山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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2024.4
说明：本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.
第I卷（共58分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，其中为虚数为单位，则=
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C. 棱锥的所有侧面都是三角形
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
3. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. －1B. 0C. 1D. 2
4. 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为，则的长为（ ）
A. B. C. 1D.
5. 在中，若，则这个三角形是（ ）
A. 等腰三角形或直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
6. 在等腰直角中，斜边为的中点，为的中点.将线段绕着点旋转得到线段，则（ ）
A. -2B. C. D. -1
7. 如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：

①与是异面直线；
②相交于一点；
③；
④平面.
其中错误个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 设是的垂心，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若复数满足，则（ ）
A. 为纯虚数B.
C D.
10. 已知直三棱柱中，，点分别为棱中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直三棱柱外接球的半径为2
B. 三棱锥体积与的位置无关
C. 若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形
D. 一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为
11. 已知点是三角形的边上的点，且，以下结论正确的有（ ）
A. 若点是的中点，，则
B. 若平分，则
C. 三角形外接圆面积最大值为
D. 若，且是的中点，则一定是直角
第II卷（共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正三棱柱的高与底面边长均为3，则该正三棱柱外接球的体积为__________.
13. 在中，角的对边分别为，且，则的面积为__________.
14. 已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上投影向量的模的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的证明过程及验算步骤.
15. 已知是复数，求
（1）
（2）若均为实数，且复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.
16. 如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点.
（1）若，求和的值；
（2）若，求的最小值.
17. 在中，对应的边分别为，已知向量,且为边上一点，,且.
（1）求；
（2）求面积最大值.
18. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求圆锥的内切球的表面积；
（3）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.
19. 在中，对应的边分别为.
（1）求；
（2）奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：；
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.