内蒙古通辽市科左中旗2023-2024学年人教版九年级数学中考模拟卷

这是一份内蒙古通辽市科左中旗2023-2024学年人教版九年级数学中考模拟卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）|﹣2024|的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣D．﹣2024
2．（3分）2024中国甲辰（龙）年金银纪念币共13枚，其中15克圆形银质纪念币为精制币，成色99.9%，最大发行量300000枚，数字300000用科学记数法表示为（ ）
A．3×105B．3×106C．3×104D．30×104
3．（3分）
4．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断四边形ADCE是矩形的是（ ）
A．∠BAC＝90°B．AE＝CEC．AB＝ACD．AB＝AE
6．（3分）如图，在⊙A上有C、E、F、G四个点，其中CG为∠ACE的角平分线，若∠A＝120°，E、A、F共线，则∠GCF的度数为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．90°
7．（3分）图，点A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y＝的图象于点C，则△OAC的面积为（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（3分）某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒．每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，含肉的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置时，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为（ ）
A．1B．C．2D．
10．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°：③；④四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的；⑤若BE：CE＝2：3，则．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤
二、填空题（每小题3分，共21分，）
11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
12.若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则＝ ．
13．（3分）对甲、乙两个小麦品种各100株小麦的株高x（单位：m）进行测量，算出平均数和方差为：＝0.95，s甲2＝1.01，＝0.95，s乙2＝1.35，于是可估计株高较整齐的小麦品种是 ．
14．（3分）如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6cm，BC＝12cm，则正方形MNPQ的边长为 ．
15．（3分）五张不透明的卡片，正面分别写有实数﹣1，，，5.06006000600006……（相邻两个6之间0的个数依次加1），．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．
17．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＜1，其中正确的有 .（填写正确的序号）
三、解答题
18．（5分）计算：﹣|﹣4|﹣（2022﹣π）0+（tan45°﹣cs30°）×（﹣）﹣2．
19．（9分）每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：
（1）该校八年级共有 名学生，“优秀”所占圆心角的度数为 ．
（2）请将图1中的条形统计图补充完整．
（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？
（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．
20．（8分）学校玩转数学小组利用无人机测量大树BC的高．当无人机在A处时，恰好测得大树顶端C的俯角为45°，大树底端B的俯角为60°，此时无人机距离地面的高度AD＝30米，求大树BC的高．
（结果保留小数点后一位．≈1.414，≈1.732）
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB边上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，分别交AB，AC边于点E，F．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AC＝2，，求AE的长．
22.（8分）某超市购进A、B两种型号的口罩进行销售，已知A型号口罩每盒的进价是B型号口罩每盒进价的1.5倍，某超市用3000元购进A型号口罩的数量比用4500元罩购进B型号口罩的数量少250盒，购进两种口罩以相同的售价销售，A型号口罩的销量y1（盒）与售价x（元）之间的关系为y1＝400﹣4x；当售价为40元时，B型号口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售6盒．
（1）求A型号、B型号两种口罩每盒的进价分别为多少元？
（2）若A型号的销售量不低于B型号口罩的销售量的4倍，那么当售价为多少元时，销售两种口罩的总利润和最大？
23．（9分）如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度0≤α≤180°点B、E的对应点分别为点B′、E′．
（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′于点F，连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x＝m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年九年级数学中考模拟卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分。）
1．（3分）|﹣2024|的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣D．﹣2022
【分析】直接利用绝对值的性质以及相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：|﹣2024|＝2024，
故|﹣2024|的相反数是：﹣2024．
故选：D．
【点评】此题主要考查了绝对值以及相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）2024中国甲辰（龙）年金银纪念币共13枚，其中15克圆形银质纪念币为精制币，成色99.9%，最大发行量300000枚，数字300000用科学记数法表示为（ ）
A．3×105B．3×106C．3×104D．30×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：300000＝3×105．
故选：A．
【点评】本题主要考查科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数是关键．
3．（3分）下第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
4．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，
∴y＝x+4.5；
∵将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
∴y＝x﹣1．
∴所列方程组为．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（3分）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断四边形ADCE是矩形的是（ ）
A．∠BAC＝90°B．AE＝CEC．AB＝ACD．AB＝AE
【分析】根据矩形的判定方法即可判断答案．
【解答】解：A、若∠BAC＝90°，则AD＝BD＝CD，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AD＝CE，AE＝CD，
∴AD＝DC＝CE＝AE，
∴四边形ADCE为菱形，
且四边形ADCE不能判断为矩形，不符合题意；
B、若AE＝CE，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AD＝CE，AE＝CD，
∴AD＝DC＝CE＝AE，
∴四边形ADCE为菱形，
且四边形ADCE不能判断为矩形，不符合题意；
C、若AB＝AC，
∵AD是△ABC的中线，
∴∠ADC＝90°，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形，符合题意；
D、若AB＝AE，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE＝CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴BD＝AB，
∴∠BDA＝∠BAD，
根据三角形内角和等于180°，可得∠BDA＜90°，
∴四边形ADCE不能判断为矩形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解题的关键．
6．（3分）如图，在⊙A上有C、E、F、G四个点，其中CG为∠ACE的角平分线，若∠A＝120°，E、A、F共线，则∠GCF的度数为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．90°
【分析】连接AF，由E、A、F共线可知EF是⊙A的直径，故∠ECF＝90°°，根据∠A＝120°，AE＝AC得出∠ACE的度数，再由CG为∠ACE的角平分线得出∠ECG的度数，进而得出结论．
【解答】解：连接AF，
∵E、A、F共线，
∴EF是⊙A的直径，
∴∠ECF＝90°°，
∵∠A＝120°，AE＝AC，
∴∠ACE＝＝30°，
∵CG为∠ACE的角平分线，
∴∠ECG＝∠ACE＝15°，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECG＝90°﹣15°＝75°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．
7．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y＝的图象于点C，则△OAC的面积为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据反比例函数k的几何意义即可解决问题．
【解答】解：∵AB⊥x轴，点A是反比例函数y＝的图象上一点，点B是反比例函数y＝的图象上一点，
∴S△AOB＝3，S△BOC＝1，
∴S△AOC＝S△AOB﹣S△BOC＝3﹣1＝2，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒．每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，含肉的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】让含肉的盒饭数除以总盒饭数即为从中任选一盒含肉的概率．
【解答】解：配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒，全部是80盒，含肉的有70盒，
所以从中任选一盒，含肉的概率是．
故选：A．
【点评】本题考查等可能条件下的概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（3分））如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置时，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】根据题意，判断出Rt△ABC斜边BC的长度，根据勾股定理算出AC的长度，且AB1＝AB＝BC＝1，所以△ABB1为等边三角形，可得旋转角为60°，同理，∠CAC1＝60°，故△ACC1也是等边三角形，CC1的长度即为AC的长度．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，将其进行顺时针旋转，B1落在BC的中点处，
∴Rt△AB1C1是由Rt△ABC旋转得到，
∴AB1＝AB＝1，
∵∠BAC＝90°，点B1恰好落在边BC的中点处，
∴BC＝2AB1＝2，
根据勾股定理：，
∵AB1＝AB＝1，且，
∴△ABB1为等边三角形，
∴旋转角∠BAB1＝60°，
∴∠CAC1＝60°，且，
∴△ACC1也是等边三角形，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度是解题的关键．
10．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°：③；④四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的；⑤若BE：CE＝2：3，则．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤
【分析】由正方形的性质得∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，则∠OAB＝∠OBE＝∠OCB＝∠OCF＝45°，可证明△BOE≌△COF，得BE＝CF，再证明△ABE≌△BCF，得∠BAE＝∠CBF，推导出∠APF＝∠ABE＝90°，则AE⊥BF，可判断①正确；作OL⊥OE交AP于点L，可证明△OAL≌△OBP，得OL＝OP，所以∠OPA＝∠OLP＝45°，可判断②正确；因为AL＝BP，所以AP﹣BP＝AP﹣AL＝PL＝OP，可判断③正确；因为S△BOE＝S△COF，所以S四边形OECF＝S△BOC＝S正方形ABCD，可判断④正确；设BE＝2m，AE交BD于点Q，则CE＝3m，DA＝AB＝5m，求得BD＝AB＝5m，则OA＝OB＝m，再证明△EBQ∽△ADQ，得＝＝，则BQ＝BD＝m，求得OQ＝m，则tan∠CAE＝＝≠，可判断⑤错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，
∴DA＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABE＝∠BCF＝90°，AC⊥BD，OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，且AC＝BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠OAB＝∠OBE＝∠OCB＝∠OCF＝45°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF＝90°﹣∠COE，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE＝CF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∴∠APF＝∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABE＝90°，
∴AE⊥BF，
故①正确；
作OL⊥OE交AP于点L，则∠POL＝90°，
∴∠AOL＝∠BOP＝90°﹣∠BOL，
∵∠OAL＝45°﹣∠BAE，∠OBP＝45°﹣∠CBF，且45°﹣∠BAE＝45°﹣∠CBF，
∴∠OAL＝∠OBP，
在△OAL和△OBP中，
，
∴△OAL≌△OBP（ASA），
∴OL＝OP，
∴∠OPA＝∠OLP＝45°，
故②正确；
∵AL＝BP，
∴AP﹣BP＝AP﹣AL＝PL＝＝OP，
故③正确；
∵S△BOE＝S△COF，
∴S四边形OECF＝S△COE+S△COF＝S△COE+S△BOE＝S△BOC＝S正方形ABCD，
故④正确；
设BE＝2m，AE交BD于点Q，
∵BE：CE＝2：3，
∴CE＝3m，
∴DA＝AB＝2m+3m＝5m，
∴BD＝＝AB＝5m，
∴OA＝OB＝OD＝BD＝m，
∵BE∥DA，
∴△EBQ∽△ADQ，
∴＝＝＝，
∴BQ＝BD＝BD＝×5m＝m，
∴OQ＝OB﹣BQ＝m﹣m＝m，
∴tan∠CAE＝＝＝≠，
故⑤错误；
故选：C．
【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分，）
11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x＞﹣1且x≠2 ．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件即可求得答案．
【解答】解：已知函数为y＝+（x﹣2）0，
则x+1＞0且x﹣2≠0，
解得：x＞﹣1且x≠2，
故答案为：x＞﹣1且x≠2．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则＝ ．
【分析】由x2﹣2x﹣4＝0得a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，根据即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣4＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13．（3分）对甲、乙两个小麦品种各100株小麦的株高x（单位：m）进行测量，算出平均数和方差为：＝0.95，s甲2＝1.01，＝0.95，s乙2＝1.35，于是可估计株高较整齐的小麦品种是 甲 ．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵＝0.95，＝0.95，s甲2＝1.01，s乙2＝1.35，
∴s甲2＜s乙2，
∴估计株高较整齐的小麦品种是甲．
故答案为：甲．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．（3分）如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6cm，BC＝12cm，则正方形MNPQ的边长为 4cm ．
【分析】图中ED的长等于正方形MNPQ的边长．欲求正方形MNPQ的边长即PQ的长，已知BC和AD的长，AE可用PQ表示出来，考虑借助相似三角形的性质解题．
【解答】解：设正方形MNPQ的边长为x cm，则ED＝x cm，AE＝AD﹣x＝（6﹣x）cm．
∵四边形MNPQ是正方形，
∴PQ∥BC．
∴△APQ∽△ACB．
又∵AD⊥BC，
∴＝．
∵PQ＝x cm，AE＝（6﹣x）cm，BC＝12cm，AD＝6cm，
∴＝，
解得x＝4．
故答案为：4cm．
【点评】此题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定与性质，相似三角形的周长比、对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比、平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
15．（3分）五张不透明的卡片，正面分别写有实数﹣1，，，5.06006000600006……（相邻两个6之间0的个数依次加1），．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是 ．
【分析】先根据无理数是无限不循环小数得到无理数的个数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：在五张卡片中，是无理数的数为，5.06006000600006……（相邻两个6之间0的个数依次加1），共2个，
∴任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查无理数、简单的概率计算，正确记忆相关知识点是解题关键．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．
【分析】根据圆锥的侧面展开图所对的圆心角的度数为45°，根据，即可求解．
【解答】解：∵
∴
∵正方形的边长为2，则l＝2，
∠DAE＝45°，
∴
解得：
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，求圆锥底面半径，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
17．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＜1，其中正确的有 ①②④ .（填写正确的序号）
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①正确；
对称轴在0～1之间，于是有0＜﹣＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故③错误；
当x＝m（1＜m＜2）时，y＝am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2﹣c，故④正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＝2，所以﹣2b＜﹣2，即b＞1，故⑤错误；
综上所述，正确的结论有：①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．
三、解答题
18．（5分）计算：﹣|﹣4|﹣（2022﹣π）0+（tan45°﹣cs30°）×（﹣）﹣2．
【分析】先代入特殊角的三角函数值、计算绝对值、0次幂、以及负整数指数幂，再进行加减计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝﹣1．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数的混合运算，绝对值的化简、0次幂，负整数指数幂的运算，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．
19．（9分）每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：
（1）该校八年级共有 500 名学生，“优秀”所占圆心角的度数为 108° ．
（2）请将图1中的条形统计图补充完整．
（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？
（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．
【分析】（1）由“良好”的人数和其所占的百分比即可求出总人数；由360°乘以“优秀”所占的比例即可得出“优秀”所占圆心角的度数；
（2）求出“一般”的人数，补全条形统计图即可；
（3）由15000乘以“不合格”所占的比例即可；
（4）画树状图得出所有等可能的情况数，找出必有甲同学参加的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）该校八年级共有学生人数为200÷40%＝500（名）；“优秀”所占圆心角的度数为360°×＝108°；
故答案为：500，108°；
（2）“一般”的人数为500﹣150﹣200﹣50＝100（名），补全条形统计图如图1
（3）15000×＝1500（名），
即估计该市大约有1500名学生在这次答题中成绩不合格；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中必有甲同学参加的结果数为6种，
∴必有甲同学参加的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图和扇形统计图以及概率公式；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
20．（8分）学校玩转数学小组利用无人机测量大树BC的高．当无人机在A处时，恰好测得大树顶端C的俯角为45°，大树底端B的俯角为60°，此时无人机距离地面的高度AD＝30米，求大树BC的高．
（结果保留小数点后一位．≈1.414，≈1.732）
【分析】延长BC，交过点A的水平线于点E，根据题意可得BE⊥AE，AD＝BE＝30米，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，然后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：延长BC，交过点A的水平线于点E，
则BE⊥AE，AD＝BE＝30米，
在Rt△ABE中，∠EAB＝60°，
∴AE＝＝＝10（米），
在Rt△AEC中，∠EAC＝45°，
∴EC＝AE•tan45°＝10（米），
∴BC＝BE﹣EC＝30﹣10≈12.7（米），
∴大树BC的高约为12.7米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键．
声明21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB边上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，分别交AB，AC边于点E，F．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AC＝2，，求AE的长．
【分析】（1）连接OD，则∠ODA＝∠BAD，由切线的性质得 BC⊥OD，可证明OD∥AC，则∠ODA＝∠CAD，所以∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC；
（2）连接DE，在Rt△ACD 中，，AC＝2，则CD＝＝1得出AD＝＝＝，又因AE 是直径，得出∠ADE＝90° 则∠ADE＝∠C，由 （1）知∠EAD＝∠CAD．推出△ADE∽△ACD，则 ，即：＝，则AE＝2.5．
【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，OD是⊙O半径，D是切点，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）如图，连接DE，
在Rt△ACD中，，AC＝2，
∴CD＝AC＝1，
∴AD＝＝＝，
∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠C，由（1）知∠EAD＝∠CAD．
∴△ADE∽△ACD，，即：＝，
∴AE＝2.5．
【点评】此题重点考查切线的性质，等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、三角形的相似，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
22.某超市购进A、B两种型号的口罩进行销售，已知A型号口罩每盒的进价是B型号口罩每盒进价的1.5倍，某超市用3000元购进A型号口罩的数量比用4500元罩购进B型号口罩的数量少250盒，购进两种口罩以相同的售价销售，A型号口罩的销量y1（盒）与售价x（元）之间的关系为y1＝400﹣4x；当售价为40元时，B型号口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售6盒．
（1）求A型号、B型号两种口罩每盒的进价分别为多少元？
（2）若A型号的销售量不低于B型号口罩的销售量的4倍，那么当售价为多少元时，销售两种口罩的总利润和最大？
【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求出，注意分式方程要检验；
（2）先求出B型号口罩的销量，根据A型号的销售量不低于B型号口罩的销售量的4倍，求出x的取值范围，然后列出W关于x的二次函数，配成顶点式，即可求出当售价为多少元时，销售两种口罩的总利润和最大．
【解答】解：（1）设B型号口罩每盒进价为x元，则A型号口罩每盒的进价为1.5x元，
根据题意可列方程得：，
解得：x＝10，
经检验得：x＝10是方程的解，
则1.5×10＝15（元），
答：A型号、B型号两种口罩每盒的进价分别为15元、10元；
（2）根据题意可得B型号口罩的销量为：100﹣6（x﹣40）＝（﹣6x+340）盒，
∵A型号的销售量不低于B型号口罩的销售量的4倍，
∴400﹣4x≥4（﹣6x+340），解得：x≥48，
设销售两种口罩的总利润和为W元，
则W＝（400﹣4x）（x﹣15）+（﹣6x+340）（x﹣10）＝﹣10x2+860x﹣9400＝﹣10（x﹣43）2+9090，
∵﹣10＜0，开口向下，对称轴x＝43，
∴当x≥48时，W随x的增大而减小，
∴当x＝48时，W有最大值，W最大＝8840，
答：当售价为48元时，销售两种口罩的总利润和最大．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及二次函数最值的应用，解题关键：一是分式方程要找出等量关系，二是二次函数要会配顶点式．
23．（10分）如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度0≤α≤180°点B、E的对应点分别为点B′、E′．
（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′于点F，连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．
【分析】（1）在Rt△ABE中应用勾股定理，得到AB的长度，根据正方形的性质，求出AC的长，根据旋转的性质得到AB′的长，即可求解，
（2）作CG⊥BE，由△BCG≌△ABE（AAS），得到CG、BG、EG的长，在Rt△CEG中，应用勾股定理，即可求解，
（3）E′与E重合，CE′最短，当E′落在CA的延长线上时，AE′＝AE＝2，CE′最长，即可求解．
【解答】解：（1）∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，∠ABC＝90°，
∴，
由旋转的性质得：，
∴；
（2）过点C作CG⊥BE于点G，如图所示：
则∠BGC＝90°＝∠AEB，
∴∠CBG+∠BCG＝∠CBG+∠ABE＝90°，
∴∠BCG＝∠ABE，
在△BCG和△ABE中，
，
∴△BCG≌△ABE（AAS），
∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，
∴EG＝BE﹣BG＝4﹣2＝2，
∴；
（3）∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度0≤α≤180°点B、E的对应点分别为点B′、E′，
∴当α＝0°时，E′与E重合，CE′最短，，
当E′落在CA的延长线上时，AE′＝AE＝2，CE′最长，
∴，
∴线段CE′长度的取值范围为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x＝m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得直线l的函数解析式；
（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；
（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC＝∠OCB，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+x﹣2，
∴当y＝0时，得x1＝1，x2＝﹣4，当x＝0时，y＝﹣2，
∵抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴点A的坐标为（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），
∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即直线l的函数解析式为y＝；
（2）直线ED与x轴交于点F，如图1所示，
由（1）可得，
AO＝4，OC＝2，∠AOC＝90°，
∴AC＝2，
∴OD＝，
∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD＝∠CAO，
∴△AOD∽△ACO，
∴，
即，得AD＝，
∵EF⊥x轴，∠AOC＝90°，
∴EF∥OC，
∴△ADF∽△ACO，
∴，
解得，AF＝，DF＝，
∴OF＝4﹣＝，
∴m＝﹣，
当m＝﹣时，y＝×（）2+×（﹣）﹣2＝﹣，
∴EF＝，
∴DE＝EF﹣FD＝；
（3）存在点P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG，
理由：作GM⊥AC于点M，作PN⊥x轴于点N，如图2所示，
∵点A（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），
∴OA＝4，OB＝1，OC＝2，
∴tan∠OAC＝，tan∠OCB＝，AC＝2，
∴∠OAC＝∠OCB，
∵∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG，∠GAM＝∠OAC﹣∠BAG，
∴∠BAP＝∠GAM，
∵点G（0，﹣1），AC＝2，OA＝4，
∴OG＝1，GC＝1，
∴AG＝，，即，
解得，GM＝，
∴AM＝＝＝，
∴tan∠GAM＝＝，
∴tan∠PAN＝，
设点P的坐标为（n，n2+n﹣2），
∴AN＝4+n，PN＝n2+n﹣2，
∴，
解得，n1＝，n2＝﹣4（舍去），
当n＝时，n2+n﹣2＝，
∴点P的坐标为（，），
即存在点P（，），使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG．
【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．
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