2025-2026学年下学期山东实验中学高一数学4月第一次阶段测试试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期山东实验中学高一数学4月第一次阶段测试试卷含答案，共25页。
第 1 卷(共 58 分)
一、选择题(本题包括 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题意) 1. 若复数 z=3−2i ，则复数 z 的虚部为( )
A. -2i B. 2i C. -2 D. 2
2. 在平行四边形 ABCD 中, E 是对角线 AC 的中点,则 DE=
A. 12AB−12AD B. 12AB+12AD
C. 12AB−AD D. 12AB−14AD
3. 若 △ABC ，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 若 a2+b2−c2=ab ，则 csC= ()
A. 32 B. 12 C. −12 D. −32
4. 已知向量 a=2x−1,x,b=1,1 ，若 a⊥b ，则 3a−2b= ( )
A. 2 B. 22 C. 3 D. 10
5. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度, 在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB ，高为 153−15m ,在它们之间的地面上的点 MB,M,D 三点共线) 处测得楼顶 A ,教堂顶 C 的仰角分别是 15∘ 和 60∘ ，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30∘ ，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )


A. 30 m B. 20m C. 303m D. 203 m
6. 在 △ABC 中, AB=4,BC=5,AC=21,D 为边 AC 上一点,且 BD 平分 ∠ABC , 则 BD= ( )
A. 2039 B. 213 C. 92 D. 143
7. 在梯形 ABCD 中， AB//CD ， AB⊥AD ， AB=2CD ，点 M 是线段 BC (含端点)上的动点，设 AM=xAB+yAD ，若 x+y=54 ，则 x−y= ()
A. 0 B. 14 C. 12 D. 1
8. 在 △ABC 中， a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边，已知 c=2 ， ccsA=b−12a ，则 a+b 的取值范围是( )
A. (2.4] B. 2,23 C. 2,6+2 D. 2,2+3
二、多选题(本题包括 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。)
9. 已知复数 z1=4−3i,z2=2+i ，则()
A. z1⋅z2=11−2i B. z2=5
C. z1+z2=z1+z2 D. z1−z2 在复平面内对应的点位于第二象限
10. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，则下列说法正确的是( )
A. 若 sinB>sinC ，则 B>C
B. 若 a=26,b=4,A=π4 ,则三角形有两解
C. 若 △ABC 面积为 S ， S=14a2+b2−c2 ，则 C=π4 .

D. 若 bcsB−ccsC=0 ，则 △ABC 一定为等腰直角三角形
11. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜籼女，深受各阶层人民喜爱、折扇平面图为下图的扇形 COD，其中 ∠COD=2π3,OC=4OA=4 ,动点 P 在 CD⏜ 上(含端点),连接 OP 交扇形 OAB 的弧 AB⏜ 于点 Q ，且 OQ=xOC+yOD ，则下列说法正确的( )。
A. 若 y=x ,则 x+y=1 B. 若 y=2x ,则 OA⋅OP=0
C. AB⋅OP≥−2
D. PA⋅PB≥232
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题(本题包括 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)

12. 若复数 z 满足 z−1+2i=3 ，则 z 的最大值为_____.
13. 如图，在平面四边形 ABCD 中， AB=7,BC=8,CD=43 ， cs∠CAB=17,∠BCD=2π3 ，则 △ACD 的面积是_____.
14. 在 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 ccsA+csB=a+b,c=2 ，则该三角形内切圆面积的最大值为_____.
四、解答题(本题包括 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15. 已知 i 是虚数单位，复数 z=2−3i .
(1)若复数 z1 满足 z⋅z1=3z−z1 ，求 z1 ；
(2)若关于 x 的实系数一元二次方程 x2+mx+n=0 有一个根是 z ，求 m+n 的值.
16. 在 △ABC 中, sin2C=3sinC .
(1)求 ∠C ；
(2)若 b=6 ，且 △ABC 的面积为 63 ，求 △ABC 的周长.

17. 在 △AOB 中, ∠AOB 为直角, OC=14OA,OD=12OB,AD 与 BC 相交于点 M ,连接 OM ,记 OA=a,OB=b .
(1)试用 a ， b 表示向量 OM ；
(2)在线段 AC 上取一点 E ，在线段 BD 上取一点 F ，使得直线 EF 过 M ，设 OE=λOA ， OF=μOB ( λ,μ 均为非零实数)，求 1λ+3μ 的值.
18. 某市公园绿道专为骑行而建, 以绿道为线, 串联上百个生态公园, 一路上树木成荫、 鸟语花香.因为在 C 处有一古塔,其高度为 CE ,市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长 200 米的直线绿道 AB 一侧规划一个三角形区域(古塔的底座忽略不计) ABC 做绿化，如图， 已知 ∠CAB=π3 ，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形.

(1)若在 A 、 B 处分别测得塔顶 E 的仰角为 45∘ 、 30∘ ，求塔高 CE ；
(2)求绿化区域 △ABC 面积的取值范围；
(3)绿化完成后，某游客在绿道 AB 的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从 A 到 D ， 再从 D 到 B . 已知 ∠ADB=π3 ，求游客所走路程的最大值.
19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点, 由法国数学家亨利·布洛卡于 19 世纪提出, 其定义如下: 设 P 是 △ABC 内一点,若 ∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ ,则称点 P 为 △ABC 的布洛

卡点,角 θ 为 △ABC 的布洛卡角. 如图,在 △ABC 中,记它的三个内角分别为 A,B,C ,其对边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S ，点 P 为 △ABC 的布洛卡点，其布洛卡角为 θ ，请完成以下问题:
(1)若 ∠ABC=π2,AC=2,AB=1 ，求 ∠APC 的大小及 tanθ 的值； (2)已知 θ=π6 的条件下，解下列两个问题:
① 若 S=3 ，求 a2+b2+c2 的值；
② 若 a=2 ，求 S .
山东省实验中学 2025 ~2026 学年第二学期高一 第一次阶段性学情检测数学试题答案 2026.04
12. 3+5/5+3 13. 15 14. 3−22π
15. 1z1=52−12i 29
(1)解:由复数 z=2−3i ，可得 z=2+3i ，因为 z⋅z1=3z−z1 ，可得 z1⋅z+1=3z ， 所以 z1=3zz+1=32−3i3−3i=2−3i1−i=2−3i1+i1−i1+i=2−i−3i21−i2=52−12i .
(2)解:因为 2−3i 为实系数方程 x2+mx+n=0 的一根，
所以 2−3i2+m2−3i+n=0 ,整理得 n+2m−5−12+3mi=0 ,
所以 n+2m−5=0 且 12+3m=0 ,解得 m=−4,n=13 .
所以 m+n=−4+13=9 .
16. 1π626+63
( 1 )解:因为 C∈0,π ，则 sinC>0 ，由已知可得 3sinC=2sinCcsC ， 可得 csC=32 ，因此， C=π6 .
(2)解:由三角形的面积公式可得 SΔABC=12absinC=32a=63 ，解得 a=43 .
由余弦定理可得 c2=a2+b2−2abcsC=48+36−2×43×6×32=12,∴c=23 ,
所以， ABC 的周长为 a+b+c=63+6 .
17. 2. (1) OM=17a+37b (2) 7
(1)设 0M=ma+nb,∵C、M、B 三点共线,
∴ 存在非零实数 k 使得 CM=kCB=kOB−OC=kb−k4a ,
∴OM=OC+CM=14a+kb−k4a=1−k4a+kb , ∴m=1−k4n=k ,解得 m=1−n4 ①,
又 ∵D、M、A 三点共线, ∴ 存在非零实数 t 使得 DM=tDA=tOA−OD=ta−t2b .
∴OM=OD+DM=12b+ta−t2b=ta+1−t2b .
又 OM=ma+nb,∴m=tn=1−t2 ,解得 n=1−m2 ②.
由①②解得 m=17,n=37 ，
∴OM=17a+37b ;
(2)由(1)知 OM=17a+37b ，
∵F、M、E 三点共线,
∴ 存在非零实数 ℎ 使得 FM=ℎFE=ℎOE−OF=ℎλa−ℎμb ,
∵FM=OM−OF=17a+37−μb ,所以 ℎλ=17−ℎμ=37−μ
消去 ℎ 得 μ+3λ=7λμ,∴1λ+3μ=7 .
18. (1) 100米. (2) S△ABC∈50003,200003 (3) 400 米
(1)设 CE=x 米,
∵ 依题意可知 CE⊥AC ， CE⊥BC ，
又在 A 、 B 处分别测得塔顶 E 的仰角为 45∘ 、 30∘ 即 ∠EAC=45∘ ， ∠EBC=30∘ ，
∴ 可知 AC=x,BC=3x,∴ 在 ABC 中， ∠CAB=π3 ,
据余弦定理得 BC2=AC2+AB2−2AC⋅ABcs∠CAB ，
即 3x2=x2+2002−200x ,解得: x=100 或 x=−200 (舍去)
∴ 塔高CE 为 100米. 经检验发现三角形 ABC 为直角三角形,不符合条件舍去
(2)设 ∠ACB=α ，则 ∠CBA=2π3−α ，
则在 ABC 中,据正弦定理得 ABsinα=ACsin2π3−α ,故 AC=1003tanα+100 ,
又依题可知, ABC 为锐角三角形,则 0