内蒙古通辽市科左中旗2023--2024学年人教版九年级中考数学模拟试卷

这是一份内蒙古通辽市科左中旗2023--2024学年人教版九年级中考数学模拟试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的倒数是（ ）
A．B．﹣4C．D．4
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．a2+a3＝a5
C．（2ab2）3＝6ab6D．a10÷a2＝a8
3．（3分）某食品厂对其生产的甲、乙两种品牌产品的质量进行调查，已知两种产品共3000个，其中甲产品1800个，乙产品1200个，用简单随机抽样的方式产生样本，如果样本大小为30，现有四种调查方案，其中调查结果更精确的是（ ）
A．在甲产品抽取30个进行调查
B．在甲、乙产品各抽取15个进行调查
C．分别在甲产品抽取18个，在乙产品抽取12个进行调查
D．分别在甲产品抽取12个，在乙产品抽取18个进行调查
4．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于点C，若∠ECO＝35°，
则∠DOT＝（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
5．（3分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC＝（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
7．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
8．（3分）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：
7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．
根据这组数据判断下列结论中错误的是（ ）
A．这组数据的众数是11
B．这组数据的中位数是10
C．这组数据的平均数是10
D．这组数据的方差是4.6
9．（3分）如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，IE的长为（ ）
A．5B．4.5C．4D．3.5
10．（3分）一元二次方程﹣x2+2x+12＝﹣x+15根的情况是（ ）
A．有一个正根，一个负根
B．有两个正根，且有一根大于9小于12
C．有两个正根，且都小于12
D．有两个正根，且有一根大于12
11．（3分）已知：如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CEDD．∠1＝∠2
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处，AB＝，AD＝4，则EC的长为（ ）
A．B．1C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分．）
13．（3分）因式分解：m3﹣4m＝ ．
14．（3分）将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1＝40°，则∠2＝ ．
15．（3分）将1，，，按如表所示方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右的第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 ．
16．（3分）如图1，点E，F，G分别是等边三角形ABC三边AB，BC，CA上的动点，且始终保持AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象大致为图2所示，则等边三角形ABC的边长为 ．
17．（3分）已知⊙O的直径AB为4cm，点C是⊙O上的动点，点D是BC的中点，AD延长线交⊙O于点E，则BE的最大值为 ．
三、解答题
18.（5分）计算：计算：
19．（5分）先化简，再求值：÷（m+2﹣），其中m时方程x2+2x﹣3＝0的根
20．（8分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
请结合图表完成下列各题：
（1）①求表中a的值；②频数分布直方图补充完整；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．
21．（8分）已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若∠P＝35°，连OC，求∠BOC的度数；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
22．（8分）如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，在坡底的点P处测得塔顶B的仰角为45°，已知斜坡长PA＝26m，坡度为1：2.4，点A与点C在同一水平面上，且AC∥PQ，BC⊥AC．请解答以下问题：
（1）求坡顶A到地面PQ的距离；
（2）求信号塔BC的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.00）
23．（8分）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
2023--2024学年人教版九年级中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）的倒数是（ ）
A．B．﹣4C．D．4
【分析】根据互为倒数的两数之积为1，可得出答案．
【解答】解：的倒数为﹣4．
故选：B．
【点评】此题考查了倒数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握互为倒数的两数之积为1．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．a2+a3＝a5
C．（2ab2）3＝6ab6D．a10÷a2＝a8
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：A．a3•a4＝a7，故该选项不正确，不符合题意；
B．a2与a3不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C． （2ab2）3＝8a3b6，故该选项不正确，不符合题意；
D．a10÷a2＝a8，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并．
3．（3分）某食品厂对其生产的甲、乙两种品牌产品的质量进行调查，已知两种产品共3000个，其中甲产品1800个，乙产品1200个，用简单随机抽样的方式产生样本，如果样本大小为30，现有四种调查方案，其中调查结果更精确的是（ ）
A．在甲产品抽取30个进行调查
B．在甲、乙产品各抽取15个进行调查
C．分别在甲产品抽取18个，在乙产品抽取12个进行调查
D．分别在甲产品抽取12个，在乙产品抽取18个进行调查
【分析】利用抽样调查的可靠性，即所占比例相同，即抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况，应分别在甲产品抽取18个，在乙产品抽取12个进行调查．
【解答】解：∵两种产品共3000个，其中甲产品1800个，乙产品1200个，用简单随机抽样的方式产生样本，样本大小为30，
∴分别在甲产品抽取18个，在乙产品抽取12个进行调查．
故选：C．
【点评】此题主要考查了抽样调查的可靠性，利用抽取的样本比例相同得出是解题关键．
4．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于点C，若∠ECO＝35°，则∠DOT＝（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】先根据平行线的性质得∠BOD＝∠ECO＝35°，再根据垂直的定义得∠BOT＝90°，然后利用互余计算∠DOT的度数．
【解答】解：∵CE∥AB，
∴∠BOD＝∠ECO＝35°，
∵OT⊥AB，
∴∠BOT＝90°，
∴∠DOT＝90°﹣35°＝55°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，得出∠BOD＝∠ECO＝35°是解题关键．
5．（3分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中满足|m﹣n|≤1的有10种结果，
∴两人“心领神会”的概率是＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）如图，△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC＝（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
【分析】过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF、OB、OC，根据垂径定理和已知求出DM＝KQ＝FN，根据勾股定理求出OM＝ON＝OQ，可得点O是△ABC的内心即可解决问题．
【解答】解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF、OB、OC，设AB，AC，BC与⊙O的另一个交点分别为E，H，G．
由垂径定理得：DM＝DE，KQ＝KH，FN＝FG，
∵DE＝FG＝HK，
∴DM＝KQ＝FN，
∵OD＝OK＝OF，
∴由勾股定理得：OM＝ON＝OQ，
即O到三角形ABC三边的距离相等，
∴O是△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠BOC＝115°，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的内心的判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
8．（3分）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：
7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．
根据这组数据判断下列结论中错误的是（ ）
A．这组数据的众数是11
B．这组数据的中位数是10
C．这组数据的平均数是10
D．这组数据的方差是4.6
【分析】分别根据众数、中位数、平均数以及方差的定义解答即可．
【解答】解：这组数据中11出现的次数最多，故众数为11，故选项A不符合题意；
把这组数据从小到大排列，排在中间的数分别为10和11，故中位数＝10.5，故选项B符合题意；
这组数据的平均数是：（7+11+10+11+6+14+11+10+11+9）＝10，故选项C不符合题意；
这组数据的方差为：[（7﹣10）2+4×（11﹣10）2+2×（10﹣10）2+（6﹣10）2+（14﹣10）2+（9﹣10）2]＝4.6，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
9．（3分）如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，IE的长为（ ）
A．5B．4.5C．4D．3.5
【分析】延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题．
【解答】解：延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，
∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC＝∠DCI，
∴DI＝DC＝DM，
∴∠ICM＝90°，
∴CM＝＝8，
∵AI＝2CD＝10，
∴AI＝IM，
∵AE＝EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE＝CM＝4，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
10．（3分）一元二次方程﹣x2+2x+12＝﹣x+15根的情况是（ ）
A．有一个正根，一个负根
B．有两个正根，且有一根大于9小于12
C．有两个正根，且都小于12
D．有两个正根，且有一根大于12
【分析】画出函数图象，找准图象与坐标轴的交点，结合图象可选出答案．
【解答】解：
由题意函数y＝﹣x2+2x+12，与y交于点（0，12）与x轴交于（﹣4，0）（12，0）
函数y＝﹣x+15，与y交于点（0，15）与x轴交于（9，0）
因此，两函数图象交点一个在第一象限，一个在第四象限，所以两根都大于0，且有一根大于12
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合的思想，画图象时找准关键点，与坐标轴的交点，由图象得结果．
11．（3分）已知：如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CEDD．∠1＝∠2
【分析】先根据角角边证明△ABC与△CED全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．
【解答】解：∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠1+∠A＝90°，
∴∠A＝∠2，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
故B、C选项正确；
∵∠2+∠D＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，
故A选项正确；
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∠1+∠2＝90°，
但∠1不一定等于∠2，
故D选项错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，先证明三角形全等是解决本题的突破口，也是难点所在．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处，AB＝，AD＝4，则EC的长为（ ）
A．B．1C．D．
【分析】根据矩形、翻折变换的性质以及勾股定理求出FC，再在Rt△EFC中，由勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：由矩形、翻折变换的性质可知，AD＝AF＝4，DE＝FE，
在Rt△ABF中，
BF＝＝2，
∴FC＝BC﹣BF＝4﹣2＝2，
设EC＝x，则DE＝FD＝2﹣x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得，
FC2+EC2＝EF2，
即22+x2＝（2﹣x）2，
解得x＝，
即EC＝，
故选：A．
【点评】本题考查矩形、翻折变换的性质以及勾股定理，掌握翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分．）
13．（3分）因式分解：m3﹣4m＝ m（m+2）（m﹣2） ．
【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2），
故答案为：m（m+2）（m﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（3分）将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1＝40°，则∠2＝ 85° ．
【分析】直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠1＝40°，∠4＝45°，
∴∠3＝∠1+∠4＝85°，
∵矩形对边平行，
∴∠2＝∠3＝85°．
故答案为：85°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．
15．（3分）将1，，，按如表所示方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右的第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 ．
【分析】根据题中所给排列方式，求出（5，4）与（15，7）表示数，再相乘即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，…，
所以第n排有n个数，
则前n排数的总个数为：1+2+3+…+n＝；
由题中所给排列的表可知，
（5，4）表示的数为．
当n＝14时，
，
即前14排数的总个数为105，
又因为（105+7）÷4＝28，
所以（15，7）表示的数为；
则，
即（5，4）与（15，7）表示的两数之积是．
故答案为：．
【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给排列方式发现规律是解题的关键．
16．（3分）如图1，点E，F，G分别是等边三角形ABC三边AB，BC，CA上的动点，且始终保持AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象大致为图2所示，则等边三角形ABC的边长为 2 ．
【分析】设出等边三角形ABC边长和BE的长，表示等边三角形ABC的面积，讨论最值即可．
【解答】解：设等边三角形ABC边长为a，则可知等边三角形ABC的面积为，
易证△BEF≌△AGE≌△CFG，
∵AE＝x，
∴BE＝a﹣x，则BF＝AE＝x，
S△BEF＝，
y＝﹣3（）＝，＝（x﹣）2+a2，
当x＝时，△EFG的面积为最小．
此时，等边△EFG的面积为，
∴a2＝，
∴a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题是动点函数图象问题，考查了等边三角形的性质及判断．解答时要注意通过设出未知量构造数学模型．
17．（3分）已知⊙O的直径AB为4cm，点C是⊙O上的动点，点D是BC的中点，AD延长线交⊙O于点E，则BE的最大值为 ．
【分析】如图，以OB为直径作⊙K，当直线AE切⊙K于D时，BE的值最大．
【解答】解：如图，以OB为直径作⊙K，当直线AE切⊙K于D时，BE的值最大．
∵AE是⊙K的切线，
∴DK⊥AE，
∴∠ADK＝90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ADK＝∠AEB，
∴DK∥BE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
故答案为．
【点评】本题考查动点问题，圆周角定理，平行线的性质，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
18.（5分）分计算：
【分析】根据零指数幂、绝对值、乘方、负整数指数幂分别计算后，再进行加减法即可．
【解答】解：
＝1﹣3﹣1+2
＝﹣1．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数和实数的混合运算，掌握相应的运算法则是关键．
19．（5分）先化简，后求值：÷（m+2﹣），其中m时方程x2+2x﹣3＝0的根
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到m的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝，
方程变形得：（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x＝1或x＝﹣3，
当m＝﹣3时，原式没有意义；
当m＝1时，原式＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
请结合图表完成下列各题：
（1）①求表中a的值；②频数分布直方图补充完整；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．
【分析】（1）①根据题意和表中的数据可以求得a的值；
②由表格中的数据可以将频数分布表补充完整；
（2）根据表格中的数据和测试成绩不低于80分为优秀，可以求得优秀率；
（3）根据题意可以求得所有的可能性，从而可以得到小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．
【解答】解：（1）①由题意和表格，可得
a＝50﹣6﹣8﹣14﹣10＝12，
即a的值是12；
②补充完整的频数分布直方图如图所示，
（2）∵测试成绩不低于80分为优秀，
∴本次测试的优秀率是：；
（3）设小明和小强分别为A、B，另外两名男同学为：C、D，
树状图如图所示，
则小明和小强分在一起的可能性有4种，一共有12种可能性，
所以小明和小强分在一起的概率为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数分布表、频数分布直方图、加权平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，可以将所有的可能性都写出来，求出相应的概率．
21．（8分）已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若∠P＝35°，连OC，求∠BOC的度数；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
【分析】（1）连接OC．由AP是⊙O的切线，推出∠PAB＝90°，求出∠B，再利用等腰三角形的性质即可解决问题；
（2）如图②中，连接OC，OD，AC．由△ODC≌△ODA（SSS），推出∠OCD＝∠OAD＝90°即可解决问题；
【解答】解：（1）如图①中，连接OC．
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥AB，
∴∠PAB＝90°，
∵∠P＝35°，
∴∠B＝55°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
（2）如图②中，连接OC，OD，AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵AD＝DP，
∴DC＝DA＝DB，
∵OA＝OC，OD＝OD，
∴△ODC≌△ODA（SSS），
∴∠OCD＝∠OAD＝90°，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O的切线．
【点评】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（8分）如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，在坡底的点P处测得塔顶B的仰角为45°，已知斜坡长PA＝26m，坡度为1：2.4，点A与点C在同一水平面上，且AC∥PQ，BC⊥AC．请解答以下问题：
（1）求坡顶A到地面PQ的距离；
（2）求信号塔BC的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.00）
【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为H，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，利用勾股定理即可求出结果；
（2）延长BC交PQ于点D，根据题意可得四边形AHDC是矩形，设BC＝x，则x+10＝24+DH．AC＝DH＝（x﹣14）m．利用正切列出方程即可求解．
【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥PQ，垂足为H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴．
设AH＝5k，则PH＝12k，
在Rt△AHP中，由勾股定理，得
．
∴13k＝26，
解得k＝2．
∴AH＝10（m）．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．；
（2）如图，延长BC交PQ于点D，
由题意可知四边形AHDC是矩形，
∴CD＝AH＝10m，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，∠BDP＝90°，
∴PD＝BD．
∵PH＝12×2＝24（m），
设BC＝x，则x+10＝24+DH．
∴AC＝DH＝（x﹣14）m．
在Rt△ABC中，，
即．
解得x≈19（m）．
答：信号塔BC的高度约为19m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23．（8分）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；
【分析】（1）证明△DAE≅△DCF（ASA），可得结论；
（2）猜想：AE＝CF，证明△DAE≅△DCF（ASA），推出DE＝DF．AE＝CF即可；
【解答】（1）证明：如图一中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝∠DCF＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
（2）解：猜想：EA+EC＝DE．
理由：如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵DE⊥DF，AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠EDF＝90°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC+∠AEC＝180°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∵∠DCF+∠DCE＝180°，
∴∠DAE＝∠DCF，
∴△DAE≌△DCF（AAS），
∴AE＝CF，DE＝DF，
∴EF＝DE，
∵AE+EC＝EC+CF＝EF，
∴EA+EC＝DE．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用建模的思想思考问题．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
【分析】（1）令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）设点P（m，﹣m2﹣2m+3），利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，利用S△ABP＝S△PBM+S△PBA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；
（3）求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
∴点A（1，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C（﹣3，0），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，
∴设点P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，
∴，解得：，，
∴点B（﹣4，﹣5），
如图，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，
点M（m，m﹣1），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，
∴S△ABP＝S△PBM+S△PMA
＝（﹣m2﹣3m+4）（m+4）+（﹣m2﹣3m+4）（1﹣m）
＝，
∴当m＝时，△ABP的面积最大，
∴点P（，）；
（3）当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴点E（﹣1，﹣2），
如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，
联立得D1（0，3），
同理可得D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7），
综上所述，符合条件的点D的坐标为D1（0，3）或D2（﹣6，﹣3）或D3（﹣2，﹣7）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，解决第（2）小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第（3）小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．
24．（10分）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点C（0，﹣2），顶点坐标为（，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，当最大时，求D点坐标；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在y轴右侧是否存在这样的点P，Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣）2﹣，将点C的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，证明△AKE∽△DFE，得出，则＝＝＝，求出直线BC的解析式为y＝x﹣2，设D（m，m2﹣m﹣2），则F（m，m﹣2），可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论；
（3）分AB为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣）2﹣，
∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣x﹣2；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，
∴AK∥DG，
∴△AKE∽△DFE，
∴，
∴＝＝＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
∵A（﹣1，0），
∴y＝﹣﹣2＝﹣，
∴AK＝，
设D（m，m2﹣m﹣2），则F（m，m﹣2），
∴DF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m．
∴＝＝＝．
∴当m＝2时，有最大值，最大值是，此时D（2，﹣3）；
（3）存在．理由如下：
∵l∥BC，
∴直线l的解析式为y＝x，
设P（n，n），∵P，Q在y轴右侧，∴n＞0
①当AB为边时，则PQ∥AB，PQ＝AB＝5，
若点Q在点P左侧时，
∴点Q（n﹣5，n），
∴n＝（n﹣5）2﹣（n﹣5）﹣2，
∴n＝+7或﹣+7（舍去），
∴点P（+7，）
若点Q在点P右侧时，
∴点Q（n+5，n），
∴n＝（n+5）2﹣（5+n）﹣2，
∴n＝﹣﹣3（舍去）或﹣3（舍去）
②当AB为对角线时，
∵AB与PQ互相平分，
∴点Q（3﹣n，﹣n）
∴﹣n＝（3﹣n）2﹣（3﹣n）﹣2，
∴n＝+1或﹣+1（舍去），
∴点P（+1，）（舍去），
综上所述，点P的坐标为（﹣+3，）或（+7，）
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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成绩x分
频数（人数）
第1组
50≤x＜60
6
第2组
60≤x＜70
8
第3组
70≤x＜80
14
第4组
80≤x＜90
a
第5组
90≤x＜100
10
组别
成绩x分
频数（人数）
第1组
50≤x＜60
6
第2组
60≤x＜70
8
第3组
70≤x＜80
14
第4组
80≤x＜90
a
第5组
90≤x＜100
10