江苏省扬州大学附属中学2025-2026学年高二上学期4月阶段练习1数学试卷含答案（word版）

这是一份江苏省扬州大学附属中学2025-2026学年高二上学期4月阶段练习1数学试卷含答案（word版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.【答案】 C
2.【答案】 C
3.【答案】 B
4.【答案】 B
【解析】第一步,百位数字共有 9 种可能,个位和十位,共有 A92 种,故所有情形是 9A92=9×9×8=648
5.【答案】A【解析】 ∵CD=AD−AC
∴AB⋅CD=AB⋅AD−AC=AB⋅AD−AB⋅AC=0−2×2×cs60∘=−2
6.【答案】 B
【解析】以 A 为原点, AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为 1,则 A10,0,1,E1,0,12,D0,1,0 ,

∴A1D=0,1,−1,A1E=1,0,−12 .
设平面 A1ED 的法向量为 n1=1,y,z ,
则有 A1D⋅n1=0,A1E⋅n1=0, 即 y−z=0,1−12z=0,∴y=2,z=2,
∴n1=1,2,2 .
∵ 平面 ABCD 的法向量为 n2=0,0,1 ,
∴csn1,n2=23×1=23 ,
即平面 A1ED 与平面 ABCD 夹角的余弦值为 23 .
7.【答案】 B
【解析】设等差数列 an 的公差为 d ,首项为 a1 ,依题意可得,
a2+a6=a1+d+a1+5d=10 ,即 a1+3d=5 ,又 a4a8=a1+3da1+7d=45 ,解得: d=1,a1=2 ,
所以 Sn=na1+nn−12×d=nn+32.1Sn=2nn+3=231n−1n+3
Tn=2311−14+12−15+13−16+14−17+⋯+1n−1n+3
Tn=2311+12+13−1n+1+1n+2+1n+3119−2319+19+19=1
故选 B
8.【答案】A
【解析】如下图所示: 设左焦点为 F1 ,连 F1A,F1B ,由 OA=OF=OF1 知, F1A⊥FA ,
设 AF=t ,则 AB=2t ,从而 F1B=FB−2a=3t−2a,F1A=FA+2a=t+2a ,
在直角 ΔF1AB 中,由 F1B2=F1A2+AB2 得: 3t−2a2=t+2a2+2t2 ,
解得 t=4a ,从而 F1A=FA+2a=6a ,
又 F1F2=F1A2+FA2 ,即 2c2=6a2+4a2 ,
所以 e=13
二、多选题(共 3 题，每题 6 分，共 18 分)
9.【答案】ACD
【解析】由题可知, y=f′x 为二次函数,可知函数 y=fx 的极大值点为 -2,极小值点为 1,可得 a>0 ,且两根分别是 -2 和 1 . 所以 f′x 存在极小值,对称轴 x=−12 , 单调递减区间为 −∞,−12 ,单调递增区间为 −12,+∞ .
10.【答案】ABD
【解析】对于 A ,若任意选择三门课程，选法总数为 C 9,错误;
对于 B ,若物理和化学选一门,有 C 引种方法,其余两门从剩余的 5 门中选,有 C 引种选法; 若物理和化学选两门，有 C 引种选法，剩下一门从剩余的 5 门中选，有 C 引种选法，所以总数为 C2′C3′+ C22C31 ，错误；
对于 C ,若物理和历史不能同时选,选法总数为 C 得 −C22⋅C21=C32−C31 (种),正确;
对于 D ,有 3 种情况:①只选物理且物理和历史不同时选，有 C∤C 的种选法; ②选化学，不选物理,有 C1⋅C 种选法; ③物理与化学都选,有 C2⋅C1 种选法,故总数为 C1⋅C2+C1⋅C3+C2⋅C4= 6+10+4=20 (种),错误.
11.【答案】BCD
【解析】在矩形 ABCD 中,分别过点 B、D 作 BE⊥AC、DF⊥AC ,垂足分别为点 E 、 F . 由已知条件, AB=2,BC=1 . 得 AF=CE=15,EF=35,BE=DF=25 ,
对于 A 选项， AC⋅BD=AC⋅AD−AB=AC⋅AD−AC⋅AB=1−4=−3≠0 ， A 错误；
对于 B 选项， AD⋅BC=AF+FD⋅BE+EC=AF⋅BE+FD⋅BE+AF⋅EC+FD⋅EC ，
=0+45csθ+15+0 ,
其中 θ 是向量 FD 与 BE 所成的角,也即是二面角 B−AC−D 的平面角,
当 csθ=−14 时, AD⋅BC=0, B 正确;
当平面 ABC⊥ 平面 ACD 时,如图以点 E 为坐标原点, EC、EB 所在直线分别为 y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则 A0,−45,0、B0,0,25、C0,15,0、D25,−35,0 , BD=25,−35,−25,BD2=252+352+252=175 ,所以 BD=855 ; 又 AB=0,45,25,CD=25,−45,0 ,则 AB⋅CD=−165 , 故 CD 都正确。
三、填空题(共 3 题，每题 5 分，共 15 分)
12.【答案】5
【解析】 fx=x2−cx 在区间 1,3 上的平均变化率为 9−3c−1−c3−1=4−c=−1 ,故 c=5 .
13.【答案】 233
【解析】以 D 为坐标原点, DA 所在直线为 x 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz ,则 DS=0,0,2,SC=0,2,−2,BC=−1,1,0 ,
则平面 SBC 一个法向量为 n=1,1,1,d=DS⋅nn=23=233
14.【答案】 12025
【解析】设 a1=a ,则 a2=11−a1=11−a,a3=11−a2=11−11−a=a−1a,a4=11−a3=11−a−1a=a=a1 , 从而数列 an 是周期为 3 的数列,且 a1a2a3=a⋅11−a⋅a−1a=−1
又 2026=3×675+1 ,
则 a2026=a1,a2025=a3=a1−1a1=1−1a2026 ,即 2026=1−1a2026,a2026=−12025 ,
所以 a1a2a3⋯a2026=−1675a2026=12025
四、解答题(共 5 题，共 77 分)
15.(本小题满分 13 分)
如图,在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中,点 E,F 分别在棱 B1B,D1D 上,且 BE=13BB1,DF =23DD1 .
(1)若 EF=xAB+yAD+zAA1 ，求 x+y+z 的值.
(2)若 AB=AD=2AA1=2 ，且 ∠A1AB=∠A1AD=π3 ， AB⊥AD ，求 A1C 的长；

【答案】(1) 13;25
【解析】( 1 ) ∵EF=AF−AE=AD+DF−AB+BE=AD+23DD​1−AB −13BB1
=−AB+AD+13AA1 ，又 EF=xAB+yAD+zAA1 ，
∴x=−1,y=1,z=13.∴x+y+z=−1+1+13=13 .
(2) A1C=AC−AA1=AB+AD−AA1 ,
A1C2=AB+AD−AA12=AB2+AD2+AA12+2AB⋅AD−2AB⋅AA1−2AD⋅AA1
=22+22+1+0−2×2×1×12−−2×2×1×12=5 ,
所以， A1C=5

16. (本小题满分 15 分)
已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=1,S3=6 ，正项数列 bn 满足 b1⋅b2⋅b3⋅…⋅bn=2Sn .
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)设 cn=anbn ，求数列 cn 的前 n 的和.
【答案】( 1 ) an=n,bn=2n ；( 2 ) Tn=2−2+n2n
【解析】( 1 ) 1∵a1=1,S3=6,∴3a1+3d=6 ，
∴ 数列 an 的公差 d=1,an=n .
由题知, b1⋅b2⋅b3⋅…⋅bn=2Sn,b1⋅b2⋅b3⋅…⋅bn−1=2Sn⋅​x001E−1②
①:② 得 bn=2Sn−Sn−1=2an=2nn≥2 ，
又 b1=2S1=21=2 ，满足上式，故 bn=2n .
(2) 设 Tn=121+222+323+⋯+n−12n−1+n2n ,
则 12Tn=122+223+324+⋯+n−12n+n2n+1 ,两式相减得:
12Tn=121+122+123+124+⋯+12n−n2n+1
12Tn=121−12n1−12−n2n+1,Tn=2−2+n2n
17. (本小题满分 15 分)
已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的两个顶点在直线 22x+y=1 上，直线 l 经过椭圆的右焦点 F ,与椭圆交于 A、B 两点,点 P1,22 ( P 不在直线 l 上)
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 AB 的斜率为 12 ，求 △PAB 的面积；
(3)直线 l 与 x=2 交于点 M ，设 PA ， PB ， PM 的斜率分别为 k1,k2,k3 . 若 k1+k2=k3 ，求直线 l 的方程.
【答案】 1x22+y2=1;253;x−2y−1=0
【解析】(1) 直线 22x+y=1 与坐标轴的交点为 2,0,0,1 ,
∴a=2,b=1 ,故椭圆的标准方程为 x22+y2=1 ;
(2)设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，直线 AB:y=12x−1 .
由 y=12x−1x22+y2=1⇒2x2+x−12−4=0 ,即 3x2−2x−3=0 ,
∴x1+x2=23,x1x2=−1,Δ=−22−4×3×−3=40
AB=x1−x22+y1−y22=523
点 P 到直线 AB 的距离是 d=105
故 △PAB 的面积是 S=12×523×105=53
(3)设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，直线 AB:y=kx−1 ，则 M2,k .
由 y=kx−1x22+y2=1⇒x2+2k2x−12−2=0 ,即 1+2k2−4k2x+2k2−2=0 ,
∴x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2−21+2k2 ,
∴k1+k2=y1−22x1−1+y2−22x2−1=kx1−1−22x1−1+kx2−1−22x2−1
=2k−221x1−1+1x2−1=2k−22⋅x1+x2−2x1x2−x1+x2+1=2k−22⋅4k21+2k2−22k2−21+2k2−4k21+2k2+1
=2k−22×−2−1=2k−2 ,又 k3=22−k1−2=k−22
由 k1+k2=k3 得, k=22 ,
故直线 AB:y=22x−1 。
18. (本小题满分 17 分)
如图,长方体 ABCD−A1B1C1D1 中, AB=4,AD=3,AA1=2.P 在 A1C 上, Q 在 DD1 上.
(1)求异面线 D1B1 与 BC1 所成角的余弦;
(2)若平面 PAD⊥ 平面 PBC ，求 CPPA1 的值；
(3)求 PQ 的最小值.

【答案】(1) 91365;24;3125
【解析】
(1)以 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴建立直角坐标系，
则 D1B1=3,4,0,BC1=−3,0,2 ，
csD1B1,BC1=−9+0+05×13=−91365
又异面直线所成角的范围是 0,π2 ,
所以异面线 D1B1 与 A1C 所成角的余弦是 91365
(2)设 CP=λCA1 ，则 DP=DC+CP=DC+λCA1=0,4,0+λ3,−4,2=3λ,4−4λ,2λ 又 DA=3,0,0 ,所以平面 PDA 的一个法向量是 n1=0,1,2λ−2λ ,
又 CB=3,0,0,CA1=3,−4,2 ,故平面 A1BC 的一个法向量是 n2=0,1,2 ,
即平面 PBC 的一个法向量是 n2=0,1,2 ,
又平面 PAD⊥ 平面 PBC ,所以 n1⋅n1=0 ,即 0+1+2λ−2λ×2=0
解得 λ=45 ，此时 CPPA1=4 ；
(3)方法一:设 Q0,0,ℎ ，由(2)知 P3λ,4−4λ,2λ ，
所以 PQ2=3λ2+4−4λ2+ℎ−2λ2=25λ2−32λ+16+ℎ−2λ2
PQ2=25λ−16252+ℎ−2λ2+14425
所以,当且仅当 λ=1625,ℎ=3225 时, PQ 有最小值 125 .
方法二: 问题等价于求点 P 到直线 DD1 距离的最小值,
由 DD1 的方向向量是 a=0,0,1 可得,
d=DP2−DP⋅aa2=3λ2+4−4λ2+2λ2−2λ12=25λ−16252+14425
当且仅当 λ=1625 时, d 有最小值 125 .
方法三: 问题等价于求点 Q 到直线 A1C 的距离的最小值,略。
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=lnx+12a−x2 ,其中 a∈R .
(1)当 a=1 时，求函数 fx 在 1,f1 处的切线方程；
(2)若函数 fx 在定义域上单调递增，求实数 a 的取值范围；
(3)若 fx 在 0,2 上存在两个极值点 x1,x2x10 恒成立,
即 x2−ax+1≥0,a≤x+1x ,
所以 a≤2 时, f′x≥0 恒成立,所以 fx 在 0,+∞ 上单调递增.
(3) ∵fx 在 0,2 上有两个极值点 x1,x2 ，
则 f′x=0 ,即 x2−ax+1=0 在 0,2 上有两个不等实数根 x1,x2 ,
4−2a+1>0Δ=a2−4>0,0