四川省内江市2025_2026学年高一数学上学期第二次月考考试试题含解析

这是一份四川省内江市2025_2026学年高一数学上学期第二次月考考试试题含解析，共71页。试卷主要包含了 已知集合 ，集合 ，则， “ ”是“ ”的， 给出命题， 下面与 角终边相同的角是， 已知函数 则， 已知 ，且 ，则等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合 ，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】因为 ， ，故 .
故选：C.
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的包含关系来判断充要关系即可.
【详解】因为 的解集为 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B.
3. 给出命题：“如果 n 是素数，那么 不是素数”.甲同学判断该命题是假命题，他给出这个判断的反
例可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】需要找出一个反例，即存在一个素数 ，使得 也是素数，然后一一验证即可.
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【详解】由题意得：需要找出一个反例，即存在一个素数 ，使得 也是素数.
选项 A：当 时，计算： ，
不是素数（合数），符合命题结论，
不能作为反例，故选项 A 不正确；
选项 B：当 时，计算： ，
11 是素数，满足反例条件，故选项 B 正确；
选项 C： 不是素数，不满足命题前提，
不能作为反例，故选项 C 不正确；
选项 D：当 时，计算： ，
不是素数（合数，可被 3 整除），符合命题结论，
不能作为反例，故选项 D 不正确.
故选：B
4. 如果 ，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊值法和不等式的性质逐项判断即可.
【详解】因为 ，
对于 A 选项，取 ， ，则 ，A 错；
对于 B 选项， ，B 对；
对于 C 选项，取 ， ，则 ，C 错；
对于 D 选项，取 ， ，则 ，D 错.
故选：B.
5. 下面与 角终边相同的角是（ ）
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A. 25° B. C. D. 225°
【答案】D
【解析】
【分析】由终边相同角的概念进行求解．
【详解】因为 ，所以与 终边相同的最小正角是 ．
故选：D
6. 已知二次函数 的图象如图所示，则函数 和 在第一象限的图象可能是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数的图象与性质分析 的符号，结合幂函数的性质判定选项即可.
【详解】由图象可知 ，所以 ，
根据幂函数的性质可知函数 和 在第一象限分别是单调递增、单调递减，显然只有 B 项
正确.
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故选：B
7. 已知函数 则 （ ）
A. B. 3 C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目条件代入分段函数即可求出 的值.
【详解】由题可知， ， ，
， .
故选：A
8. 已知关于 的不等式 的解集为 ，集合 ，若 中有且只有三个元
素，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分式不等式转化为一元二次不等式，再分开口向上和开口向下来讨论另一个零点 的分
布区间即可求解.
【详解】由不等式
由于 中有且只有三个元素，则 或 ，
解得 ，
故选：A.
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二､多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 ，且 ，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 9 D. 的最小值为 8
【答案】ABC
【解析】
【分析】A 选项，由基本不等式直接求出 的最大值；B 选项，由 得到 B 正确；C 选项，
利用基本不等式“1”的代换求出最小值；D 选项，平方后，由基本不等式进行求解.
【详解】A 选项，因为 ，且 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，A 正确；
B 选项， ，当且仅当 时取等号，
所以 最小值为 ，B 正确；
C 选项， ，
当且仅当 ，即 时取等号，C 正确；
D 选项，
，
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 ，故最小值不可能为 8，D 错误.
故选：ABC.
10. 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 且 对 任 意 的 ， （ ） 都 有
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.记 ， ， ，则（ ）
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对 AB，根据函数奇偶性定义判断；对 CD，将条件式变形可得 ，
即得 ， 在 上单调递减，结合奇偶性求解.
【详解】对于 AB，因为 是定义在 R 上的偶函数，
所以 ，且 的定义域为 ，
所以 为偶函数，故 A 错误，B 正确；
对于 CD，由 ，都有 ，
所以 ，则 ，
即 ，
所以 ，所以 在 上单调递减，
又 ， ， ，
所以 ，故 C 错误，D 正确.
故选：BD.
11. 函数 的定义域为 ，区间 ，若 在 上的值域是 ，则称 为
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的“ -跟随区间”，下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的一个“ 跟随区间”是
B. 函数 一定存在“ 跟随区间”
C. 函数 存在“3-跟随区间”
D. 若函数 存在“ 跟随区间”，则 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，计算 在 上的值域即可判断选项正误；对于 B，由 图象与 图
象交点情况可判断选项正误；对于 C，通过举特例可判断选项正误；对于 D，问题等价于 为方程
的两根，求 最大值，由韦达定理，结合配方可判断选项正误.
【详解】对于 A， 时， 在 上单调递减，则其在 上值域为：
，故 A 正确；
对于 B，若 存在“ 跟随区间”，设为 ，又 在 R 上单调递增，
则由“ 跟随区间”定义可得 ，即 图象与 有 2 个不同交点，
但显然随着 的改变， 图象与 可能相切，可能有 2 个不同交点，也可能没有交点，故 B 错误；
对于 C，取区间 ，因 ，则 上 上单调递增，
则其在 上值域为： ，即函数 存在“3-跟随区间” ，故 C 正确；
对于 D， ，则 在 上单调递增，
若函数 存在“ 跟随区间”，不妨 ，则 ，
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化简可得 为方程 的两根，
其判别式 ，
由韦达定理： ，
则
，当 时取等号，故 D 正确.
故选：ACD
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的定义域是________.
【答案】 .
【解析】
【分析】要使函数 有意义，须使 ，求解可得函数 的定义域.
【详解】要使函数 有意义，须使 ，
所以 ，且 .
所以函数 的定义域是 .
故答案为： .
13. 已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则 _____
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的定义即可求解.
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【详解】因为终边过点 ，故 ，
所以 .
故答案为：
14. 若函数 的自变量取值范围为 时，函数值的取值范围恰好是 ，就称区间 为
的一个“和谐区间”.
（1）函数 __________“和谐区间”（填“有”或“没有”）
（2）当 时， ，则 的“和谐区间”为__________.
【答案】 ①. 没有 ②.
【解析】
【分析】（1）先求出 的定义域，结合函数单调性和奇偶性得到 和 时，均没有“和谐区
间”，从而得到答案；
（2）由函数单调性，得到 ，即 是方程 的两个不相等的正数根，所以
，得到答案.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，且函数 为奇函数，
当 时， ，当 时， ，故 一定同号，
当 时，函数 为减函数，对于 上任意的 ，
则 ，所以当 时，函数 没有“和谐区间”，
同理当 时，函数 没有“和谐区间”，所以函数 没有“和谐区间”
（2）因为当 时， ，设 ，
因为 在 上单调递减，所以函数在 上的值域为 ，
由函数单调性与“和谐区间”的定义可知， ， ，
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所以 ，所以 是方程 的两个不相等的正数根，
即 是方程 的两个不相等的正数根，所以 ，
所以 在区间 上的“和谐区间”是 ，所以 的“和谐区间”是 .
故答案为：没有； .
四､解答题：本题共 6 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的取值集合.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可；
（2）由 ，分 与 讨论分析即可.
【小问 1 详解】
若 ，则 和 是方程 的两个实数根，
所以 ，
解得 ，代入 中得： ，
解得： 或 ，满足 ，
所以 .
【小问 2 详解】
当 时， ，满足 ，
当 且 时， 或 ，
当 时， ，
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当 时， ，
故 的取值构成的集合为 .
16. 计算化简下列问题.
（1）已知 ，求 值；
（2）计算 的值.
（3）计算： ；
【答案】（1）7； （2）8；
（3）
【解析】
【分析】（1）对原式合理变形并结合完全平方公式求解即可.
（2）利用指数和对数的运算性质求解即可.
（3）利用特殊角的三角函数值代入求解即可.
【小问 1 详解】
由题意得 ，
则两边同时平方可得 ，
故 .
【小问 2 详解】
由题意得
.
【小问 3 详解】
因为 ，
所以 .
17. 某蔬菜基地种黄瓜，从历年市场行情可知，从二月一日起的 天内，黄瓜市场售价 （单位：元/千
克）与上市时间（第 天）的关系可用如图所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本 （单位：元/千克）与
上市时间的关系可用如图所示的抛物线表示．
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（1）写出图表示的市场售价与上市时间的函数关系式 及图表示的种植成本与上市时间的函数关
系式 ；
（2）若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大？
【答案】（1） ，
（2）从二月一日开始的第 天上市，能使黄瓜纯收益最大
【解析】
【分析】（1）采用待定系数法假设一次函数和二次函数解析式，代入已知点即可求得结果；
（2）收益为 ，结合二次函数最值可求得结果.
【小问 1 详解】
当 时，设 ，则 ，解得： ，
；
当 时，设 ，则 ，解得： ，
；
综上所述： ；
设 ，
，解得： ， .
【小问 2 详解】
设从二月一日起的第 天的纯收益为 ，由题意知： ，
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即
当 时， ，
当 时， 在区间 上取得最大值 ；
当 时， ，
当 时， 在区间 上取得最大值 ；
综上可知：当 时， 取得最大值，最大值为 ，
即从二月一日开始的第 天上市，能使黄瓜纯收益最大．
18. 已知 ．
（1）求证： ；
（2）判断 的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2） 上单调递增，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式，分别计算 的表达式，即可证明结论；
（2）结合函数解析式判断其单调性，利用函数单调性定义即可证明；
（3）判断函数 的奇偶性， ，转化成 对于 恒成立，利用函数单调性即可
求解.
【小问 1 详解】
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由题意可知 ；
，
故 .
【小问 2 详解】
由题意得 ，其定义域为 ，
在 上单调递增，
证明：任取 ，不妨设 ，
，
因为 ，故 ，
又 ，故 ，即得 ，
故 在 上单调递增；
【小问 3 详解】
由题意知 的定义域为 ， ，即 为奇函数；.
所以
等价于 ，又 在 上单调递增；
所以 在 时恒成立，
令
则 ，
由对勾函数 的单调性可知其在 单调递增，
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当 时， ，
所以 ，
即实数 的取值范围是
19. 已知函数 .
（1）证明：曲线 是中心对称图形；
（2）若 ，当且仅当 时成立.
（i）求实数 的值；
（ii）若 是 的零点， 满足 ，求 的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）2；（ii）2
【解析】
【分析】（1）根据 计算即可证明；
（2）（i）根据反比例函数的单调性判断 的单调性，确定 且 满足题意，计算即
可求解；（ii）由（i），根据零点的概念可得 ，根据对数的运算性质和换元法可得
（令 ），进而 都是函数 的零点，结合零点的存在性定理和 的单调性可得 ，即
可求解.
【小问 1 详解】
由题意， ，
得 ，
所以曲线 关于点 对称.
【小问 2 详解】
（i）由 ，解得 ，即函数 定义域为 .
对于 ，函数 在 上单调递减，
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所以 在 上单调递增，故函数 在 上单调递增.
又 ，当且仅当 时成立，需 且 ，
即 ，解得 .
（ii）由（i）得 ，
因为 是 的零点，所以 ，得 ；
由 ，得 ，
令 ，则 ，得 ，即 .
即 都是方程 的解，即 都是函数 的零点，
又 在 上单调递增，且 ，
所以 在 上有且仅有一个零点，故 ，
即 ，所以 .
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