2025_2026学年19.三角形全等——初中数学中考一轮分层训练中考一轮复习 [含解析]

这是一份2025_2026学年19.三角形全等——初中数学中考一轮分层训练中考一轮复习 [含解析]，共25页。试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）．
A．0.9mB．1.3mC．1.6mD．2m
2．如图，ΔABC≅ΔDEF，点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，则∠E等于（ ）
A．30°B．50°C．60°D．100°
3．仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出∠CPD＝ ∠AOB 的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
4．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O 且与边AB， CD 分别相交于点 E，F.若 OA=2,OD=1,则△AOE 与△DOF 的面积之和为 .
5．如图，△ABC≌△ADE，∠B=70°，∠C=30°，∠DAC=20°，则∠EAC的度数为 ．
6．如图，AB=AC，点D在BC上，添加一个条件使△ABD≌△ACD，该条件是 ．
7．如图，已知∠BAD=∠BCD=90∘,∠ABD=50∘,AB=CB，则∠ADC的度数为 。
8．如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=CE．求证：AC=DF．
9． 如图，已知∠B=∠C，AD=AE，则AB=AC，请说明理由．（填空）
解：在△ABE和△ACD中，
∠B=∠___∠A=∠___AE=____(____)∴△ABE≅△ACD（______），∴AB=AC（_____）.
10．如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地. C，D 两地到路段AB 的距离CE，DF 相等吗?为什么?
11．如图，点A，D，B，E在一条直线上，AC=DF，AD=BE，∠A=∠EDF，求证：∠C=∠F．
二、能力题
12．我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（ ）
A．BO＝DO，AC⊥BDB．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB
C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCAD．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
13． 如图， 在∠AOB 的两边OA， OB 上分别截取OM=ON， 移动角尺使得两边 CM=CN， 则可以得到△OCM≌△OCN， 其中的原理是 ( )
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
14．如图，AB=AC，AE=AD，点E在BD上，∠EAD=∠BAC，∠BDC=56°，则∠ABC的度数为()
A．56°B．60°C．62°D．64°
15．已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=2，则FM的长为（ ）
A．4B．5C．6D．6.5
16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是 ．
17．在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD=BE=CF，连接三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC=1，则S△DEF=1−3S△ADF
如图①当ADAB=12时，S△DEF=1−3×14=14
如图②当ADAB=13时，S△DEF=1−3×29=13
如图③当ADAB=14时，S△DEF=1−3×316=716
……
直接写出，当ADAB=110时，S△DEF= .
18．如图，在△ABC中，AB=AC=25，BC=14，BD平分∠ABC，若AD∥BC，则AD= ，点D到AC的距离为 。
19．如图，已知正方形ABCD的边长为1，M是BC边上的动点不与点B，C重合），N是AM的中点，过点N作EF⊥AM，分别交AB，BD，CD于点E，K，F，设BM=x.
（1）AE的长为 （用含x的代数式表示）.
（2）设EK=2KF，则ENNK的值为 .
20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，延长AC到点F，过点F作FE⊥AB于点E，FE与BC交于点D，若DE=DC．
（1）求证： BD=DF；
（2）若AC=3cm，AB=5cm， 求CF的长度．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，AD=EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC．
（2）若AB=4，BE=6，求CD的长．
22．如图，在正方 ABCD 中，E是BC边上的点，AE的垂直平分线交CD，AB于点F，G，BGBE=34.
（1）若正方形边长为4，求 BG的长；
（2）求DF：CF的值.
23． 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明：四边形ADCF是菱形；
（3）若AB＝6，AC＝8，求菱形ADCF的面积．
三、拓展题
24．某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究．
（1）如图1，梯形ABCD中，AD//BC，AB丄BC，点E是AB中点，D是梯形的顶点，将△ADE绕E旋转180。得到△BFE，若AD=a，且此时DF=DC，求BC的长（用含a的代数式尝试表示）；
（2）如图2，梯形MNPQ，MN//PQ，MQ=NP，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：①所得的部分不重叠，不间隙地拼；②在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；③在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点.（模仿1中的表述：点E是AB中点，D是梯形的顶点）
25．【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞.
（1）【模型建立】
如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”.AM=AN，DM=DN.求证：∠AMD=∠AND.
（2）【模型应用】
如图2，△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D.请你从以下两个条件：
①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程.（注：只需选择一种情况作答）
（3）【拓展提升】
如图3，AC为⊙O的直径，AB=BC，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交⊙O于点D，连接CD.求证：AE=2CD.
答案解析部分
1．【正确答案】A
解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，则∠OEC=90°， ∠BOC= 90° ，
∠BOD+∠COE = 90° ，
由题意可知，OA=OB =OC=2m，BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，
∴∠BDO =90°，
∴OD=OB2−BD2=1.2cm
∴OF=OD+DF =1.2+1.3=2.5(m) ，
∵∠BDO=∠OEC = 90°，
∴∠BOD +∠OBD= 90° ，
∴∠COE=∠OBD，
在∆OBD和 ∆COE中，
∠BDO=∠OEC∠OBD=∠COEOB=CO
∴∆OBD≅∆COE(AAS)，
∴OE = BD=1.6m
∴EF =OF-OE =2.5-1.6= 0.9(m)，
即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m.
故A.
【分析】 过点C作CE⊥OA于点E， 由题意可知，OA=OB=OC=2m， BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，再由勾股定理得OD=1.2m，则OF =OD+DF=2.5m；然后利用AAS证明∆OBD≅∆COE(AAS)，得OE = BD=l.6m，则EF =OF -OE =0.9m，即可解答.
2．【正确答案】A
解：∵△ABC≌△DEF，∴∠F=∠C=100°，∠E=∠B，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-50°-100°=30°，
∴∠E=30°
故A．
【分析】根据全等三角形的对应角相等可得∠F=∠C=100°，∠E=∠B，再利用三角形内角和求出∠B的度数即可得出答案.
3．【正确答案】A
解：由作图可得：
GH=MNOG=PM,OH=PN
∴△OGH≌△PMN(SSS),
∴∠AOB=∠CPD,
故 A.
【分析】由作图可得OG=PM，OH=PN，GH=MN， 得出 △OGH≌△PMN(SSS),即可得解.
4．【正确答案】1
解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=BO=1，CD∥AB，
∴∠ODF=∠OBE，∠OFD=∠OEB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴△DOF的面积=△BOE的面积，
∴△AOE与△DOF的面积之和=△BOA的面积= 1
故1.
【分析】 根据菱形的性质证明△DOF≌△BOE（AAS），得△DOF的面积=△BOE的面积，进而可以解决问题.
5．【正确答案】60°
解：∵∠B=70°，∠C=30°，
根据三角形内角和为180°，
∴∠BAC=80°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=80°，
∴∠EAC=∠BAD=60°
故答案为60°．
【分析】
根据全等，可得∠EAC=∠BAD，而∠BAD=∠BAC-∠DAC，计算即可．
6．【正确答案】BD=CD（答案不唯一）
解：由图可知，AB=AC，AD=AD，
当BD=CD时，△ABD≌△ACDSSS，
当∠BAD=∠CAD时，△ABD≌△ACDSAS，
故BD=CD（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
7．【正确答案】80°
解：在Rt△ABD中
∵∠BAD=90° ，∠ABD=50°
∴∠ABD=90°-50°=40°
在Rt△BAD与Rt△BCD中
AB=CBBD=BD
∴Rt△BAD≅Rt△BCD（HL）
∴∠BDC=∠ADB=40°
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC
=40°+40°
=80°
故80°
【分析】首先在已知直角三角形的一个锐角的情况下，利用直角三角形两锐角互余求出∠ADB的度数。然后通过观察发现两个直角三角形有一条公共斜边和一组相等的直角边，利用HL定理证明两个直角三角形全等。最后根据全等三角形对应角相等的性质，得出∠BDC与∠ADB相等，进而求出∠ADC的度数。
8．【正确答案】证明：∵BF= CE，
∴BC= EF．
在△ABC和△DEF中，
AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴AC=DF．
【分析】先根据题意得到BC= EF，进而根据三角形全等的判定与性质SAS证明△ABC≌△DEF即可求解。
9．【正确答案】证明： 在△ABE和△ACD中，
∠B=∠C_∠A=∠A_AE=AD_(已知_)∴△ABE≅△ACD（AAS_），∴AB=AC（全等三角形的对应边相等_）.​​​​​​​
【分析】注意有一个公共角∠A，再结合题目给出的两个条件，恰好构成AAS判定证明两个三角形全等，从而得到对应边相等。
10．【正确答案】解： CE=DF，理由如下：
由题意得：A C = B D ， ∠ A E C = ∠ B F D = 90 °，
∵ A C ∥ B D ，
∴ ∠ C A E = ∠ D B F
在 △ A C E 与 R △ B D F 中：
∠ C A E = ∠ D B F
∠ A E C = ∠ B F D
A C = B D
∴ △ A C E ≅ △ B D F （AAS），
∴ C E = D F ，即C、D到AB的距离相等，
【分析】先根据题意得：A C = B D ， ∠ A E C = ∠ B F D = 90 °，再利用平行线得性质得到∠ C A E = ∠ D B F，根据AAS判定 △ A C E ≅ △ B D F，再根据全等三角形的性质即可解答.
11．【正确答案】证明：∵AD=BE，
∴AD+DB=BE+DB，
即AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠A=∠EDFAC=DF
∴△ABC≌△DEFSAS，
∴∠C=∠F．
【分析】由AD=BE，结合线段构成及等式性质推出AB=DE，从而用“SAS”证明△ABC≌△DEF，由全等三角形的对应角相等即可得出∠C=∠F．
12．【正确答案】D
解：A.∵BO = DO， AC⊥BD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB=AD， CB=CD，
∴四边形ABCD是筝形，
∴ A选项不符合题意；
B.在△ACD与△ACB中，
AD=AB∠DAC=∠BAC,AC=AC
∴△ACD≌△ACB(SAS)，
∴CD=CB，
∴四边形ABCD是筝形，
∴ B选项不符合题意；
C.在△ACD与△ACB中，
∠DAC=∠BACAC=AC∠DCA=∠BCA
∴△ACD≌△ACB(ASA)，
∴AD=AB， CD=CB，
∴四边形ABCD是筝形，
∴C选项不符合题意；
D.由∠ADC=∠ABC， BO=DO， 不能证明四边形ABCD是筝形，
∴D选项符合题意；
故D.
【分析】利用全等三角形的判定和性质，根据筝形的判定逐一进行判定即可.
13．【正确答案】A
解：∵OM=ON，CM=CN，OC=OC，
∴△OCM≌△OCN(SSS)
∴∠MOC=∠NOC，
∴OC即是∠AOB的平分线
故A
【分析】利用全等三角形的判定定理（SSS）证明两个三角形全等，再根据全等三角形的性质得出角相等，从而确定角平分线，主要涉及全等三角形的判定和性质的知识点。
14．【正确答案】C
解：∵∠EAD=∠BAC
∴∠BAE=∠BAC−∠EAC=∠EAD−∠EAC=∠CAD
∵AB=AC、AE=AD
∴△BAE≅△CADSAS
∴∠AEB=∠ADC
∵AE=AD
∴∠AED=∠ADE
∵∠ABE=∠ADE+∠EAD、∠ADC=∠ADE+∠BDC
∴∠BAC=∠EAD=∠BDC=56°
∵AB=AC
∴∠ABC=180°−∠BAC2=180°−56°2=62°
故C.
【分析】由于∠EAD=∠BAC，则可得∠BAE=∠CAD，再结合AB=AC，AE=AD可证△BAE≅△CAD，则∠AEB=∠ADC，再利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可得∠EAD=∠BDC，则等量代换得∠BAC=∠BDC，再在等腰三角形ABC中应用内角和定理即可.
15．【正确答案】B
解：由旋转的性质可得：DE=DM，CM=AE=2，∠ADE=∠CDM，∠EDM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠B=90°，AB=BC=6，
∴∠ADE+∠FDC=∠ADC−∠EDF=45°，
∴∠FDC+∠CDM=45°，
即∠MDF=45°，
∴∠EDF=∠MDF，
在△EDF和△MDF中，
DE=DM∠EDF=∠MDFDF=DF
∴△EDF≌△MDFSAS，
∴EF=FM，
设FM=EF=x，
则FC=FM−CM=x−2，
∴BF=BC−FC=8−x，
∵在Rt△EBF中，由勾股定理得：8−x2+42=x2
解得：x=5
故选B．
【分析】根据旋转性质可得DE=DM，CM=AE=2，∠ADE=∠CDM，∠EDM=90°，根据正方形性质可得∠ADC=∠B=90°，AB=BC=6，再根据角之间的关系可得∠EDF=∠MDF，再根据全等三角形判定定理可得△EDF≌△MDFSAS，则EF=FM，设FM=EF=x，根据边之间的关系可得FM，FC，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
16．【正确答案】43
解：∵ABCD是菱形， ∠ABC＝60°，
∴∠ABP=∠CBP=30°，AB=BC=4，
又∵BP=BP，
∴△APB≌△CPB，
∴PA=PC，
过点P 作PE⊥AB于点E，
则BP=2PE，
∴PA+PB+PC=2PC+2PE=2(PC+PE)，
即当C，P，E三点共线时，PA+PB+PC最小值为2CE长，
这时∠BCE=30°，
∴BE=2，
∴CE=BC2−BE2=23，
故PA+PB+PC最小值为43，
故43.
【分析】根据菱形的性质得到△APB≌△CPB，即可得到PA=PC，过点P 作PE⊥AB于点E，根据30°的直角三角形的性质求得BP=2PE，即可得到 PA+PB+PC=2(PC+PE)，即可得到当C，P，E三点共线时，PA+PB+PC最小值为2CE长，然后根据勾股定理解答即可.​​​​​​​
17．【正确答案】73100
解：∵如图①当ADAB=12时，S△DEF=1−3×14=14
如图②当ADAB=13时，S△DEF=1−3×29=13
如图③当ADAB=14时，S△DEF=1−3×316=716
……
∴当ADAB=1n时，S△DEF=1−3×n−1n2=n2−3n+3n2，
∴ 当ADAB=110时，S△DEF=1−3×10−1102=73100.
故73100.
【分析】通过观察当ADAB=1n时，S△DEF=1−3×n−1n2=n2−3n+3n2，从而将n=10代入计算可得答案.
18．【正确答案】25；24
解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AC于点F
∵AB=AC，AE⊥BC
∴∠ABC=∠ACB，BE=CE=12BC=7
∴AE=AC2−CE2=24
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠ABD，∠DAC=∠ACB
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ADB=∠ABD
∴AD=AB
∴AD=AC=25
在△ADF和△CAE中
∠AFD=∠CEA∠DAF=∠ACEAD=CA
∴△ADF和≌△CAE(AAS)
∴DF=AE=24，即点D到AC的距离为24
故25；24
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，再根据等腰三角形三线合一性质可得BE=CE=12BC=7，根据勾股定理可得AE，再根据直线平行性质可得∠ADB=∠ABD，∠DAC=∠ACB，根据角平分线定义可得∠ABD=∠DBC，则∠ADB=∠ABD，根据等角度等边可得AD，再根据全等三角形判定定理可得△ADF和≌△CAE(AAS)，则DF=AE=24，即可求出答案.
19．【正确答案】（1）1+x22
（2）x
解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AM=1+x2
∵点N是AM的中点
∴AN=1+x22
∵EF⊥AM
∴∠ANE=∠ABM=90°
∵∠EAN=∠MAB
∴△AEN∽△ANB
∴AEAM=ANAB，可得AE=1+x22；
故1+x22；
（2）连接AK、MG、CK，如下图：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABK=∠CBK
∵BK=BK
∴△ABK≌△CBK（SAS）
∴AK=CK，∠KAB=∠KCB
∵EF⊥AM，点N是AM的中点
∴AK=MK
∴MK=CK
∴∠KMC=∠KCM
∴∠KMB+∠KAB=180°
∴∠ABM=∠AKM=90°
∵点N是AM的中点
∴KN=12AM=AN
∴ENNK=ENAN
∴△AEN∽△AMB
∴ENAN=BMAB=x
∴ENNK=x
故x.
【分析】（1）根据勾股定理，可得AM的值，进而求出AN的值；根据相似三角形的判定和性质即可求解；
（2）连接AK、MG、CK，构建全等三角形和直角三角形，证明AK=MK=CK，再根据四边形的内角和定理得＜AKM=90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得NK=12AM=AN，然后根据相似三角形的性质求得ENAN=BMAB=x=x，即可得ENNK=x.
20．【正确答案】（1）证明：∵FE⊥AB，∴∠FEB=∠FEA=90°=∠ACB=∠DCF，
在△BDE，△FDC中，
∠BED=∠FCD=90°DE=DC∠BDE=∠FDC，
∴△BDE≌△FDCASA，
∴BD=DF；
（2）解：由（1）可得，△BDE≌△FDCASA，∴DE=DC，BD=DF，
∴DE+DF=DC+BD，即EF=CB，
在Rt△AEF，Rt△ACB中，
∠AEF=∠ACB=90°∠A=∠AEF=CB，
∴Rt△AEF≌Rt△ACBAAS，
∴AE=AC=3cm，AF=AB=5cm，
∴CF=AF−AC=5−3=2cm．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和直角三角形两锐角互余.
（1）通过垂直关系找等角，结合已知DE=DC和对顶角，利用ASA可证△BDE≌△FDC，从而得BD=DF；
（2）根据（1）的全等可得EF=CB，再证Rt△AEF≌Rt△ACBAAS，可得AE=AC=3cm，AF=AB=5cm，由此CF=AF−AC=5−3=2cm即可求解．
（1）证明：∵FE⊥AB，
∴∠FEB=∠FEA=90°=∠ACB=∠DCF，
在△BDE，△FDC中，
∠BED=∠FCD=90°DE=DC∠BDE=∠FDC，
∴△BDE≌△FDCASA，
∴BD=DF；
（2）解：由（1）可得，△BDE≌△FDCASA，
∴DE=DC，BD=DF，
∴DE+DF=DC+BD，即EF=CB，
在Rt△AEF，Rt△ACB中，
∠AEF=∠ACB=90°∠A=∠AEF=CB，
∴Rt△AEF≌Rt△ACBAAS，
∴AE=AC=3cm，AF=AB=5cm，
∴CF=AF−AC=5−3=2cm．
21．【正确答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠EDC，
又∵∠1=∠2，AD=EC，
∴△ABD≌△EDC(AAS)；
（2）解：∵△ABD≌△EDC，
∴CD=BD，ED=AB=4，
∵BE=6，
∴CD=BD=BE+DE=10．
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线的性质．
（1）先利用平行线的性质可证明∠ABD=∠EDC，又知∠1=∠2，AD=EC，再利用AAS可证明△ABD≌△EDC；
（2）根据全等三角形的性质：两三角形全等，对应边相等，可推出CD=BD，ED=AB=4，利用线段的和差运算可求出答案.
22．【正确答案】（1）解：连接EG，如图所示：
∵BGBE=34，
∴设BG=3x，则BE=4x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴GE=BG2+BE2=5x，
∵GF垂直平分AE，
∴AG=GE=5x，
∵正方形边长为4，
∴AG+BG=5x+3x=8x=4，
解得x=12，
∴BG=32；
（2）解：作GH⊥CD于H．则四边形AGHD、BGHC是矩形，
∵BGBE=34，
∴设BG=3x，则BE=4x，GE=5x，AB=AG+BG=8x，
∵GF垂直平分AE，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠GHF=90°，AB=AD=GH，
∵∠BAE+∠AGF=90°，∠AGF+∠FGH=90°，
∴∠BAE=∠FGH，
∴△ABE≌△GHF，
∴FH=BE=4x，
∴CF=CH+FH=7x，DF=AB−CF=3x，
∴DFCF=3x7x=37，即DF:CF的值为3:7．
【分析】（1）连接EG，根据比值设BG=3x，则BE=4x，进而根据正方形的性质得到∠B=90°，根据勾股定理求出GE，再根据垂直平分线的性质得到AG=GE=5x，从而根据正方形得到AG+BG=5x+3x=8x=4，解方程即可；
（2）作GH⊥CD于H．则四边形AGHD、BGHC是矩形，根据比值设BG=3x，则BE=4x，GE=5x，AB=AG+BG=8x，再根据垂直平分线的性质结合正方形的性质得到∠ABE=∠GHF=90°，AB=AD=GH，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ABE≌△GHF得到FH=BE=4x，从而得到CF=CH+FH=7x，DF=AB−CF=3x，相比即可求解。
23．【正确答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠DEB,AE=DE
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）证明：如图，
由（1）知，△AFE≌△DBE，
∴AF＝DB，
∵AD为BC边上的中线，
∴DB＝DC，
∴AF＝CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝12BC＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（3）解：∵D是BC的中点，
∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABC＝12AB•AC＝12×6×8＝24．
【分析】（1）利用平行线的性质得∠AFE＝∠DBE，利用中点定义得AE＝DE，然后可利用AAS证明 △AEF≌△DEB；
（2）利用全等三角形的性质和中点定义可得AF＝CD，结合AF//CD可证得四边形ADCF是平行四边形，再由直角三角形斜边中线的性质得AD=CD，进而根据一组邻边相等得平行四边形时菱形即可得到结论；
（3）利用菱形的对称性得S菱形ADCF＝2S△ADC，再利用等底同高三角形面积相等得2S△ADC＝S△ABC，计算△ABC的面积即可得到菱形ADCF的面积．
24．【正确答案】（1）解：如图1中，过点D作DH⊥BC于点H．
∵AB⊥BC，AD//BC，
∴∠A=∠ABC=90。，
∵∠DHB=90。，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD=BH=a，
∵E是AB的中点，
∴AE=EB，
∵∠A=∠EBF=90。，∠AED=∠FEB，
∴△AED≌△BEF(ASA)，
∴AD=FB=a，
∵DF=DC，DH⊥CF，
∴FH=HC=2a，
∴BC=BH+CH=3a；
（2）解：图形如图2所示．
方法：取MN，MQ，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PQ的延长线于点L，连接JT，延长JT交QP的延长线于点G，
【分析】(1)如图1中，过点D作DH⊥BC于点H，证明BG=AD=a，BH=AD=a，再证明FH=HC=2a可得结论；
(2)取MN，MO，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PO的延长线于点L，连接JT，延长JT交OP的延长线于点G即可.
25．【正确答案】（1）在△ADM和△ADN中，
∵AM=AN，DM=DN，AD=AD，
∴△ADM≌△ADN(SSS)，
∴∠AMD=∠AND；
（2）选择②为条件，①为结论
如图，在AC取点N，使AN=AM，连接DN，
∵AD平分∠MAC，
∴∠DAM=∠DAN，
在△ADM和△ADN中，
∵AM=AN，∠DAM=∠DAN，AD=AD，
∴△ADM≌△ADN(SAS)，
∴DM=DN，∠AMD=∠AND，
∵AC=AM+MD，AC=AN+NC，
∴DM=CN，
∴DN=CN，
∴∠C=∠CDN，
∴∠AMD=∠AND=∠CDN+∠C=2∠C；
选择①为条件，②为结论
如图，在AC取点N，使AN=AM，连接DN，
∵AD平分∠MAC，
∴∠DAM=∠DAN，
在△ADM和△ADN中，
∵AM=AN，∠DAM=∠DAN，AD=AD，
∴△ADM≌△ADN(SAS)，
∴DM=DN，∠AMD=∠AND，
∵∠AMD=2∠C，
∴∠AND=2∠C=∠CDN+∠C，
∴∠CDN=∠C，
∴DN=CN，
∴DM=CN，
∵AC=AN+NC，
∴AC=AM+MD；
（3）如图，连接BD，取AE的中点F，连接BF，
∵∠BAC的平分线AD，
∴DC=BD，
∴BD=CD，
∴∠BCD=∠CBD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴AE=2BF=2AF，
∴∠ABF=∠BAF，
∵∠BAF=∠BCD，
∴∠ABF=∠CBD，
∵AB=BC，
∴AB=BC，
∴△ABF≌△CBD，
∴BF=BD=CD，
∴AE=2CD.
【分析】（1）根据题意直接运用三角形全等的判定与性质证明△ADM≌△ADN(SSS)即可得到∠AMD=∠AND；
（2）选择②为条件，①为结论：在AC取点N，使AN=AM，连接DN，进而根据角平分线的定义得到∠DAM=∠DAN，从二人根据三角形全等的判定与性质证明△ADM≌△ADN(SAS)得到DM=DN，∠AMD=∠AND，从而结合题意进行线段的运算得到DN=CN，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CDN，再根据角的运算即可求解；
选择①为条件，②为结论：在AC取点N，使AN=AM，连接DN，根据角平分线的定义得到∠DAM=∠DAN，从而根据三角形全等的判定与性质证明△ADM≌△ADN(SAS)得到DM=DN，∠AMD=∠AND，再根据题意进行角的运算得到∠CDN=∠C，再进行线段的运算得到DM=CN，等量代换即可求解；
（3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，根据根据角平分线的定义结合弧的关系得到DC=BD，进而得到BD=CD，从而得到∠BCD=∠CBD，根据圆周角定理得到∠ABC=90°，从而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明△ABF≌△CBD得到BF=BD=CD，最后结合题意即可求解。