人教版 (2019)选择性必修 第一册简谐运动学案

这是一份人教版 (2019)选择性必修 第一册简谐运动学案，共9页。
1．周期性特征：质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为。
2．对称性特征
（1）相隔Δt＝nT（n＝1，2，3…）的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
（2）相隔Δt＝（n＝0，1，2…）的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向（或都为零），速度也等大反向（或都为零）。
（3）如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′（OP＝OP′）时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
（4）振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
（5）振子往复过程中通过同一段路程（如OP段）所用时间相等，即tOP＝tPO。
二．典例精讲
1．简谐运动的周期性和对称性
例题1 如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为（ ）
A．3 s、6 cmB．4 s、6 cmC．4 s、9 cmD．2 s、8 cm
【答案】B
【解析】简谐运动的质点，先后以同样的速度通过M、N两点，则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O时间与由O到N的时间相等，那么平衡位置O到N点的时间t1＝0.5 s，因过N点后再经过t＝1 s，质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点到最大位移处的时间t2＝0.5 s，因此，质点振动的周期是T＝4(t1＋t2)＝4 s。这2 s内质点通过的总路程的一半，即为振幅，所以振幅A＝＝6 cm，故选B。
2．简谐运动的对称性的综合应用
例题2 如图所示，一轻弹簧上端与质量为m的物体A相连，下端与地面上质量为2m的物体B相连，开始时A和B均处于静止状态，现对A施加一向上的恒力F而使A从静止开始向上运动，弹簧始终处在弹性限度以内，重力加速度取g。为了保证运动中B始终不离开地面，则F最大不超过（ ）
A．mg B．C．D．3mg
【答案】B
【解析】物体B始终不离开地面，则A在弹簧弹力和恒力F的作用下做简谐振动，其运动如图所示
甲图为初始状态，此时A刚开始向上运动，弹簧处于压缩状态，设弹簧的劲度系数为k，甲状态下弹簧的压缩量为x甲，则有mg＝kx甲，解得x甲＝，丙图为末状态，此时B准备离开地面，弹簧处于拉伸状态，丙状态下弹簧的伸长量为x丙，则有2mg＝kx丙，解得x丙＝，乙图为平衡位置，根据简谐振动的对称性可知，平衡位置关于初末位置对称，平衡位置时弹簧处于拉伸状态，伸长量为x乙，x乙＝，平衡位置的受力关系为F＝kx乙，解得F＝。故选B。
三．跟踪训练
1．（多选）（2023·山东·历年真题）如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】当AB两点在平衡位置的同侧时有，，可得；或者，因此可知第二次经过B点时，，解得T＝4t，此时位移关系为，解得，A错误，B正确；当AB两点在平衡位置两侧时有，，解得或者（由图中运动方向舍去），或者，当第二次经过B点时，则，解得，此时位移关系为，解得，C正确，D错误；选BC。
2．（多选）（2025·吉林通化·联考题）如图所示，质量均为m的两物体A、B用劲度系数为k的轻质弹簧拴接，物体C叠放在物体B上，系统处于静止状态。现将C瞬间取走，余下系统做周期为T的运动。已知B到最高点时，物体A对地面的压力恰好为零，弹性势能的表达式为Ep＝，其中x为弹簧的形变量，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．从物体C移走到B第一次到最高点用时
B．物体B运动到最高点时的加速度大小为3g
C．物体B的最大速度大小为
D．物体B运动到最低点时，A对地面的压力大小为5mg
【答案】AC
【解析】A．从物体C移走后B做周期为T的简谐运动，可知B第一次到最高点用时，故A正确；
B．B物体在最高点受重力和弹簧弹力，由于物体A对地面的压力恰好为零，由平衡条件得F弹＝mg，由牛顿第二定律可得B物体在最高点的加速度大小为a＝＝2g，故B错误；
C．物块B在平衡位置时速度最大，则kx0＝mg，此时弹簧被压缩x0＝
到达最高点时弹簧伸长x1＝，则在最高点和在平衡位置时弹簧弹性势能相等，
则从速度最大位置到最高点由能量守恒得＝mg(x0＋x1)
解得最大速度vm＝，故C正确；
D．由对称性可知当B在最低点时加速度大小为2g，方向向上，根据牛顿第二定律F弹′－mg＝m·2g，A对地面的压力大小为FN＝F弹′＋mg＝4mg，故D错误。故选AC。