内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼后旗2026年九年级 数学一模试题（含解析）中考模拟

这是一份内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼后旗2026年九年级 数学一模试题（含解析）中考模拟，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1）本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟．
2）根据网上阅卷需要，本试卷中所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效．
一、选择题（本大题共计8小题，每题3分，共计24分，每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 某地提倡“节约用水，保护环境”，如果节约的水记为，那么浪费的水记为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】解：节约的水记为，那么浪费的水记为，
故选：B．
2. 书法是我国传统文化的重要组成部分，被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，故C符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式混合运算，涉及单项式乘以单项式、积的乘方运算、幂的乘方运算、平方差公式、合并同类项等知识，熟练掌握整式混合运算的相关运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：A、，运算错误，不符合题意；
B、，运算错误，不符合题意；
C、，运算正确，符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意；
故选：C．
4. 如图，是一种测量角的仪器，它依据的原理是（ ）
A. 同位角相等B. 对顶角相等C. 垂线段最短D. 等角的余角相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等的性质，是基础题，根据对顶角相等的性质解答．
【详解】解：依据的原理是对顶角相等．
故选：B．
5. 有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三视图，理解三视图的定义是解题关键．
根据从上面看到的图形是俯视图，即可得答案．
【详解】解：的俯视图是，
故选：D．
6. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应和勾股定理，正确理解题意是解题的关键；
本题需要通过勾股定理求得，进而得到，然后即可求解；
【详解】解：如图： ，
由题意可知，，，，
∴，
∴，
∴数轴上点A所表示的数为，
故选：C；
7. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键．
设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答．
【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个，
然后根据题意可得：．
故选D．
8. 如图，在平行四边形中，．按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径作弧，交于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点O，交边于点F，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过点D作交延长线于点G，由作图可知，为的角平分线，则，由平行四边形的性质、平行线的性质可得∠BCF=∠DFC,∠DCG=∠ABC=60°，然后利用等腰三角形的性质及勾股定理可得DF=DC=2,CG=1，，，最后根据相似三角形的判定与性质得比例式，计算可得答案．
【详解】解：如图，过点D作交延长线于点G，
由作图可知，为的角平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴AD∥BC,AB∥CD,DC=AB=2，
∴∠BCF=∠DFC,∠DCG=∠ABC=60°，
∴，
∴，
在中，∠DCG=60°,∠CDG=30°，
∴CG=12CD=1，
∴DG=DC2−CG2=3，
在中，BG=BC+CG=3+1=4，，
∴BD=BG2+DG2=19，
∵，
∴△BOC∽△DOF，
∴BODO=BCDF=32，即DO=23OB，
又∵BO+DO=BD=19，
∴BO+23BO=19，
解得BO=3195．
二、填空题（本大题共计4小题，每题3分，共计12分）
9. 2026年春节联欢晚会上，机器人表演的武术的节目引发人们对人工智能的广泛关注，据统计，2026年北京人工智能核心产业规模达3458.7亿元．数据“”用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，原数绝对值大于时，为正整数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数．
【详解】解：数据“”用科学记数法表示为．
10. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度．
【答案】50
【解析】
【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再把，代入解析式求出y的值，进而计算即可．
【详解】解：设 关于 的函数解析式为 ，
把 代入 ，
，
函数解析式为 ，
当 时， ，
当 时， ，
度数减少了 （度）．
11. 如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为________（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则，求出，，利用，得出，，相加即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，则，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
12. 如图，在边长为4的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根据直角三角形的边角关系求出半径，由弧长的计算方法进行计算即可．
【详解】解：如图，过点A作，垂足为M，则，
∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得，
，
解得．
故答案为：．
三、解答题（本大题共计6小题，共计64分）
13. 按要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，从、0、1、2四个数中选取你喜欢的一个m的值代入求值．
【答案】（1）7 （2）；
【解析】
【分析】（1）先计算二次根式，化简绝对值，零指数幂，然后计算加减法．
（2）先化简括号内，得m+2m÷m+2m−2m2，根据分式除法法则进行计算化简，得，考虑分式有意义，即可作答．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：m+2m÷1−4m2
=m+2m÷m+2m−2m2
=m+2m×m2m+2m−2
考虑分式有意义即，，，
解得，，
∴当时mm−2=11−2=−1．
14. 某区域快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中_____________，_______________；
（2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议．
（3）若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率．
【答案】（1），；
（2）见解析； （3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图、统计表，求中位数与众数，画树状图求概率．
由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是，把型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列，其中第名和第名都是万件，所以型机器人分拣快递数量的中位数是；
根据型号机器人分拣快递的平均数高于型机器人，建议购买型机器人；
画树状图，由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，所以抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率是．
【小问1详解】
解：由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是，
由条形统计图可知，
型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列为：、、、、、、、、、，
其中第名和第名都是万件，
型机器人分拣快递数量的中位数是，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：合理化建议：
型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．
【小问3详解】
解：画树状图如下图所示，
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，
（抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）．
15. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：，且规定商品的单价不能低于成本价，但不高于50元．
（1）销售单价为多少元时，每天能获得800元的利润；
（2）若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为多少元?最大利润为多少元?
【答案】（1）销售单价为40元时，每天能获得800元的利润；
（2）若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，此时最大利润为1200元．
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出一元二次方程，解方程，舍去不合题意的解，问题得解；
（2）设商品的利润为w元，得到w与x的二次函数关系式并配成顶点式，根据自变量取值范围和二次函数的性质，即可求出当x=50时，w有最大值，此时w=1200，问题得解．
【小问1详解】
解：由题意得，
整理得，
解得，
由题意得，
∴不合题意，舍去，
∴，
答：销售单价为40元时，每天能获得800元的利润；
【小问2详解】
解：设商品的利润为w元，由题意得
（），
∵-2＜0，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当x=50时，w有最大值，此时w=1200，
答：若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，此时最大利润为1200元．
本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，理解题意，熟知二次函数的性质，根据题意正确列出一元二次方程和二次函数解析式是解题关键，解题时一定要注意商品单价的取值范围．
16. 如图，是的外接圆，为的直径，，连接，，的延长线交于点E，交于点F，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，．
①求的半径；
②求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①的半径为5；②．
【解析】
【分析】（1）证明，得到，即可证明是的切线；
（2）①根据正切函数的定义求得，得到，再利用勾股定理即可求解；
②设，，由勾股定理求得，再利用平行线分线段成比例即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：①∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为5；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
设，，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，即，
∴．
17. 问题背景 某校劳动基地蔬菜大棚由抛物线 和“矩形” 构成，抛物线最高点 到地面 的距离为米，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系，已知米，米．

建立建模 （1）求抛物线的解析式；
问题解决
（2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，如图1，准备在大棚抛物线上安装矩形“脚手架”（即三根支架，其中，垂直地面，平行地面），求“脚手架”的最大长度；
（3）如图2，在蔬菜大棚上安装照明灯，要求照明灯到地面的垂直距离为米，每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米，左右外侧的两个照明灯安装在抛物线上，如图所示，直接写出至少需要安装照明灯的个数．
【答案】（1）；（2）米；（3）个
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）顶点的坐标为，设抛物线的解析式，根据题意得，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）设点的坐标为，的长度之和为米，进而列出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）令得出距离地面4米的大棚的水平宽度为米，结合题意，即可求解．
【详解】解：（1）依题意，顶点的坐标为
设抛物线的解析式
∵米，米．
∴
代入，得
解得：
∴抛物线解析式为
（2）设点的坐标为，的长度之和为米，
∴
∴
∵
∴当时，
答：“脚手架”的最大长度为米；
（3）依题意，当时，
解得：
则距离地面4米的大棚的水平宽度为米
∵米
每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米，
∴直接写出至少需要安装照明灯的个数为个．
18. 综合与实践
问题情境：
如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，请直接写出的长．
【答案】（1）四边形是正方形，理由详见解析；（2），证明详见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）由旋转可知：，,再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明；
（2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合、即可解答；
（3）过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、则BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可．
【详解】解：（1）四边形是正方形
理由：由旋转可知：，，
又，
四边形是矩形．
∵．
四边形是正方形；
（2）．
证明：如图，过点作，垂足为，
则，
．
四边形是正方形，
，．
，
．
．
∵，
；
（3）如图：过E作EG⊥AD
∴GE//AB
∴∠1=∠2
设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x
在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15
∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9
∴BE=9,AE=12
∴sin∠1= ,cs∠1=
∴sin∠2= ,cs∠2=
∴AG=7.2,GE=9.6
∴DG=15-7.2=7.8
∴DE=．
本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键．
分拣快递数量（万件）
机器人台数（台）
众数/万件
中位数/万件
平均数/万件
方差
A型号
和
b
B型号