2025-2026学年下学期江苏扬州大学附中高二数学4月阶段练习1试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期江苏扬州大学附中高二数学4月阶段练习1试卷含答案，共25页。试卷主要包含了04， 若圆 C1， 已知双曲线 C等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(共 8 题，每题 5 分，共 40 分)
1. 有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A. 7 B. 64
C. 12 D. 81
2. 如图，三棱锥 O−ABC 中，点 M ， N 分别是 OA ， BC 的中点，点 G 为线段 MN 上一点，且 MG=2GN ，若记 OA=a ， OB=b ， OC=c ，则 OG 等于( )

A. 13a+13b+13c
B. 13a+13b+16c
C. 16a+13b+13c
D. 16a+16b+13c
3. 若圆 C1:x−52+y−32=9 ，圆 C2:x2+y2−4x+2y−9=0 ，则它们的公切线的条数是( )
A. 1 B.2
C. 3 D. 4
4. 用 0~9 这 10 个数字，组成没有重复数字的三位数，共有( )个

A. 504 B. 648
C. 720 D. 1000
5. 如图，三棱锥 A-BCD 中， AB=AC=AD=2,∠BAD=90∘,∠BAC=60∘ ， 则 AB⋅CD 等于( )
A. -2
B. 2
C. 23
D. −23

6. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成角的余弦值为( )
A. 12 B. 23
C. 33 D. 22
7. 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和. 若 a2+a6=10,a4a8=45 ,设 Tn=1S1+1S2+1S3+⋯+1Sn ，关于 Tn 的值，下列说法正确的是( )
A. Tn 一定不大于 1 B. Tn 可能大于 1,但一定不大于 2
C. Tn 可能大于 2 D. 当 n→+∞ 时, Tn→+∞ ,
8. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0,F 为其右焦点,点 A 在右支上,且 OA=OF , 直线 AF 与双曲线左支的一个交点是 B ，若 AB=2FA ，则双曲线的离心率是( )
A. 13
B. 132
C. 5
D. 52

二、多选题(共 3 题，每题 6 分，共 18 分)
9. 如图为定义在 R 上的函数 fx=ax3+bx2+cx+da≠0 的图象. 则关于它的导函数 y=fτx 的说法正确的是( )
A. f′x 存在对称轴
B. f′x 存在极大值
C. f′x 在 1,+∞ 上单调递增
D. f′x 的单调递减区间为 −∞,−12
10. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目, 下列说法错误的是( )
A. 若任意选择三门课程，选法总数为 AB
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 C21C32
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为 C22−C32
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 C21C32C21
11. 如图，已知矩形 ABCD ， AB=2 ， BC=1 ，将 △ABC 沿矩形的对角线 AC 所在的直线进行翻折，翻折过程中( )


A. 存在某个位置,使得 AC⋅BD=0
B. 存在某个位置,使得 AD⋅BC=0
C. 当平面 ABC⊥ 平面 ACD 时, BD=855
D. 当平面 ABC⊥ 平面 ACD 时, AB⋅CD=−165
三、填空题(共 3 题，每题 5 分，共 15 分)
12. 若函数 fx=x2−cx 在区间 1,3 上的平均变化率为 -1，则 c 等于_____.
13. 如图，四棱锥 S−ABCD 中， SD⊥ 平面 ABCD ， AB//CD ， AD⊥CD ， SD=CD=2AB=2AD=2 ， 则 D 到平面 SBC 的距离是_____.

14. 若数列 an 所有项都不为零,且 an+1=11−an,a2025=2026 ,则 a1a2a3……a2026= _____.
四、解答题(共 5 题，共 77 分)
15. (本小题满分 13 分)
如图，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 E ， F 分别在棱 B1B ， D1D 上，且 BE=13BB1 ， DF=23DD1 .
(1)若 EF=xAB+yAD+zAA1 ，求 x+y+z 的值.
(2)若 AB=AD=2AA1=2 ，且 ∠A1AB=∠A1AD=π3 ， AB⊥AD ，求 A1C 的长；

16. (本小题满分 15 分)
. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1≡1,S3=6 ，正项数列 bn 满足 b1⋅b2⋅b3⋅…⋅bn=2Sn .
(1)求数列 an,bn 的通项公式；
(2)设 cn=anbn ，求数列 cn 的前 n 的和.
17: (本小题满分 15 分)
已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的两个顶点在直线 22x+y=1 上，直线 l 经过椭圆的右焦点 F ,与椭圆交于 A、B 两点,点 P1,22 ( P 不在直线 l 上)
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 AB 的斜率为 12 ，求 △PAB 的面积；
(3)直线 l 与 x=2 交于点 M ，设 PA,PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3 . 若 k1+k2=k3 ， 求直线 l 的方程.
18. (本小题满分 17 分)
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=4,AD=3,AA1=2 ， P 在 A1C 上， Q 在 DD1 上.
(1)求异面线 D1B1 与 BC1 所成角的余弦；
(2)若平面 PAD⊥ 平面 PBC ,求 CPPA1 的值；
(3)求 PQ 的最小值.

19. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=lnx+12a−x2 ,其中 a∈R .
(1)当 a=1 时，求函数 fx 在 1,f1 处的切线方程；
(2)若函数 fx 在定义域上单调递增，求实数 a 的取值范围；
(3)若 fx 在 0,2 上存在两个极值点 x1,x2x10 ,且两根分别是 -2 和 1 . 所以 f′x 存在极小值,对称轴 x=−12 , 单调递减区间为 −∞,−12 ,单调递增区间为 −12,+∞ .
10.【答案】ABD
对于 A ,若任意选择三门课程，选法总数为 C 9,错误;
对于 B ,若物理和化学选一门,有 C 2种方法,其余两门从剩余的 5 门中选,有 C 3种选法; 若物理和化学选两门，有 C 3种选法，剩下一门从剩余的 5 门中选，有 C 3种选法，所以总数为 C↓CS+ C22C31 ，错误；
对于 C ,若物理和历史不能同时选，选法总数为 C 的 −C22⋅C21=C32−C21 (种)，正确；
对于 D ，有 3 种情况:①只选物理且物理和历史不同时选，有 C↓C ；种选法:②选化学，不选物理，有 C1,C3 种选法；③物理与化学都选，有 C22⋅C4 种选法，故总数为 C1⋅C32+C1⋅C32+C22⋅C4= 6+10+4=20 (种),错误.
11.【答案】BCD
在矩形 ABCD 中，分别过点 B 、 D 作 BE⊥AC 、 DF⊥AC ,垂足分别为点 E 、 F . 由已知条件, AB=2,BC=1 . 得 AF=CE=15,EF=35,BE=DF=25 ,


对于 A 选项， AC⋅BD=AC⋅AD−AB=AC⋅AD−AC⋅AB=1−4=−3≠0 ，A 错误； 对于 B 选项， AD⋅BC=AF+FD⋅BE+EC=AF⋅BE+FD⋅BE+AF⋅EC+FD⋅EC , =0+45csθ+15+0 ,

其中 θ 是向量 FD 与 BE 所成的角,也即是二面角 B−AC−D 的平面角,
当 csθ=−14 时, AD⋅BC=0 , B 正确;
当平面 ABC⊥ 平面 ACD 时,如图以点 E 为坐标原点, EC、EB 所在直线分别为 y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则 A0,−45,0、B0,0,25、C0,15,0、D25,−35,0 , BD=25,−35,−25,BD​2=252+352+252=175 ，所以 BD=855 ； 又 AB=0,45,25,CD=25,−45,0 ,则 AB⋅CD=−165 , 故 CD 都正确。
三、填空题(共 3 题，每题 5 分，共 15 分)
12.【答案】 5
fx=x2−cx 在区间 1,3 上的平均变化率为 9−3c−1−c3−1=4−c=−1 ,故 c=5 .
13.【答案】 233
以 D 为坐标原点, DA 所在直线为 x 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz ,则 DS=0,0,2,SC=0,2,−2,BC=−1,1,0,
则平面 SBC 一个法向量为 n=1,1,1
d=DS⋅nn=23=233
14.【答案】 12025
设 a1=a ,则 a2=11−a1=11−a,a3=11−a2=11−11−a=a−1a,a4=11−a3=11−a−1a=a=a1 ,
从而数列 an 是周期为 3 的数列,且 a1a2a3=a⋅11−a⋅a−1a=−1
又 2026=3×675+1 ,
则 a2026=a1,a2025=a3=a1−1a1=1−1a2026 ,即 2026=1−1a2026,a2026=−12025 ,
所以 a1a2a3⋯a2026=−1675a2026=12025
四、解答题(共 5 题，共 77 分)
15.(本小题满分 13 分)
如图，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 E ， F 分别在棱 B1B ， D1D 上，且 BE=13BB1 ， DF =23DD1 .
(1)若 EF=xAB+yAD+zAA ，求 x+y+z 的值.
(2)若 AB=AD=2AA1=2 ，且 ∠A1AB=∠A1AD=π3 ， AB⊥AD ，求 A1C 的长；

【答案】(1) 13 ；(2) 5
(1) ∵EF=AF−AE=AD+DF−AB+BE=AD+23DD1−AB
−13BB1
=−AB+AD+13AA1 ，又 EF=xAB+yAD+zAA1 ，
∴x=−1,y=1,z=13.∴x+y+z=−1+1+13=13 .
AC​2=AB+AD−AA​2=AB+AD−AA,
A,C2=AB+AD−AA12=AB2+AD2+AA12+2AB⋅AD−2AB⋅AA1−2AD⋅AA1
=22+22+1+0−2×2×1×12−−2×2×1×12=5 ,
所以， A1C=5

16.(本小题满分 15 分)
已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1=1 ， S3=6 ，正项数列 bn 满足 b1⋅b2⋅b3⋅…⋅bn=2Sn .
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)设 cn=anbn ，求数列 cn 的前 n 的和.
【答案】( 1 ) an=n,bn=2n ；( 2 ) Tn=2−2+n2n
(1) 1:a1=1,S3=6,∴3a1+3d=6 ,
∴ 数列 an 的公差 d=1,an=n .
由题知, b1⋅b2⋅b3⋅…⋅bn=2Sn, 1b1⋅b2⋅b3⋅…⋅bn−1=2Sn−x001E−1②
①:②得 bn=2Sn−Sn−1=2an=2nn≥2 ，
又 b1=2S1=21=2 ，满足上式，故 bn=2n .
(2) 设 Tn=121+222+323+⋯+n−12n−1+n2n ,
则 12Tn=122+223+324+⋯+n−12n+n2n+1 ,两式相减得:
12Tn=121+122+123+124+⋯+12n−n2n+1
12Tn=121−12n1−12−n2n+1,Tn=2−2+n2n
17. (本小题满分 15 分)
已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的两个顶点在直线 22x+y=1 上，直线 l 经过椭圆的右焦点 F ,与椭圆交于 A、B 两点,点 P1,22 ( P 不在直线 l 上)
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 AB 的斜率为 12 ，求 △PAB 的面积；
(3)直线 l 与 x=2 交于点 M ，设 PA,PB,PM 的斜率分别为 k1 ， k2 ， k3 . 若 k1+k2=k3 ，求直线 l 的方程.
【答案】(1) x22+y2=1 ; (2) 53;x−2y−1=0
(1) 直线 22x+y=1 与坐标轴的交点为 2,0,0,1 ,
∴a=2,b=1 ,故椭圆的标准方程为 x22+y2=1 ;
(2)设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，直线 AB:y=12x−1 .
由 y=12x−1x22+y2=1⇒2x2+x−12−4=0 ,即 3x2−2x−3=0 ,
∴x1+x2=23,x1x2=−1,Δ=−22−4×3×−3=40
AB=x1−x22+y1−y22=523
点 P 到直线 AB 的距离是 d=105
故 △PAB 的面积是 S=12×523×105=53
(3)设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，直线 AB:y=kx−1 ，则 M2,k .
由 y=kx−1x22+y2=1⇒x2+2k2x−12−2=0 ,即 1+2k2−4k2x+2k2−2=0 ,
∴x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2−21+2k2 ,
∴k1+k2=y1−22x1−1+y2−22x2−1=kx1−1−22x1−1+kx2−1−22x2−1
=2k−221x1−1+1x2−1=2k−22⋅x1+x2−2x1x2−x1+x2+1=2k−22⋅4k21+2k2−22k2−21+2k2−4k21+2k2+1
=2k−22×−2−1=2k−2 ,又 k3=22−k1−2=k−22
由 k1+k2=k3 得, k=22 ,
故直线 AB:y=22x−1 。
18. (本小题满分 17 分)
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=4,AD=3,AA1=2 ， P 在 A1C 上， Q 在 DD1 上.
(1)求异面线 D1B1 与 BC1 所成角的余弦；
(2)若平面 PAD⊥ 平面 PBC ，求 CPPA1 的值；
(3)求 PQ 的最小值.

【答案】(1) 91365 ；(2)4；(3) 125
(1)以 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴建立直角坐标系，
则 D1B1=3,4,0,BC1=−3,0,2 ，
csD1B1,BC1=−9+0+05×13=−91365
又异面直线所成角的范围是 0,π2 ,
所以异面线 D1B1 与 A1C 所成角的余弦是 91365
(2)设 CP=λCA1 ，则 DP=DC+CP=DC+λCA1=0,4,0+λ3,−4,2=3λ,4−4λ,2λ
又 DA=3,0,0 ,所以平面 PDA 的一个法向量是 n1=0,1,2λ−2λ ,
又 CB=3,0,0,CA1=3,−4,2 ，故平面 A1BC 的一个法向量是 n2=0,1,2 ，
即平面 PBC 的一个法向量是 n2=0,1,2 ，
又平面 PAD⊥ 平面 PBC ,所以 n1⋅n1=0 ,即 0+1+2λ−2λ×2=0
解得 λ=45 ，此时 CPPA1=4 ；
(3)方法一:设 Q0,0,ℎ ，由(2)知 P3λ,4−4λ,2λ ，
所以 PQ2=3λ2+4−4λ2+ℎ−2λ2=25λ2−32λ+16+ℎ−2λ2
PQ2=25λ−16252+ℎ−2λ2+14425
所以，当且仅当 λ=1625,ℎ=3225 时， PQ 有最小值 125 .
方法二: 问题等价于求点 P 到直线 DD1 距离的最小值,
由 DD1 的方向向量是 a=0,0,1 可得,
d=DP2−DP⋅aa2=3λ2+4−4λ2+2λ2−2λ12=25λ−16252+14425
当且仅当 λ=1625 时, d 有最小值 125 .
方法三: 问题等价于求点 Q 到直线 A1C 的距离的最小值,略。
19.(本小题满分 17 分)
已知函数 fx=lnx+12a−x2 ,其中 a∈R .
(1)当 a=1 时，求函数 fx 在 1,f1 处的切线方程；
(2)若函数 fx 在定义域上单调递增，求实数 a 的取值范围；
(3)若 fx 在 0,2 上存在两个极值点 x1,x2x10 恒成立,
即 x2−ax+1≥0,a≤x+1x ,
所以 a≤2 时, f′x≥0 恒成立,所以 fx 在 0,+∞ 上单调递增.
(3) ∵fx 在 0,2 上有两个极值点 x1,x2 ，
则 f′x=0 ,即 x2−ax+1=0 在 0,2 上有两个不等实数根 x1,x2 ,
4−2a+1>0Δ=a2−4>0,0