四川省内江市2025_2026学年高三数学上学期第2次月考试题含解析

这是一份四川省内江市2025_2026学年高三数学上学期第2次月考试题含解析，共71页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟 满分：150 分
第 I 卷 选择题（满分 58 分）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．）
1. 已知全集 ，集合 满足 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据补集可得 ，根据元素与集合之间的关系逐项分析判断.
【详解】因为全集 ， ，可得 ，
所以 ， ， ， .
故选：D.
2. 已知复数 ，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先利用复数乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义确定对应点所在的象限.
【详解】因为 ，
所以该复数在复平面内对应的点为 ，在第一象限.
故选：A
3. 若 为奇函数，当 时， ，则 （ ）
A. 10 B. C. 12 D.
【答案】D
【解析】
分析】由奇函数性质结合题意可得答案.
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【详解】因为 为奇函数， 时， ,
所以 .
故选：D
4. 设向量 ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的模判断 A,利用向量垂直的性质判断 B, 利用向量平行的性质判断 C，利用向量数量积判
断 D．
【详解】向量 ，
对于 A， ， ，故 A 错误；
对于 B， ， ，∴ ，故 B 正确；
对于 C， 坐标间不存在倍数关系， 不平行，故 C 错误；
对于 D， ，故 D 错误．
故选：B．
5. 某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对 200 位参赛学生的综
合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（ ）
A.
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B. 评分在 的人数约为 20
C. 估计评分的第 25 百分位数为 65
D. 估计评分的平均数为 76.5
【答案】C
【解析】
【分析】利用频率和为 1 求出判断 A；利用频率求出频数判断 B；求出下四分位数判断 C；求出评分的平均
数判断 D.
【详解】对于 A，由 ，得 ，故 A 正确；
对于 B，评分在 的频率为 ，评分在 的人数约为 ，故 B 正确；
对于 C，评分在 的频率为 ，评分在 的频率为 ，
则评分的第 25 百分位数 在 内，由 ，解得 ，故 C 错误；
对于 D，评分的平均数 ，故 D 正确.
故选：C.
6. 设 ， ，若 是 与 的等差中项，则 的最小值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】先由等差中项的概念得到 ，然后由基本不等式求解最小值即可.
【详解】因为 是 与 的等差中项，
所以 ，即 ，
∴ ，又 ， ，
∴ ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
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故选：B.
7. 设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 的取值范围得到 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：
则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
8. 已知 ，则 的大小关系不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先进行同构，得到 ，设函数 ，利用导数分析函数
单调性，分情况讨论 的大小关系，各项逐一验证即可.
【详解】由题意知 ，因为 ，
两边同时取以 为底的对数，得 ， ，即
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，
令 ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
又 ，所以 或 ；
，使得 ，所以 或 ；
，使得 ，所以 或 ．
当 ， 时，B 成立；
当 时，C 成立；
当 （或 ）时，D 成立；
由于 B、C、D 均可能成立，故选 A．
故选：A
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
9. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则（ ）
A.
B.
C. 直线 过定点
D. 不等式 的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】AB 选项，根据不等式解集得到方程，对照系数可得 ， ，故 A 正确，B 错误；C 选
项，直线可化为 ，经过定点 ；D 选项，不等式化为 ，解得 ，所
以 .
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【详解】对于 A 和 B，因为不等式 的解集为 ，
所以 ， ，
则 ， ，故 A 正确，B 错误；
对于 C，直线可化为 ，经过定点 ，故 C 正确；
对于 D，不等式 即为 ，即 ，
即 ，解得 ，所以 ，故 D 正确；
故选：ACD
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 关于点 中心对称
C. 函数 的图像向左平移 个单位，得到的函数图像关于 轴对称
D. 函数 在 上不单调，则 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由三角恒等变换化简函数 .求出函数的周期判断 A 选项；求出函数对称中心判断 B 选项；由
函数的平移得到平移后的函数解析式，从而知道函数的对称性判断 C 选项；求出其导函在对应区间上的值
域，由题意建立不等式组，解得 的取值范围判断 D 选项.
【详解】函数 ，
对于 A 选项：∵ ，∴ ，A 选项正确；
对于 B 选项：令 ，解得 ，∴ 是函数的一个对称中心，
B 选项不正确；
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对于 C 选项：平移后的函数 ，函数 图像关于 轴
对称，C 选项正确；
对于 D 选项： ，当 时， ，∴
，要想函数不单调，则 ，∴ ，D 选项正确.
故选：ACD.
11. 函数 ，则（ ）
A. ，使得 在 上递减
B. ，使得直线 为曲线 的切线
C. ，使得 既为 的极大值也为 的极小值
D. ，使得 在 上有两个零点 ，且
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数单调由 即可求解 A，根据切点为 的切线，即可求解 B,求导，利
用导数的正负确定单调性即可确定极小值，结合对称性即可确定极大值，举例求解 D.
【 详 解 】 A． 若 ， 使 得 在 上 递 减 ， 则 ， 代 入 得
，解得 且 ，故 不存在，因此不存在 ，使得
在 上递减，故 A 错；
B．当 时， ，当切点为 时，则只需
，故 B 对；
C．注意到 ，令 ，
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另一方面， 时， ，
当 时， ，
当 时，
此时 时， 取极小值，此时 为极小值，
由 ，所以函数 的图象关于 对称，由对称性可
知： 为 的极大值， 此时 也为极大值．故 C 对；
对于 D，令 ， ，函数在 上有两个零点 ，
，所以 ，
故 D 正确；
故选：BCD
【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的
新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩
法，注意恒成立与存在性问题的区别．
第 II 卷非选择题（满分 92 分）
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 的展开式中 的系数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由展开式通项结合题意可得答案.
【详解】 展开式的通项为 ，令 .
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则 的系数为 .
故答案为：
13. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”
安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”
讲座不同的次序共有______种．
【答案】144
【解析】
【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“数”进行全排列，再将“礼”和“书”
排到所得排列的空隙中，最后将“射”和“御”交换位置， 根据分步计数原理即可求解.
【详解】先将“射”和“御”“捆绑”视为一个元素，再与“乐”和“数”一起排列， 有 种不同的次
序，
再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中间不能排），有 种不同的次序，
最后将“射”和“御”交换位置，有 种不同排序，
根据分步乘法计数原理可知“六艺”讲座不同的次序共有 种．
故答案为： .
14. 设 为数列 的前 项和， ，则 ______
【答案】15
【解析】
【分析】利用 及给定递推公式变形，构造常数数列求出 ，再利用对数运算法则及等
差数列前 项和公式求解.
【详解】在数列 中， ，当 时， ，
两式相减得 ，即 ，则 ，
因此数列 是常数列， ，则 ，
由 ，得 ，当 时， ，
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令 ，则 ，
因此 ，所以 .
故答案为：15
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出 的值，结合角 的取值范围可得出角 的值；
（2）利用两角和的正弦公式可求出 的值，再利用正弦定理可得出 的值.
【小问 1 详解】
因为 ，即 ，可得 ，
由余弦定理可得 ，
因为 ，故 .
【小问 2 详解】
因为 ， ，则 ，
由正弦定理得 ，解得 .
16. 已知函数 ， ．
（1）若曲线 在点 处的切线与 y 轴垂直，求函数 的单调区间；
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（2）若 对 成立，求实数 k 的取值范围．
【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据题意得到 的定义域及 ，再根据 即可得到 的值，进而根据 的
正负可得到函数 的单调区间；
（2）先根据题意分离参数 ，再构造函数，进而通过求导分析其单调性即可得到 的取值范围．
【小问 1 详解】
依题意得 的定义域为 ， ，
由曲线 在点 处的切线与 轴垂直，
则 ，得 ，
所以 ，
当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ，
故 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
【小问 2 详解】
由 得 ，
令 ，
则 ，
令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
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所以 ，
所以 ，即 ．
故 的取值范围是 ．
17. 在数列 中， ， ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式；
（3）若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析
（2） ．
（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可；
（2）根据（1）的结论，结合等差数列的通项公式进行求解即可；
（3）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前 项和进行求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
所以数列 是首项是 ，公差为 1 的等差数列．
【小问 2 详解】
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由（1）可得 ，
则 ，故 ．
【小问 3 详解】
由（2）可得 ，
则
．
18. 已知函数 ， 为 的导数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 是 的极大值点，求 的取值范围；
（3）若 ，证明： ．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）令 ，求出导函数，再分 和 两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）结合（1）分 、 、 、 四种情况讨论，判断 的单调性，即可确定极值
点，从而得解；
（3）利用分析法可得只需证 ， ，只需证对任意
，有 ，结合（2）只需证明 ，构造函数，利用
导数证明即可.
【小问 1 详解】
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由题知 ，
令 ，则 ，
当 时， 在区间 单调递增，
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
【小问 2 详解】
当 时， ，
由（1）知，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
所以 是函数 的极小值点，不符合题意；
当 时， ，且 ，
由（1）知，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
所以 是函数 的极小值点，不符合题意；
当 时， ，则当 时， 上单调递增，
所以 无极值点，不合题意；
当 时， ，且 ；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
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所以 是函数 的极大值点，符合题意；
综上所述， 的取值范围是 .
【小问 3 详解】
要证 ，
只要证 ，
只要证 ， ，
因为 ，则 ，
所以只要证对任意 ，有 ，
只要证对任意 ，有 （※），
因为由（2）知：当 时，若 ，则 ，
所以 ，即 ①，
令函数 ，则 ，
所以当 时 ，所以 在 单调递增；
则 ，即 ，
由① ②得 ，
所以（※）成立，
所以 成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
19. 向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为
促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案．
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（1）公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径 （单位：cm）近似服从正态分布 ．试估计一游
客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在 的概率；
（2）该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两
种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有 2 个红球，4 个白球，顾客从中一次性摸出 3 个球，
若摸出 2 个红球 1 个白球获得“六折优惠”，若摸出 1 个红球 2 个白球获得“八折优惠”，若摸出 3 个白球不优
惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上
数字为奇数，游客就向前移动 1 格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动 2 格．游客重复掷骰子
直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第 2 次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得
最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由．
参考数据：若 ，则 ． ．
【答案】（1）0．8186．
（2）方案二，理由见解析
【解析】
【小问 1 详解】
，则 ， ，结合正态分布 性质： 和
．
即一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在 的概率为 0．8186．
【小问 2 详解】
设方案一的折扣为 ，则 可以取 ， ， ，
第 16页/共 18页
， ， ，
．
设方案二的折扣为 ，则 可以取 ， ，
用 ， 表示游客首次在第 位置的概率，
则 ， ， ．
由题知，游客到达 ， 位置，只有两种途径，
一种是从 位置，掷到偶数，其概率为 ，
另一种是从 位置，掷到奇数，其概率为 ，
， ， ．
当 时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
， ， ， ， ，
又 ，
， ，
， ，且
， ．
第二次到达①位置的概率 ．
．
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， 若想要获得最大优惠，游客应选方案二．
第 18页/共 18页