABCD的周长为( )
A．9B．16C．18D．20
11．如图，矩形中，点是边上一动点（与点A、B不重合），连接，过点作交的延长线于点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米
二、填空题（本大题共4小题）
13．若，则的取值范围是 ．
14．某药品经过两次降价，每瓶零售价比原来降低了，则平均每次降价的百分率 ．
15．某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由改为（如图），若改动后电梯的坡面长为13米，则改动后电梯水平宽度增加部分长为 米．
16．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题）
17．计算
(1)；
(2)；
(3)．
18．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克该水果应涨价多少元？
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、是的边上一点．
(1)画出将向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的，并写出点A、P的对应点的坐标；
(2)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点A、P的对应点的坐标；
(3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标．
20．一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球，除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个小球，记下数字后放回；乙再从袋中随机取出1个小球记下数字．用画树状图或列表的方法，
（1）求取出的两个小球上的数字之和为3的概率；
（2）求取出的两个小球上的数字之和大于4的概率．
21．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，点A、B、C、D在同一平面内．
(1)填空：________，________；
(2)求点D到点A的距离；
(3)求隧道的长．（结果保留根号）
22．如图1，把两个全等的等腰直角和叠放在一起，使的锐角顶点与的斜边中点重合，其中．固定不动，将绕点沿顺时针方向旋转（旋转角满足条件：）．设射线与射线相交于点，射线与线段CA相交于点．
(1)如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证：．此时，的值为______________；
(2)当旋转到图2的位置时，
①的值是否改变？请说明理由；
②与相似吗？请说明理由；
(3)如图3，当时，线段交CA于点．
①求证：；
②若，求的值．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据二次根式的性质，进行求解即可．
【详解】解：；
故此题答案为D．
2．【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则，逐一进行计算后，判断即可．
【详解】解：A、，不是同类二次根式，不能合并，原运算错误，不符合题意；
B、，原运算错误，不符合题意；
C、，原运算正确，符合题意；
D、，原运算错误，不符合题意；
故此题答案为C．
3．【答案】A
【分析】把各选项的值依次代入计算即可得出答案．
【详解】解：A、当时，，与是同类二次根式，所以本选项符合题意；
B、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意；
C、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意；
D、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意．
故此题答案为A．
4．【答案】C
【分析】先把x的值代入x2-1中，然后利用完全平方公式计算．
【详解】当x=-1时，
x2-1=（-1）2-1=3-2-1=2-2．
故此题答案为C．
5．【答案】D
【分析】对一元二次方程进行配方，然后作答即可．
【详解】解：，
∵将一元二次方程化成的形式，
∴．
故此题答案为D．
6．【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c，即可得到b与c的值.
【详解】由一元二次方程根与系数的关系得：﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c，
∴b＝﹣1，c＝﹣6
故此题答案为B.
7．【答案】D
【分析】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）=a，整理得x2﹣20x+a=0，由=400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解．
【详解】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得
x（40÷2﹣x）=a，整理，得
x2﹣20x+a=0，
∵=400﹣4a≥0，
解得a≤100，
故此题答案为D．
8．【答案】B
【分析】首先证明为等腰三角形，易得，可设，，则，，证明，由相似三角形的性质可得，解得，然后计算的值即可．
【详解】解：∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
可设，，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得，
∴．
故此题答案为B．
9．【答案】B
【分析】过点A作于点D，由，利用三线合一的知识，可求得BD的长，又由余弦函数的定义，即可求得答案．
【详解】解：如图，过点A作于点D，

，
，
，
故此题答案为B．
10．【答案】C
【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE=2，即可求得AB=4，继而可得出▱ABCD的周长
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴AB=2OE=2×2=4
故▱ABCD的周长=2（AB+AD）=18
故此题答案为C．
11．【答案】A
【分析】过点作，易得四边形是矩形，得到，证明，证明，即可得出结果．
【详解】解：过点作，
∵矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为A．
12．【答案】B
【分析】根据同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
【详解】解：如图所示，GC⊥BC，AB⊥BC，
∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即，
∴，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴，
解得y＝3，
则，
解得，x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
故此题答案为B．
13．【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
14．【答案】
【分析】设平均每次降价的百分率为，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，由题意，得：，
解得：或（舍去）
15．【答案】3
【分析】根据坡度等于铅直高与水平距离的比值，分别求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：当滚动电梯的坡面坡度为时，则：，
∴，
在中，，
解得：（负值舍去），
∴，
当滚动电梯的坡面坡度为时，则：，
∴，
∴
16．【答案】
【分析】由折叠的性质可知，，由平分，可知，故有，根据，可得，，在中，由勾股定理得，设，则，，根据求解的值，根据求出的值即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，
∵平分
∴
∴
∵
∴
∴
在中，由勾股定理得
设，则
∵
∴
解得
∴
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再相减即可；
（2）根据二次根式的四则运算法则计算即可；
（3）先代入特殊角的三角函数值，再利用完全平方公式进行计算即可；
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
．
18．【答案】每千克该水果应涨价5元或10元
【分析】设每千克水果应涨元，根据总利润等于单价利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设每千克水果应涨元，根据题意，得
．
整理，得．
解这个方程，得
答：每千克该水果应涨价5元或10元．
19．【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
(3)是，图见解析，
【分析】（1）根据平移规则画出，进而写出对应点的坐标即可；
（2）根据位似的性质，画出，进而写出对应点的坐标即可；
（3）连接，并延长，交点即为点，进而写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
由图和题意，可知：；
（2）如图，即为所求；
∵与的相似比为，
∴
（3）和关于某点为位似中心的位似图形，如图，位似中心即为所求；
由图可知：．
20．【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）树状图如图所示：
∴P（和为3）=；
（2）因为共有9种等可能的情况，和大于4的有3种，所以P（和大于4）=．
21．【答案】(1)75，90
(2)点D到点A的距离为300米
(3)隧道的长为米
【分析】（1）如图，过点D作于点E，根据方位图易得，，根据三角形内角和定理可得，，进而可得；
（2）在中，，根据三角函数即可求出的长；
（3）在中，根据三角函数求出的长，在中，根据三角函数求出的长，即可求出的长．
【详解】（1）解：如图
如图，过点D作于点E，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：，．
（2）在中，，
．
答：点D到点A的距离为300米．
（3）（3）如图1，过点D作于点E．
∵是东西走向，
∴，．
在中，
．
在中，
．
∴．
答：隧道的长为米．
22．【答案】(1)
(2)①BP•CQ的值不改变，理由见解析；②，相似，理由见解析
(3)①见解析；②
【分析】（1）由题意得：，根据点是的斜边中点，可得；由推出，，即可；
（2）①仍然可证，故结论不变；②由得．根据得．结合即可求证；
（3）①证即可；②由，得．过点作于点．推出即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：，
∵点是的斜边中点，
∴；
∵．
∴，
∴，
故答案为：
（2）解：①如图1，的值不改变．
与是全等的等腰直角三角形，是的中点，，
．
，
．
，
；
②，
．
，
．
，
．
（3）解：①如图2，
，
，
，
；
②由，
．
过点作于点．
，
∴，
，
．
，
．