江苏省南通市海门区海南中学学年九年级上学期1月期末数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省南通市海门区海南中学学年九年级上学期1月期末数学试题（解析版）-A4，共7页。
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共9页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
4. 作弊者，本卷按0分处理．
（请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 3的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据倒数的定义可知．
【详解】解：3的倒数是，
故选：C
【点睛】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可．
【详解】解：从上面看有2行，上面一行是横放2个正方形，右下角一个正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. a+2a＝3aB. （a+b）2＝a2+ab+b2
C. （﹣2a）2＝﹣4a2D. a•2a2＝2a2
【答案】A
【解析】
【分析】先利用合并同类项、完全平方公式、乘方以及单项式乘单项式的运算法则逐项排除即可．
【详解】解：A．a+2a＝（1+2）a＝3a，故该选项计算正确；
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该选项计算错误；
C．（﹣2a）2＝4a2，，故该选项计算错误；
D．a•2a2＝2a3，，故该选项计算错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了合并同类项、完全平方公式、乘方、单项式乘单项式等知识点，掌握相关计算方法和运算法则是解答本题的关键．
4. 如图，菱形中，E，F分别是，的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知EF为△ABD的中位线，可求出AB的长，由于菱形四条边相等即可得到周长．
【详解】解：∵E，F分别是，的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长为
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，菱形的性质，发现EF为△ABD的中位线是解题的关键．
5. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出．
【详解】解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知：，且，
∴为等边三角形，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
6. 数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图．由图可知，全班同学答对题数的众数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据统计图中的数据，可知做对9道的学生最多，从而可以得到全班同学答对题数的众数，本题得以解决．
【详解】解：由条形统计图可得，
全班同学答对题数的众数为9，
故选：C．
【点睛】本题考查条形统计图、众数等相关知识点，熟练掌握众数、中位数、平均数、方差的概念及意义，利用数形结合的方法求解．
7. 若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称性，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，把点、、代入，则
，
消去c，则得到，
解得：，
∴抛物线的对称轴为：，
∵与对称轴的距离最近；与对称轴的距离最远；抛物线开口向上，
∴；
故选：D．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题．
8. 如图，是⊙O的直径，点、在⊙O上，，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.
【详解】∵,
∴∠BOC=2∠BDC=40°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，
故选：B.
【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，邻补角的定义.
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．
【详解】作CE⊥y轴于E．
在Rt△OAD中，
∵∠AOD=90°，AD=BC=，∠OAD=，
∴OD=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE=∠OAD=，
∴在Rt△CDE中，
∵CD=AB=，∠CDE=，
∴DE=，
∴点C到轴的距离=EO=DE+OD=，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
10. 在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2），再过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，连接BE交x轴与D点，过A’作A’C∥DE交x轴于点C，得到四边形CDEA’为平行四边形，故可知AC+BD最短等于BE的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解】作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2）
过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，故E（2，-2）
连接BE交x轴与D点
过A’作A’C∥DE交x轴于点C，
∴四边形CDEA’为平行四边形，
此时AC+BD最短等于BE的长，
即AC+BD=A’C+BD=DE+BD=BE==
故选B．
【点睛】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 正六边形的每个外角等于________．
【答案】60°##60度
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的外角，根据正多边形的每个外角相等，用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的外角和定理及其性质是解题的关键．
【详解】解：正六边形的每个外角等于，
故答案为：60°．
13. 新冠肺炎疫情发生以来，近4500000名城乡社区工作者奋战在中国大地的疫情防控一线．将数据4500000用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】4500000用科学记数法表示为，
故答案为：．
14. 某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比，计算学期成绩．小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是______分．
【答案】85
【解析】
【分析】按照的比例算出本学期的体育成绩即可．
【详解】解：小明本学期的体育成绩为：=85（分），
故答案为：85．
【点睛】本题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
15. 如图所示的扇形中，，C为上一点，，连接，过C作的垂线交于点D，则图中阴影部分的面积为_______．

【答案】
【解析】
【分析】先根据题目条件计算出OD，CD的长度，判断为等边三角形，之后表示出阴影面积的计算公式进行计算即可．
【详解】在中，
∴
∵
∴
∵
∴为等边三角形
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连接．点在线段上，且，函数的图像经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．解不等式组，设，过作轴于点，证明，根据性质可得，又，则，求出，然后代入解析式，最后通过解不等式组即可．
【详解】解：∵点的坐标为，轴于点，
∴，，
设，
过作轴于点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
把代入函数中，得，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
17. 观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形中，点M，N是上的点，且，则，；
（2）如图②，在正方形中，点M，N是上的点，且，则，；
（3）如图③，在正五边形中，点M，N是上的点，且，则，；……
根据以上规律，在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是上的点，且，与相交于O．也会有类似的结论．你的结论是_________________．
【答案】，
【解析】
【分析】根据正多边形内角和定理结合全等三角形的判定和性质可得出（1）、（2）、（3）的结论，根据以上规律可得出正n边形的结论．
【详解】（1）∵正三角形ABC中，点M、N是AB、AC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AC，∠CAM=∠ABN=，
∵在△ABN和△CAM中，
，
∴△ABN≌△CAM（SAS），
∴AN= CM，∠BAN=∠MCA，
∴∠NOC=∠OAC+∠MCA =∠OAC+∠BAN =∠BAC=60°，
故结论为：AN= CM，∠NOC=60；
（2）∵正方形ABCD中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AD，∠DAM=∠ABN=，
同理可证：Rt△ABNRt△DAM，
∴AN= DM，∠BAN=∠ADM，
∠NOD=∠OAD+∠ADM =∠OAD+∠BAN =∠BAC=90°，
故结论为：AN= DM，∠NOD=90；
（3）∵正五边形ABCDE中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AE，∠EAM=∠ABN=，
同理可证得：Rt△ABNRt△EAM，
∴AN= EM，∠BAN=∠AEM，
∠NOE=∠OAE+∠AEM =∠OAE+∠BAN =∠BAE=108°，
故结论为：AN= EM，∠NOE=108；
∵正三角形的内角度数为：60°，
正方形的内角度数为：90°，
正五边形的内角度数为：108°，
∴以上所求的角恰好等于正n边形的内角，
在正n边形中，点M，N是上的点，且，与相交于O，结论为：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了正n边形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是发现与的夹角与正边形的内角相等．
18. 如图，在中，，斜边，过点C作，以为边作菱形，若，则的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
【详解】
如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵根据题意四边形ABEF为菱形，
∴AB=BE=，
又∵∠ABE=30°
∴在RT△BHE中，EH=，
根据题意，AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，
∴HE=CG=，
∴的面积为．
【点睛】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG，最终求出直角三角形面积．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19 计算
（1）；
（2）解方程：
（3）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
（2）
（3）；
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，分式的化简求值；
（1）根据化简绝对值，负整数指数幂，求一个数数的算术平方根以及有理数的乘方进行计算即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（3）先根据分式的减法进行计算，然后将代入化简结果求值，即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得：；
【小问3详解】
解：
；
当时，原式．
20. 如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图．
根据图中信息解答下列问题：
（1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；
（2）补全条形统计图；
（3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值．
【答案】（1）XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；（2）补全条形图如图所示，见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）先求出抽取总数，然后分别求出对应的百分比即可；
（2）分别求出S、L、XL的数量，然后补全条形图即可；
（3）由销量比，则，结合概率的意义列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：（1）抽取的总数为：（件），
∴XXL的百分比：，
XL的百分比：；
∴XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%．
（2）根据题意，
S号的数量：（件），
L号的数量：（件），
XL号数量：（件），
补全条形图如图所示．
（3）由题意，按照M号，XL号运动服装的销量比，则，
根据概率的意义，有，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了概率的意义，频数分布直方图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查正方形性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定，等边对等角．掌握全等三角形的判定是解题的关键．
（1）根据正方形的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，，可得，最后利用全等三角形的判定即可得证；
（2）先证为等腰三角形，由根据等边对等角即可解答．
【小问1详解】
证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
在和中
，
∴
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
22. 现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为、，图案为“保卫和平”的卡片记为）

【答案】树状图见解析，
【解析】
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：

共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，
∴（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”）．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔分别为，，．若管道与水平线的夹角为30°，管道与水平线夹角为45°，求管道和的总长度（结果保留根号）．
【答案】．
【解析】
【分析】先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．
【详解】解：根据题意知，四边形和四边形均为矩形，
，，
，，
在中，，，，
；
在中，，，，
，
，
即管道AB和BC的总长度为：．
【点睛】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到AB和BC的长度．
24. 团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲车改变速度前的速度是 km/h，乙车行驶 h到达绥芬河；
（2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式，不用写出自变量x的取值范围；
（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有 km；出发 h时，甲、乙两车第一次相距40km．
【答案】（1）100km/h，10h；（2）y＝80x+100（）；（3）100km；2h
【解析】
【分析】（1）结合图象，根据“速度＝路程÷时间”即可得出甲车改变速度前的速度；根据“时间＝路程÷速度”即可得出乙车行驶的时间；
（2）根据题意求出甲车到达绥芬河的时间，再根据待定系数法解答即可；
（3）根据甲车到达绥芬河的时间即可求出甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程；根据“路程差＝速度差×时间”列式计算即可得出甲、乙两车第一次相距40km行驶的时间．
【详解】解：（1）甲车改变速度前的速度为：500÷5＝100（km/h），乙车达绥芬河是时间为：800÷80＝10（h），
故答案为：100；10；
（2）∵乙车速度为80km/h，
∴甲车到达绥芬河的时间为：，
甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将（5，500）和（，800）代入得：，
解得，
∴y＝80x+100，
答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式为y＝80x+100（）；
（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：800﹣80×＝100（km），
40÷（100﹣80）＝2（h），
即出发2h时，甲、乙两车第一次相距40km．
故答案为：100；2．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的解析式，运用数形结合的方法是解答本题的关键．
25. 四边形是边长为2的正方形，E是AB的中点，连接DE，点F是射线上一动点（不与点B重合），连接，交DE于点G．
（1）如图1，当点F是边的中点时，求证：；
（2）如图2，当点F与点C重合时，求的长；
（3）在点F运动的过程中，当线段为何值时，？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质，根据证明即可；
（2）先根据勾股定理得到长，然后证明，即可得到，解题即可；
（3）设交CD于点，先根据勾股定理求出长，然后证明解题即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵点、分别是AB、的中点，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：在正方形ABCD中，，
，
∵，
∴，
，即
；
【小问3详解】
当时，理由如下：
由（2）知，当点与重合(即)时，，
∴点应在的延长线上(即)，如图所示，设交CD于点，
若使，则有，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，
即
解得，
，
∵，
∴，
即 ，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
26. 问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交AD、于E、F．探究图中线段，CF，之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是 ；
探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转．它的两边分别交AD、于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；
探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转．它的两边分别交AD、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】问题背景: 探究延伸:，理由见解析 探究延伸2：，理由见解析 实际应用：海里
【解析】
【分析】本题属于四边形 综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质 ，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用．
问题背景： 延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是：；
探究延伸： 延长到， 使， 连接， 先证明， 再证明， 可得出结论： ；
探究延伸： 延长到，使得，连接，先证明， 即可得到， 再证明， 即可得出；
实际应用：连接，延长交的延长线于，根据题意可转化为如下的数学问题：在四边形中， ， 的两边分别交， 于，， 求的长．再根据探究延伸的结论：，即可得到两舰艇之间的距离．
【详解】解：问题背景：
如图1， 延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是：；
故答案为：；
探究延伸：
上述结论仍然成立，即，理由如下：
如图， 延长到， 使， 连接，
∵，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
又∵，
即
，
∴可得出结论：
探究延伸：
上述结论仍然成立，即
理由：如图，延长到，使得，连接，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
实际应用：
如图，连接，延长交的延长线于，
因为舰艇甲在指挥中心 (处)北偏西30°的处.舰艇乙在指挥中心南偏东的处，所以，
因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，
所以，
所以.
依题意得， ，
所以，
因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：
在四边形中， ， 的两边分别交， 于，， 求的长．
根据探究延伸的结论可得：，
根据题意得， (海里) ，(海里) ，
所以 (海里) .
答：此时两舰艇之间的距离为海里．
27. 如图①，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线的对称点Q，连结交于点E，连结、．设点P的运动时间为t秒．

（1）当点P与点B重合时，求t的值．
（2）用含t的代数式表示线段CE的长．
（3）当为锐角三角形时，求t的取值范围．
（4）如图②，取的中点M，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）点在线段AB上时，；点在线段上时，
（3）或
（4）或
【解析】
【分析】（1）根据，构建方程求解即可；
（2）分两种情形：当点在线段AB上时，首先利用勾股定理求出，再求出即可解决问题.当点在线段上时，在中， 求出即可；
（3）求出两种特殊情形下是等腰直角三角形时的值， 即可求解当为锐角三角形时的取值范围.
（4）分两种情形：如图⑥中，当点在线段AB上，时. 如图⑦中， 当点在线段上， 时，分别求解即可.
【小问1详解】
解：当点与重合时，，
解得 ；
【小问2详解】
解：在 中，
，
，
如图①中，当点在线段AB上时，
在中，，
，
如图③中，当点在线段上时，
在中，，
；
【小问3详解】
解：当是等腰直角三角形时，则，
如图④中，当点在线段AB上时，

在中，
，
，
，
，
如图⑤中，当点在线段上时，

在中， ，
，
解得 ；
是锐角三角形，
∴观察图象可知满足条件的的取值范围为或；
【小问4详解】
解：如图⑥中，当点在线段AB上， 时，

过点作 于， 延长交于， 过点作于，
，
在中，
，
在中，，
，
解得 ，
如图⑦中，当点在线段上， 时，

过点作 于， 过点作于，
，
，
在中，
，
在中， ，
，
，
解得
综上所述，满足条件的的值为或