专题11 立体几何中翻转和折叠问题（考点专练)-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案）

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高考中题型分布稳定，仍以选择题、填空题（5 分）或解答题小问为主，侧重 “不变量辨析 + 空间关系推理” 的核心考查。
础知识必备：掌握平面图形与空间几何体的转化逻辑，明确折叠（平面→空间）和展开（空间→平面）的本质。 熟记核心图形特征，包括折叠常用的矩形、正方形、直角三角形等平面多边形，以及展开常用的正方体、圆柱、圆锥等空间几何体。 理解空间几何基本定理，重点是线面垂直、面面垂直的判定与性质，以及两点之间线段最短的应用。 牢记关键转化公式，如圆锥侧面展开图中扇形弧长 = 底面周长、扇形半径 = 母线长；圆柱侧面展开图中矩形长 = 底面周长。
2026高考预测：命题趋向综合化，折叠问题将与截面、轨迹、存在性问题融合，展开问题会结合函数最值分析，跨考点联动增强。 动态化考查成为热点，会涉及翻折过程中角度、线段长度的取值范围，或展开图中动点路径的最值变化。 应用性有所提升，可能结合包装盒设计、表面巡检路径等实际场景，但核心仍是平面与空间的转化。 对空间想象能力要求提高，减少直观图依赖，需通过文字描述还原图形转化过程。


难知识汇总：不变量与变量辨析：翻折前后，同一平面内的线段长度、角度保持不变，跨翻折线的空间位置关系可能变化；展开前后，几何体表面路径转化为平面线段，核心量（长度、弧长）守恒。 空间垂直关系证明：折叠后重点考查面面垂直，关键是找到垂直于另一平面的直线（通常为原平面中垂直于折痕的线段），利用 “线面垂直→面面垂直” 判定定理。 最短路径求解：多面体需展开相邻面为同一平面，旋转体（圆柱、圆锥）需按对应规则展开，再用勾股定理或余弦定理计算。 动态问题分析：翻折角度变化（0°~180°）时，二面角、点到平面距离等几何量的变化规律，需结合函数思想求最值。
常用技巧方法： = 1 \* GB3 ①双图对照法：同时画出折叠 / 展开前后的平面图形与空间图形，标注对应顶点和已知条件，明确元素对应关系。 不变量优先法：解题时先提取不变的线段长度、角度，以此为基础搭建空间几何关系，减少未知量干扰。 = 2 \* GB3 ②空间平面化法：通过展开转化空间路径，或构造辅助平面、直角三角形，将线面角、点面距离等问题转化为平面计算。 = 3 \* GB3 ③辅助线（面）作法：求体积时作几何体的高，转化异面直线角时连接中点构造中位线，不规则几何体可采用补形法。 = 4 \* GB3 ④折痕参照法：以折痕为对称轴，利用对称性质分析线面关系，折痕两侧的对称元素往往存在隐含垂直或平行关系。
易错避坑提效：避免误将跨翻折线的位置关系当作不变量，如原平面中平行的两条线段，翻折后异面则不再平行。 圆锥展开图计算时，防止混淆圆心角公式（正确关系为扇形弧长 = 底面周长，避免颠倒半径与底面半径的关系）。 解题时需明确标注不变量来源和展开方式，否则可能因步骤不完整扣分。 动态问题中不可遗漏变量取值范围（如翻折角度范围），否则会导致结果不完整。 避免直接套用平面几何结论，空间问题需先验证线面位置关系，再进行计算或证明。

题型一 折叠后线面 / 面面垂直证明
方法点拨：先明确折叠前后不变的垂直关系（如等腰三角形底边上的中线、正方形的对角线垂直），再利用面面垂直的性质定理（折叠后若两平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面），结合线面垂直判定定理完成证明；关键是锁定 “交线” 和 “不变的垂直线段”。
【典例01】（2025·上海长宁·二模）如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（ ）
A．存在点D和，使得B．存在点D和，使得
C．存在点D和，使得D．存在点D和，使得
【典例02】（2025·天津·三模）如图1，在直角梯形中，，为线段上的一点，，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体，如图2，则六面体的体积为（ ）

A．B．C．D．
【变式01】（2025·河北唐山·三模）如图，在中，，，点在边上，，沿翻折，得到三棱锥，满足平面平面，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．3
【变式02】（2025·天津南开·期末）如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点．
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小；
(3)设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
【变式03】（25-26高三上·云南楚雄·月考）如图，等腰梯形中，，垂足为点，延长线段至点，使得．将沿翻折至的位置，使得．
(1)证明：平面平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求三棱锥与三棱锥所围成的公共部分
几何体的外接球的表面积．
题型二 折叠后空间角（线面角、二面角）计算
方法点拨：建立空间直角坐标系时，优先以折叠后垂直的三条直线为坐标轴（如折叠后共点且两两垂直的线段）；利用折叠前后不变的边长、角度确定各点坐标，再通过平面法向量求解二面角，或用直线方向向量与平面法向量夹角求解线面角；注意区分二面角是锐角还是钝角。
【典例01】（2025·海南·一模）如图，四边形是等腰梯形，是的中点，是与的交点，将沿折到的位置.
(1)证明：平面；
(2)若平面，求二面角的正弦值.
【典例02】（2025·四川成都·模拟预测）如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥为中点．
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小；
(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
【变式01】（2025·湖南长沙·三模）如图，菱形ABCD的对角线交于点，且为CD的中点，平面CBD，且．现沿BD将翻折至的位置，使得平面平面CBD，且点和在平面CBD的同侧．
(1)证明：平面BCE；
(2)求直线EF和平面所成角的正弦值．
【变式02】（2025·广东广州·三模）如图所示，在等腰直角中，，点､分别为的中点，将沿翻折到位置.
(1)证明：平面
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
【变式03】（2025·天津·期末）如图，在直角梯形ABCD中，，AB⊥AD，且，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2.
(1)求证：平面BEC；
(2)求证：BC⊥平面BDE；
(3)求直线BC与平面ADEF所成角的正弦值.
题型三 折叠后空间距离（点到平面、异面直线距离）计算
方法点拨：点到平面距离优先用 “向量法”（点到平面的距离公式d=|AP⋅n||n|），其中n为平面法向量；异面直线距离可转化为平行线面距离，再用向量法求解；核心是准确求出平面法向量和相关向量的坐标。
【典例01】（2025·江西萍乡·一模）如图，在平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，沿AE将翻折至的位置得到四棱锥，且.若F为棱PB的中点，则点F到平面PCE的距离为（ ）
A．B．C．D．
【典例02】（2025·江苏镇江·模拟预测） (多选题)已知边长为2的菱形，且，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则（ ）
A．平面平面
B．当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为
C．当二面角为时，点到平面的距离为
D．当时，直线与平面所成角的余弦值为
【变式01】（2025·四川南充·一模）已知四面体中，、、两两垂直，， 与平面所成的角为，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（2025·广东江门·模拟预测）如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．2B．C．D．
【变式03】（2025·广东佛山·一模）如图，四边形中，，，为中点，点在上，，.将四边形沿翻折至四边形.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求点到平面的距离.
题型四 折叠后的外接球问题
方法点拨：先确定折叠后几何体的外接球球心（通常在过底面外接圆圆心且垂直于底面的直线上）；利用折叠前后不变的外接圆半径、二面角大小计算球心到各顶点的距离（即球半径）；若折叠后出现两两垂直的线段，可将几何体补成长方体，长方体的外接球即为几何体的外接球。
【典例01】（2025·福建漳州·模拟预测）在菱形中，，，将沿对角线翻折至，则当三棱锥表面积最大时，三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【典例02】（2025·福建宁德·三模）(多选题)如图，在矩形中，为中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．二面角的余弦值为
D．三棱锥外接球的半径为
【变式01】（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，，分别为线段，上异于端点的一点，，将梯形沿翻折至与梯形垂直的位置，得到多面体．
(1)若，证明：．
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
(3)求四面体的外接球的半径的最小值．
【变式03】（2025·浙江丽水·一模）在Rt中，是的中点，把沿翻折到，设二面角的平面角为，若，则三棱锥外接球表面积的范围是 ．
题型五 折叠中的最值问题（线段长度、体积、角度最值）
方法点拨：线段长度最值可通过 “轨迹法”（如折叠后某点在以定点为圆心、定长为半径的圆上）求解；体积最值需找到 “高的最大值”（通常当折叠后两平面垂直时，高最大）；角度最值可通过向量夹角公式转化为函数最值，结合二次函数或三角函数性质求解。
【典例01】（2025·重庆九龙坡·三模）如图，矩形 中， ，将 沿 翻折，得到三棱锥 ( 是 在翻折后的对应点)，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A． B． C．8D．16
【典例02】（2025·河北石家庄·三模）在如图所示的试验装置中，正方形框架ABCD的边长为2，长方形框架ABEF的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子M，N分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时a的取值为（ ）
A．B．C．D．
【变式01】（2025·陕西安康·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，为斜边上一动点，将沿折起，使的对应点为，且二面角的大小为，当的长最小时，三棱锥外接球的半径为（ ）
A．B．C．D．2
【变式02】（2025·山东济南·二模）(多选题)如图，矩形中，分别为的中点．现将沿翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列说法正确的是（ ）

A．三棱锥体积的最大值为8
B．存在某个位置使
C．三棱锥外接球半径为3
D．直线被三棱锥外接球截得的线段长的取值范围为
【变式03】（2025·黑龙江佳木斯·三模）(多选题)如图1所示，在四边形中，，，.如图2所示，把沿边折起，使点不在平面内，连接.则下列选项正确的是（ ）
A．当平面平面时，点到平面的距离为
B．异面直线与所成角的取值范围为
C．、分别为、的中点，在翻折的过程中，存在某个位置，使得
D．三棱锥的外接球的表面积的最小值为
（限时训练：15分钟）
1． （2025·江苏盐城·模拟预测）(多选题)在等腰梯形中，为中点，点为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，下列说法中正确的有（ ）
A．平面
B．点到平面的距离为
C．与平面所成角的正弦值为
D．三棱锥外接球表面积为
2． （2025·全国·模拟预测）(多选题)如图，矩形中，为的中点，将沿翻折至点，得到四棱锥为的中点，则（ ）
A．平面
B．的长为定值
C．四棱锥体积的最大值为
D．直线与平面所成角的最大值为
3．（2025·山西晋中·三模）(多选题)如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（ ）

A．在翻折的过程中，恒有平面PEN
B．若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为
C．当二面角的大小为时，
D．当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为
4．（24-25高三下·湖北·开学考试）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点．
(1)证明：；
(2)若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角余弦值的最小值．
5. （2025·宁夏石嘴山·三模）(多选题)如图，矩形中，为的中点，将沿翻折成，得到四棱锥，点在线段上，则（ ）
A．
B．存在，使平面
C．四棱锥体积的最大值为
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
6. （2025·云南·模拟预测）在平面五边形中，如图1所示，，，．将平面四边形沿翻折成空间图形，使D，E分别至点，，连接，，如图2所示，其中，都为动点．
(1)若，证明：平面平面；
(2)若平面四边形沿旋转一周所得几何体，求该几何体的表面积；
(3)求二面角的余弦值的最小值．
7. （25-26高三上·河北保定·月考）如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）．
(1)若为棱的中点，证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求点到平面的距离．高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）
核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）
聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 折叠后线面 / 面面垂直证明（）
题型二 折叠后空间角（线面角、二面角）计算（）
题型三 折叠后空间距离（点到平面、异面直线距离）计算（）
题型四 折叠后的外接球问题（）
题型五 折叠中的最值问题（线段长度、体积、角度最值）（）
实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）