安培力作用下的平衡与加速问题 ——高中物理人教版二轮复习专题学案

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1、判断安培力作用下导体运动情况的五种方法
2、通电导体在安培力作用下的平衡和加速问题的分析思路
通电导体在磁场中的平衡问题和加速问题是一种常见的力电综合问题，该类问题一般由导轨（水平或者倾斜）、导体棒、电源和电阻等组成。这类题目的难点是题图具有立体性，各力的方向不易确定，因此解题时一定要先把立体图转化为平面图，通过受力分析建立有关关系。一般思路如下：
（1）选定研究对象。
（2）变三维为二维，如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出平面受力分析图，其中安培力的方向要注意F安⊥B、F安⊥I，如图所示。
a．水平导轨
b．倾斜导轨
（3）列平衡方程或牛顿第二定律方程进行求解。
二．典例精讲
1．安培力作用下导体受力、运动情况的定性分析
例题1 （2024·河南·联考题）一个可以沿过圆心的水平轴自由转动的线圈L1和一个固定的线圈L2互相绝缘垂直放置，且两个线圈的圆心重合，如图所示。当两线圈中通以图示方向的电流时，从左向右看，线圈L1将（ ）
A．不动B．顺时针转动
C．逆时针转动D．在纸面内平动
【答案】B
【解析】方法一（电流元法）：把线圈L1沿水平转动轴分成上、下两部分，每一部分又可以看成无数段直线电流元，电流元处在L2产生的磁场中，根据安培定则可知各电流元所在处的磁场方向向上，由左手定则可得，上半部分电流元所受安培力方向均指向纸外，下半部分电流元所受安培力方向均指向纸内，因此从左向右看线圈L1将顺时针转动。
方法二（等效法）：把线圈L1等效为小磁针，该小磁针刚好处于环形电流I2的中心，小磁针的N极应指向该点环形电流I2的磁场方向，由安培定则可知I2产生的磁场方向在其中心处竖直向上，而L1等效成小磁针后，转动前，N极指向纸内，因此小磁针的N极应由指向纸内转为向上，所以从左向右看，线圈L1将顺时针转动。
方法三（结论法）：环形电流I1、I2不平行，则一定有相对转动，直到两环形电流同向平行为止。据此可得，从左向右看，线圈L1将顺时针转动。
例题2 （2024·天津·联考题）如图所示，厚度均匀的木板放在水平地面上，木板上放置两个相同的条形磁铁，两磁铁N极正对。在两磁铁竖直对称轴上的C点固定一垂直于纸面的长直导线，并通以垂直纸面向里的恒定电流，木板和磁铁处于静止状态，设两磁铁和木板的总重力为G，则（ ）
A．导线受到的安培力水平向左B．导线受到的安培力竖直向上
C．木板对地面的压力小于G D．木板受到地面的摩擦力水平向右
【答案】D
【解析】根据条形磁铁磁场分布和叠加，可知两条形磁铁在导线处产生的合磁场方向竖直向上，根据左手定则知，长直导线受到的安培力水平向右；木板和磁铁始终处于静止状态，且竖直方向不受导线的作用力，由于两条形磁铁和木板的总重力为G，故木板对地面的压力等于G；又因长直导线受到的安培力水平向右，根据牛顿第三定律可知，长直导线对磁铁的作用力水平向左，所以磁铁和木板有向左运动的趋势，故木板受到地面的摩擦力水平向右，故A、B、C错误，D正确。
2．安培力作用下的平衡问题
例题3 （2024·重庆·历年真题）小明设计了如图所示的方案，探究金属杆在磁场中的运动情况，质量分别为2m、m的金属杆P、Q用两根不可伸长的导线相连，形成闭合回路，两根导线的间距和P、Q的长度均为L，仅在Q的运动区域存在磁感应强度大小为B、方向水平向左的匀强磁场。Q在垂直于磁场方向的竖直面内向上运动，P、Q始终保持水平，不计空气阻力、摩擦和导线质量，忽略回路电流产生的磁场。重力加速度为g，当P匀速下降时，求：
（1）P所受单根导线拉力的大小；
（2）Q中电流的大小。
【答案】解：（1）设单根导线对P的拉力大小为FT，P匀速下降时其受力分析如图甲所示，
根据平衡条件有2mg＝2FT，解得FT＝mg。
（2）当P匀速下降时，Q匀速上升，对Q受力分析如图乙所示，
根据平衡条件有2FT＝mg＋F安
设流过Q的电流为I，则F安＝ILB
联立解得I＝。
3．安培力作用下的加速问题
例题4 （2023·北京·历年真题）2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁撬”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好，电流从一导轨流入，经过金属棒，再从另一导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度B与电流i的关系式为B＝ki（k为常量）。金属棒被该磁场力推动。当金属棒由第一级区域进入第二级区域时，回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求：
（1）金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；
（2）金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比a1∶a2；
（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。
【答案】解：（1）由题意可知第一级区域中磁感应强度大小为B1＝kI
金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小为F＝B1IL＝kI2L。
（2）根据牛顿第二定律可知，金属棒经过第一级区域的加速度大小为a1＝
第二级区域中磁感应强度大小为B2＝2kI
金属棒经过第二级区域时受到安培力的大小为F′＝B2·2IL＝4kI2L
金属棒经过第二级区域的加速度大小为a2＝
则金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比为a1∶a2＝1∶4。
（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后，根据动能定理可得Fs＋F′s＝－0
解得金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小为v＝。
三．跟踪训练
1．（2025·广东梅州·模拟题）如图所示，一光滑绝缘的圆柱体固定在水平面上。导体棒AB可绕过其中点的转轴在圆柱体的上表面内自由转动，导体棒CD固定在圆柱体的下底面。开始时，两棒相互垂直并静止，两棒中点O1、O2连线与圆柱体的中轴线重合。现对两棒同时通入图示方向（A到B、C到D）的电流。下列说法正确的是（ ）
A．通电后，AB棒仍将保持静止
B．通电后，AB棒将逆时针转动（俯视）
C．通电后，AB棒将顺时针转动（俯视）
D．通电瞬间，线段O1O2上存在磁感应强度为零的位置
【答案】B
【解析】如图所示，AB棒左侧处在斜向上的磁场中，受到的安培力F1穿过纸面向外，AB棒右侧处在斜向下的磁场中，受到的安培力F2穿过纸面向里，故AB棒将逆时针转动（俯视），故A、C错误，B正确；通电后，根据安培定则可知AB棒和CD棒中的电流会在周围产生磁场，根据磁场的叠加可知线段O1O2上不存在磁感应强度为零的位置，故D错误。
2．（2025·河南·联考题）无限长平行直导线a、b每单位长度之间都通过相同的绝缘轻弹簧连接。如图，若b水平固定，将a悬挂在弹簧下端，平衡时弹簧的伸长量为Δl；再在两导线内通入大小均为I的电流，方向相反，平衡时弹簧又伸长了Δl。若a水平固定，将b悬挂在弹簧下端，两导线内通入大小均为2I的电流，方向相同，平衡后弹簧的伸长量恰为2Δl。已知通电无限长直导线在其周围产生磁场的磁感应强度大小与导线中电流大小成正比，与距导线的距离成反比。则a、b单位长度的质量比ma∶mb为（ ）
A．1∶6B．1∶4C．1∶2D．1∶1
【答案】A
【解析】设直导线单位长度为l，弹簧的劲度系数为k，对单位长度直导线，根据题意有mag＝kΔl，两通电导线电流方向相同时，通电导线相互吸引，两通电导线电流方向相反时，通电导线相互排斥，根据题意通电无限长直导线在其周围产生磁场的磁感应强度大小与导线中电流大小成正比，与距导线的距离成反比，两导线内通入大小均为I的电流，方向相反，平衡时弹簧又伸长了Δl，根据平衡条件有mag＋Fa＝k·2Δl，可知a受到b的排斥力Fa＝kΔl＝，若a水平固定，将b悬挂在弹簧下端，两导线内通入大小均为2I的电流，方向相同，平衡后弹簧的伸长量恰为2Δl，根据平衡条件mbg＝Fb＋k·2Δl，又Fb＝，联立可得mbg＝k·6Δl，结合mag＝kΔl可得ma∶mb＝1∶6。故选A。
3．（多选）如图所示，两平行导轨在同一水平面内。一导体棒垂直放在导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数恒定。整个装置置于匀强磁场中，磁感应强度大小恒定，方向与金属棒垂直、与水平向右方向的夹角θ可调。导体棒沿导轨向右运动，现给导体棒通以图示方向的恒定电流，适当调整磁场方向，可以使导体棒沿导轨做匀加速运动或匀减速运动。已知导体棒加速时，加速度的最大值为；减速时，加速度的最大值为，其中g为重力加速度大小。下列说法正确的是（ ）
A．棒与导轨间的动摩擦因数为
B．棒与导轨间的动摩擦因数为
C．加速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向下，θ＝60°
D．减速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向上，θ＝150°
【答案】BC
【解析】设磁场方向与水平方向夹角为θ1，θ1＜90°，当导体棒加速且加速度最大时，合力向右最大，根据左手定则和受力分析可知安培力应该斜向右上方，磁场方向斜向右下方，此时有Fsin θ1－＝ma1，令cs α＝，sin α＝，根据数学知识可得sin (θ1＋α)＝μmg＋ma1，则有sin (θ1＋α)＝≤1；同理磁场方向与水平方向夹角为θ2，θ2＜90°，当导体棒减速，且加速度最大时，合力向左最大，根据左手定则和受力分析可知安培力应该斜向左下方，磁场方向斜向左上方，此时有Fsin θ2＋＝ma2，有sin (θ2＋α)＝ma2－μmg，所以有sin (θ2＋α)＝≤1，当加速或减速加速度分别最大时，不等式均取等于，联立可得μ＝，代入cs α＝，可得α＝30°，此时θ1＝θ2＝60°，加速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向右下方，有θ＝θ1＝60°，减速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向左上方，有θ＝π－θ2＝120°，故BC正确，AD错误。故选BC。
电流元法
分割为电流元安培力方向→整段导体所受合力方向→运动方向
特殊位置法
在特殊位置→安培力方向→运动方向
等效法
根据同极相斥、异极相吸判断作用力的方向进而判断运动方向
结论法
两平行直线电流在相互作用中，无转动趋势，同向电流互相吸引，异向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势
转换对象法
导线所受安培力磁体受导线的作用力