静态平衡问题 ——高中物理人教版二轮复习专题学案

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1．共点力的平衡条件
（1）平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态，即a＝0。
（2）平衡条件：F合＝0或
2．平衡条件的推论
（1）二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反。
（2）三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合力大小相等，方向相反。
（3）多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反。
3．求解共点力的平衡问题的常用方法
4．应用共点力平衡条件解题的步骤：
①确定平衡状态：一般为静止或匀速直线运动状态（即加速度为零）。
②选取研究对象：根据题目要求，选取一个平衡体（单个物体或系统，也可以是结点）作为研究对象。
③画受力示意图：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
④合成或分解：一般情况下三个力直接合成或分解，四个及四个以上的力采用正交分解法。
⑤列方程求解：根据平衡条件列出平衡方程，解平衡方程，对结果进行讨论。
二．典例精讲
1．如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为（ ）
A． NB．1.0 NC． ND．2.0 N
【答案】A
【解析】对小球受力分析如图所示
由几何关系易得力F与力FN与竖直方向的夹角均为30°，因此由正交分解方程可得
FNsin 30°＝Fsin 30°，FNcs 30°＋Fcs 30°＋T＝mg
解得F＝FN＝
故选A。
2．如图是“中国天眼”500 m口径球面射电望远镜维护时的照片。为不损伤望远镜球面，质量为m的工作人员被悬在空中的氦气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢移动时，氦气球对其有大小为、方向竖直向上的拉力作用，使其有“人类在月球上行走”的感觉，若将人视为质点，此时工作人员（ ）
A．受到的重力大小为B．受到的合力大小为
C．对球面的作用力大小为D．对球面的压力大小为
【答案】C
【解析】A、工作人员受到的重力不会变化，仍为mg，故A错误。
B、工作人员在望远镜球面上缓慢移动的过程中，处于平衡状态，受到的合力大小为0，故B错误。
CD、工作人员在望远镜球面上缓慢移动的过程中，处于平衡状态，受到重力、支持力、和拉力和摩擦力，其合力为零，球面对人的作用力：支持力和摩擦力的合力F竖直向上，由平衡条件得F＝mg－T＝，由牛顿第三定律得，人对球面的作用力大小为，故C正确，D错误。
故选C。
3．如图所示，墙角处固定一斜板，斜板与水平天花板的夹角为θ。工人用沿水平向左的力推质量为m的磨石，使其沿斜板匀速下滑，已知磨石与斜板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则推力大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题知，磨石沿斜板匀速下滑，处于平衡状态，
对磨石受力分析，可得下图：
由平衡条件可得：Fcs θ＋mgsin θ＝f，Fsin θ＝mgcs θ＋N，且：f＝μN，
联立可得：F＝。故D正确，ABC错误。
故选：D。
4．如图所示为由24个光滑铁环组成的铁链，其两端等高地悬挂在竖直的固定桩上，铁环从左到右依次编号为1、2、3…24。在重力作用下铁链自然下垂形成一条曲线，曲线两端点的切线与竖直方向的夹角均为45°，第12个和第13个铁环水平穿连，每个铁环质量相等均为m，已知重力加速度为g，关于铁环之间的弹力，下列说法正确的是
A．每个铁环受上方铁环的弹力比受下方铁环的弹力小
B．第24个铁环受到固定桩的弹力大小等于12mg
C．第7个和第8个铁环之间的弹力大小为13mg
D．第12个和第13个铁环之间的弹力大小为mg
【答案】C
【解析】A．对单个铁环受力分析，上方铁环施加的弹力F上较大，故A错误；
B．对1－12个或13－24个铁链受力分析，可得F1＝，故B错误；
C．对第8－12个铁环受力分析，可得F7－8＝＝13mg，故C正确；
D．对半条铁链受力分析，可得F2＝12mg，故D错误。
5．如图所示，一固定的细直杆与水平面的夹角为α＝15°，一个质量忽略不计的小轻环C套在直杆上，一根轻质细线的两端分别固定于直杆上的A、B两点，细线依次穿过小环甲、小轻环C和小环乙，且小环甲和小环乙分居在小轻环C的两侧。调节A、B间细线的长度，当系统处于静止状态时β＝45°。不计一切摩擦。设小环甲的质量为m1，小环乙的质量为m2，则m1∶m2等于（ ）
A．tan 15°B．tan 30°C．tan 60°D．tan 75°
【答案】C
【解析】小轻环C为轻环，重力不计，受两边细线的拉力的合力与杆垂直，C环与乙环的连线与竖直方向的夹角为60°，C环与甲环的连线与竖直方向的夹角为30°，A点与甲环的连线与竖直方向的夹角为30°，乙环与B点的连线与竖直方向的夹角为60°，根据平衡条件，对甲环有2Tcs 30°＝m1g，对乙环有2Tcs 60°＝m2g，得m1∶m2＝tan 60°，故选C。
6．（多选）如图所示，三个外观完全相同的匀质圆柱体A、B、C叠放后置于水平面上，两侧用挡板夹住，现在两侧挡板上施加水平方向的外力F，平衡时，三个圆柱体两两相切，忽略一切摩擦，已知B、C圆柱体的质量均为m，A圆柱体的质量为2m，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．B对A的支持力大小为
B．B对地面的压力大小为2mg
C．当B、C间的作用力为零时，F＝
D．若圆柱保持静止，则B、C间的作用力为F－
【答案】BD
【解析】A、对A受力分析，如图所示。
根据平衡条件可得2F1cs 30°＝2mg，解得B对A的支持力大小为F1＝，故A错误；
B、对ABC整体，竖直方向根据平衡条件可知，地面对整体的支持力为FN＝2mg＋mg＋mg＝4mg，根据对称性可知，地面对B的支持力大小为2mg，根据牛顿第三定律可知，B对地面的压力大小为2mg，故B正确；
C、当B、C间的作用力恰为零时，A对B的压力的水平分力应恰好等于F，则有F1cs 60°＝F，解得：F＝，故C错误；
D、若圆柱保持静止，对B，水平方向根据平衡条件得F＝F2＋F1cs 60°，可得B、C间的作用力为F2＝F－，故D正确。
故选：BD。
7．如图所示，质量M＝ kg的木块套在水平杆上，并用轻绳将木块与质量m＝ kg的小球相连。今用跟水平方向成α＝30°角的力F＝ N拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m相对位置保持不变，取g＝10 m/s2。求：
（1）运动过程中轻绳与水平方向夹角θ的度数；
（2）木块与水平杆间的动摩擦因数；
（3）改变α，使球和木块一起向右匀速运动时拉力最小，求α的正切值。
【答案】（1）对小球进行分析，如下，
水平方向：Fcs 30°＝Tcs θ
竖直方向：Fsin 30°＋Tsin θ＝mg
解得θ＝30°；
（2）对木块与小球整体分析如下，
竖直方向：Fsin 30°＋FN＝(M＋m)g
水平方向：Fcs 30°＝μFN
解得μ＝；
（3）将摩擦力与杆的支持力合成，令该合力F0与水平方向夹角为β，则有tan β＝
作出木块与小球整体受力分析图如下，
可知，当F方向与F0方向垂直时，拉力最小，且有tan α＝＝μ＝。
8．如图所示，质量为m1＝0.8 kg、倾角为53°的斜面体A静置于水平地面上，物块C（质量未知且大小可调节）悬挂在轻绳OP、OQ的结点O处，OP水平，OQ与竖直方向的夹角为53°，且跨过轻质光滑定滑轮与斜面体上质量为m2＝2 kg的物块B相连（BQ段绳与斜面平行）。A与B之间、A与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.4。现改变物块C的质量，使整个系统在图示位置能始终保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6。
（1）当A与B之间的摩擦力恰好为零时，求物块C的质量；
（2）当C的质量mC＝0.9 kg时，求物块B受到摩擦力的大小和方向；
（3）求物块C的质量大小应满足的条件。
【答案】解：（1）设B受摩擦力为零时绳OQ中拉力大小为T，对B沿斜面方向由平衡条件有T＝m2gsin 53°，解得T＝16 N
设物块C的质量为m3，对O点受力分析，由平衡条件有＝T，解得m3＝0.96 kg
（2）设此时绳OQ中拉力大小为T′，则对O有T′＝＝15 N
对B有，设受到的摩擦力为f，由平衡条件有T′＋f＝m2gsin 53°
联立解得f＝1 N
方向沿斜面向上；
（3）B在斜面上所受最大静摩擦力的大小为fmax＝μm2gcs 53°＝4.8 N
当物块B沿斜面即将下滑时，此时物块C的质量为满足条件的最小值，设为mmin，设此时OQ拉力为T1，对B有T1＋fmax＝m2gsin 53°
对O有T1＝
联立解得mmin＝0.672 kg
设C的最大质量为mmax，当物块B沿斜面即将上滑时，设此时OQ拉力为T2，
对B有T2＝m2gsin 53°＋fmax
对O有T2＝
联立解得mmax＝1.248 kg
将A、B、C视为整体，当A相对于地面刚要滑动时，设C的质量为mmax′，地面对A的最大静摩擦力为fA＝μN＝μ(mmax′＋m1＋m2)g
要保持整个系统静止，则有TOP≤fA
对O有TOP＝mmax′gtan 53°
解得mmax′≤1.2 kg
综上可知，保持整个系统始终静止，物块C的质量大小应满足0.672 kg≤mC≤1.2 kg
三．跟踪训练
1．如图， 悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处，绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于（ ）
A．45°B．55°C．60°D．70°
【答案】B
【解析】悬挂甲物体的细线拴牢在O点处，且甲、乙两物体的质量相等，则O点右侧绳和下方细线的拉力大小相等，O点处于平衡状态，则O点左侧绳子拉力的方向在O点右侧绳和下方细线夹角的角平分线上，如图所示，根据几何关系有180°＝2β＋α，解得β＝55°。故选B。
2．设雨点下落过程中受到的空气阻力与雨点（可看成球形）的横截面积S成正比，与下落速度v的平方成正比，即f＝kSv2，其中k为比例常数，且雨滴最终都做匀速运动．已知球体积公式：V＝（r为半径），若两个雨滴的半径之比为1∶2，则这两个雨点的落地速度之比为（ ）
A．1∶B．1∶2C．1∶4D．1∶8
【答案】A
【解析】因为f阻＝G＝mg＝ρVg＝kSv2，还知道V＝，S＝πr2，
整理可得＝kπr2v2，
所以v2＝，
则这两个雨点的落地速度平方之比为：
所以，故A正确。
故选A。
3．如图，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A（A、B接触面竖直），此时A恰好不滑动，B刚好不下滑。已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A与B的质量之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对A、B整体分析，受重力、支持力、推力和最大静摩擦力，根据平衡条件，
有：F＝μ2(m1＋m2)g ①
再对物体B分析，受推力、重力、向左的支持力和向上的最大静摩擦力，根据平衡条件，有：
水平方向：F＝N
竖直方向：m2g＝f
其中：f＝μ1N
联立有：m2g＝μ1F ②
联立①②解得：＝，故B正确，ACD错误。
故选：B。
4．如图甲所示为一鸡蛋收纳架，利用斜坡使鸡蛋自动滚下。斜坡底端有一竖直挡板，斜坡倾角θ＝30°并开有凹槽，凹槽宽度为。现将5个鸡蛋放置在鸡蛋架上，将鸡蛋简化为质量为m，半径为R的球，图乙为正视图，图丙为沿斜坡方向视角。已知重力加速度大小为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）

A．鸡蛋架对5号鸡蛋的作用力大小为mg
B．4号鸡蛋对5号鸡蛋的支持力大小为mg
C．竖直挡板对1号鸡蛋的支持力大小为
D．凹槽单侧对5号鸡蛋的支持力大小为
【答案】C
【解析】A、鸡蛋架对5号鸡蛋的作用抵消鸡蛋重力垂直斜面的分力，其大小为mgcs 30°＝，A错误；
B、4号鸡蛋对5号鸡蛋的支持力抵消5号鸡蛋重力沿斜面的下滑分力，故其大小为mgsin 30°＝0.5mg，B错误；
C、竖直挡板对1号鸡蛋的支持力F沿斜面的分力等于5个鸡蛋重力沿斜面的下滑分力，即Fcs 30°＝5mgsin 30°，解得F＝，C正确；
D、凹槽单侧对5号鸡蛋的支持力FN垂直斜面的分力等于鸡蛋架对5号鸡蛋的作用力的一半，即FNcs 45°＝，解得FN＝，D错误。
5．（多选）一横截面为直角三角形的木块如图所示放置，质量均为m的A、B两物体用轻质弹簧AC相连放在倾角为30°的斜面上，物体C放在倾角为60°的斜面上，B与C之间用轻质细线连接，A、C质量的比值为，整个装置处于静止状态，已知物体A、B与斜面间的动摩擦因数相同（μ＜1）且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧弹力大小为mg，C与斜面间无摩擦，则（ ）
A．物体A、B均受到摩擦力作用且等大反向
B．物体A受摩擦力作用且大小为，物体B不受摩擦力作用
C．弹簧处于拉伸状态，A、B两物体所受摩擦力大小均为，方向均沿斜面向下
D．剪断弹簧瞬间，物体A仍处于静止状态
【答案】CD
【解析】AB、由题意可知物体A、C质量的比值为，则物体C的质量为mC＝，其重力沿斜面的分量为mCgsin 60°＝2mg，则绳子拉力大小为T＝2mg；
对物体A、B整体沿斜面方向根据平衡条件可得：2mgsin 30°＋f＝T＝2mg，解得f＝mg，因为μ＜1，所以物体A、B均受静摩擦力，方向向下，故AB错误；
C、由于物体A受到的摩擦力方向沿斜面向下，所以弹簧处于拉伸状态；
物体A受到的摩擦力大小为fA＝F弹－mgsin 30°＝，所以物体B所受摩擦力大小为fB＝f－fA＝，方向沿斜面向下，故C正确；
D、根据C选项可知，物体A与斜面之间的最大静摩擦力fm≥，剪断弹簧瞬间，物体A的重力沿斜面向下的分力为≤fm，所以物体A仍然处于静止状态，故D正确。
故选：CD。
6．如图所示，物体甲、乙用劲度系数k＝4 N/cm的轻弹簧连接放置在倾角为30°的斜面上，轻绳跨过光滑定滑轮一端与乙连接，另一端与沙桶连接，物体丙连接在动滑轮上。开始时系统处于静止状态，弹簧处于原长，跨过动滑轮的轻绳与竖直方向成60°角。已知甲、乙、丙的质量分别为m甲＝m乙＝8 kg，m丙＝2 kg，甲、乙与斜面间的动摩擦因数均为μ＝，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。求：
（1）沙桶的质量；
（2）开始时乙受到的摩擦力大小；
（3）若向沙桶中缓慢加入沙子，则当甲刚要向下滑动时，加入沙桶中沙子的总质量及此时弹簧的形变量。
【答案】解：（1）对丙处滑轮受力分析可知2Tcs 60°＝m丙g，
对沙桶分析可知T＝mg，
解得沙桶的质量m＝2 kg，
（2）开始时系统处于静止状态，弹簧处于原长，对乙分析T＋m乙gsin 30°＝f，
解得乙受到的摩擦力大小为f＝60 N；
（3）当甲刚要向下滑动时，对甲分析有F弹＋m甲gsin 30°＝μm甲gcs 30°，
解得F弹＝20 N，根据F弹＝kx，解得x＝5 cm，
对乙分析有Tm＋m乙gsin 30°＝μm乙gcs 30°＋F弹，且Tm＝(m＋m沙)g，
解得m沙＝2 kg。
7．如图所示，两根直木棍AB和CD相互平行，斜靠在竖直墙壁上固定不动。一个半径R＝5 cm、质量m＝20 kg的水泥圆筒从木棍的上部恰好能匀速滑下，已知两木棍间距d＝8 cm，与水平面的夹角α＝37°。（sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2）。
（1）两根直木棍对水泥圆筒弹力的合力及摩擦力的合力的大小；
（2）每根直木棍与水泥桶间的动摩擦因数；
（3）将水泥圆筒沿直木棍匀速向上拉动，所需最小拉力？（sin 74°＝0.96）
【答案】解：（1）从右侧视角分析，在沿斜坡方向根据平衡条件f合＝mgsin α＝120 N，
垂直于斜坡方向有FN合＝mgcs α＝160 N；
（2）由底部沿木棍向上看，受力关系如图所示：
图中θ角满足sin θ＝，解得θ＝53°；
根据平衡条件有2Ncs θ＝mgcs α，解得N＝ N，
又因为每根木棍的摩擦力f＝＝60 N，所以动摩擦因数μ＝＝0.45；
（3）从右侧视角受力分析，如图所示：
因木棍提供的支持力合成为2Ncs θ，摩擦力合成为2f＝2μN，
故这两个力的合力方向固定，图中β角满足tan β＝，故β＝37°，
现问题变为“物体受重力、木棍提供的力和拉力三力平衡，拉力最小值为多少”，根据力学平衡的矢量三角形得Fmin＝mgsin 74°，解得Fmin＝192 N。
方法
内容
合成与分解法
三个共点力平衡时，任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反；或将任意一个力沿着另外两个力的方向分解，则其分力一定分别与两个力大小相等、方向相反
正交分解法
物体受到多个力作用平衡时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
矢量三角形法
三个共点力平衡时，将力的矢量图平移，使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力