2026年小升初数学考点专项训练--考点21：牛吃草问题变式--检票口问题解析

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【例1】广州火车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到检票队伍消失，若同时开5个检票口，则需要30分钟，若同时开6个检票口，则需20分钟。如果要使等候检票的队伍10分钟消失，需要同时开多少个检票口？
【例2】在车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在候车室等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的。若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放多少个检票口?(20分)
1.【2018·黄埔广附2】画展9点开门，但早有人排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个人场口，9点5分就没有人排队，问第一个观众到达时间是8点几分？(8分)

2.【23天实入学2】画展8时开始，但早有人来等候。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众数一样多。如果开3个入场口，8时9分就不再有人排队。如果开5个入场口，8时5分就不再有人排队。那么，第一个观众到时是几时几分?(5分)
3.【24广大附增城入学】某车站在检票前若干分钟就开始排队，设每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开8个检票口需60分钟；同时开10个检票口需30分钟。为了使15分钟检票队伍消失，需要开多少个检票口?(10分)
考点21：检票问题参考答案
【例1】广州火车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到检票队伍消失，若同时开5个检票口，则需要30分钟，若同时开6个检票口，则需20分钟。如果要使等候检票的队伍10分钟消失，需要同时开多少个检票口？
【解析】等候检票的旅客人数在变化，旅客相当于草，检票口相当于牛，可以用牛吃草的问题的解法求解。旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。
解：设一个检票口1分钟检票人数为“1”。
① 每分钟新来的旅客：（5×30－20×6）÷（30－20）=3（人）
② 原有旅客数：5×30－3×30=60（人）
③ 要使等候的队伍10分钟消失需要的检票口数：（60+10×3）÷10=9（个）
答：需要同时开9个检票口。
【例2】在车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在候车室等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的。若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放多少个检票口?(20分)
【解析】设每分钟新增加的旅客为x人，检票的速度为每个检票口每分钟检y人，5分钟内检票完毕需同时开放n个检票口，
则
②×3－①得2a=30y，y=④
把④代人①，得x=⑤
把④，⑤代入③得a+≤n×，解得n≥3.5，n取最小的整数，n=4
即至少需同时开放4个检票口。
1.【2018·黄埔广附2】画展9点开门，但早有人排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个人场口，9点5分就没有人排队，问第一个观众到达时间是8点 分。(8分)
【解析】设每分进入人数为1份
(9×3－5×5)÷(9－5)=0.5(份)
9×3－0.5×9=22.5(份)
22.5÷0.5=45(份)
9:00－0:45=8:15
2.【23天实入学2】画展8时开始，但早有人来等候。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众数一样多。如果开3个入场口，8时9分就不再有人排队。如果开5个入场口，8时5分就不再有人排队。那么，第一个观众到时是几时几分?(5分)
【解析】设每个入场口每分进的人数为1份。
(3×9－5×5)÷(9－5)=(27－25)÷4=2÷4=0.53×9－9×0.5=27－4.5=22.5
22.5÷0.5=45(分)
8时－45分=7时15分
第一个观众到时是7时15分。
3.【24广大附增城入学】某车站在检票前若干分钟就开始排队，设每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开8个检票口需60分钟；同时开10个检票口需30分钟。为了使15分钟检票队伍消失，需要开多少个检票口?(10分)
【解析】假设每分钟每个检票口检票人数为1份。
(8×60－30×10)÷(60－30)=6
开始检票前排队的人数：8×60－60×6=120
检票口：(15×6+120)÷15=14(个)