2024-2025学年山东省实验中学高一（下）段考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省实验中学高一（下）段考数学试卷（3月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数z满足z⋅(1−i)=2i，则复数z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.如图，四边形ABCD中，AB=DC，则必有( )
A. AD=CBB. OA=OCC. AC=DBD. DO=OB
3.已知|a|=8，与a同向的单位向量为e，|b|=4，a，b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为( )
A. 4eB. −4eC. 2eD. −2e
4.已知a和b是两个不共线的向量，若AB=a+mb，BC=5a+4b，DC=−a−2b，且A，B，D三点共线，则实数m的值为( )
A. 12B. 1C. −12D. −1
5.在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A. a=4，b=5，c=6B. a= 3，b=2，A=45°
C. a=10，A=45°，B=70°D. a=3，b=2，A=60°
6.已知向量a，b满足|a|=2|b|=2，且|2a−b|= 15，则|b−a|=( )
A. 1B. 2C. 2D. 3
7.如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为2π3,P是扇形内部(包括边界)任意一点，若OP=xOA+yOB，那么2(x+y)的最大值是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 2 3
8.在锐角△ABC中，若b2+c2=2a2，则csA的取值范围是( )
A. [12, 33)B. [12, 22)C. [12,1)D. [12,2+ 24)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=( 3,−1)，b=(2,0)，则下列说法正确的是( )
A. |a|=|b|B. a与b的夹角为π3
C. 若a⊥(a+λb)，则λ=−2 33D. 存在c≠0，使得a⋅c=b⋅c
10.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征.正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系(在如图所示的正五角星中，多边形ABCDE为正五边形，PTAP= 5−12≈0.616).则( )
A. CQ+TP=DS
B. ES−RQ=PA
C. AT+RS= 5−12RQ
D. BP−TS= 5+12RS
11.已知三角形ABC满足AB=3，AC=4，则下列结论正确的是( )
A. 若点O为△ABC的重心，则AO=12AB+12AC
B. 若点O为△ABC的外心，则AO⋅BC=72
C. 若点O为△ABC的垂心，则AO=45AB+35AC
D. 若点O为△ABC的内心，则AO=λ(13AB+14AC)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=b=1，c= 3，则△ABC的外接圆面积为______．
13.在△ABC中，AB=2，AC=6，∠ABC=π6，P，Q是BC边上的两个动点，且PQ=4，则AP⋅QA的最大值为______．
14.如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=3，∠BAC=π3，点M是边AB的中点，且AC=3AN，直线CM与BN相交于点P，则AP⋅BC= ______．
四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=1+i，z=(m2+m−6)+(m2−3m+2)i(m∈R)．
(1)当m取何值时，z为纯虚数？
(2)当m=3时，求|z⋅z1|的值．
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,2),b=(−3,1)．
(1)求a+3b；
(2)设a,b的夹角为θ，求csθ的值；
(3)若向量a+kb与a−kb互相垂直，求k的值．
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且ab=csA2−csB．
(1)求ac；
(2)若csC=14，△ABC的面积为 15，求△ABC的周长．
18.(本小题17分)
如图，在直角梯形OABC中，OA/​/CB，OA⊥OC，OA=2BC=2OC，M为AB上靠近A的三等分点，OM交AC于N，D为线段BC上的一个动点．
(1)用OA和OC表示OM；
(2)求ONMN；
(3)设OB=λCA+μOD，求λ⋅μ的取值范围．
19.(本小题12分)
十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔⋅德⋅费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且csA2csB=sin(C−π6)，点P为△ABC的费马点．
(1)求角B；
(2)若b2−(a−c)2=6，求PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC的值；
(3)若b=1，求|PA|+|PC|−|PB|的取值范围．
1.B
2.D
3.D
4.B
5.B
6.B
7.C
8.C
9.ACD
10.AD
11.BD
12.π
13.3
14.−175
15.解：(1)∵z为纯虚数，∴m2+m−6=0m2−3m+2≠0，∴m=−3．
(2)当m=3时，z=6+2i，
∴z⋅z1=(6+2i)(1+i)=4+8i，
∴|z⋅z1|= 42+82=4 5．
16.解：(1)因为a=(1,2),b=(−3,1)，
所以a+3b=(1,2)+(−9,3)=(−8,5)；
(2)a,b的夹角为θ，
则csθ=a⋅b|a|⋅|b|=1×(−3)+2×1 1+4× 9+1=− 210；
(3)向量a+kb与a−kb互相垂直，
则a2−k2b2=0，
又a2=5，b2=10，
则5−10k2=0，
解得k=± 22．
17.
18.解：(1)依题意CB=12OA,AM=13AB，
∴AM=13(OB−OA)=13(OC+CB)−13OA=13OC+16OA−13OA=13OC−16OA，
∴OM=OA+AM=OA+(13OC−16OA)=56OA+13OC；
(2)因OM交AC于N，由(1)知ON=tOM=t(56OA+13OC)=5t6OA+t3OC，
因为N，A，C共线，所以5t6+t3=1，则t=67，
所以ON=6NM，所以|ON||MN|=6，即ONMN=6；
(3)因D是线段BC上动点，则令CD=xOA(0≤x≤12)，
OB=λCA+μOD=λ(OA−OC)+μ(OC+CD)=(λ+μx)OA+(μ−λ)OC，
由已知OB=OC+CB=OC+12OA，
又OC,OA不共线，则有μ−λ=1λ+μx=12，得λ=μ−1μ=32+2x，
因为0≤x≤12⇒1≤x+1≤32⇒1≤μ≤32，
所以λ⋅μ=μ(μ−1)=(μ−12)2−14，且在μ∈[1,32]上递增，
所以μ=1,(λ⋅μ)min=0,μ=32,(λ⋅μ)max=34，故λ⋅μ的取值范围是[0,34]．
19.解(1)∵csA2csB=sin(C−π6)= 32sinC−12csC，
∴csA= 3csBsinC−csBcsC，
∴cs[π−(B+C)]= 3csBsinC−csBcsC，
∴−(csBcsC−sinBsinC)= 3csBsinC−csBcsC，
又sinC>0，∴sinB= 3csB，
.∴tanB= 3，B是三角形ABC内角，∴B=60°，
(2)∵B=60°，∴csB=a2+c2−b22ac=12，
∴a2+c2−b2=ac，又b2−(a−c)2=b2−(a2+c2)+2ac=6，∴ac=6，
设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z，

∵B=60°，∴三角形ABC的三个角均小于120°，
∴根据题意可得∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
又S△ApB+S△BPC+S△APC=S△ABC，
∴12xy⋅ 32+12yz⋅ 32+12xz⋅ 32=12ac⋅ 32，
∴xy+yz+xz=ac=6，
∴PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC=xy⋅(−12)+yz⋅(−12)+xz⋅(−12)=−12(xy+yz+xz)=−3．
(3)由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，
∴12xy⋅ 32+12yz⋅ 32+12xz⋅ 32=12ac⋅ 32，
∴xy+yz+xz=ac，
由余弦定理可得b2=x2+z2−2xzcs120°=x2+z2+xz①，
同理可得c2=x2+y2+xy②，a2=z2+y2+yz③，
①②③相加得a2+b2+c2=2x2+2y2+2z2+xy+xz+yz=2x2+2y2+2z2+ac，
又a2+c2−b2=ac，b=1，所以x2+y2+z2=1，
∵B=60°，∠APB=120°，∴∠ABP+∠CBP=60°，∠ABP+∠BAP=60°，
所以∠BAP=∠CBP，又∠APB=∠BPC=120°，
故△ABP∽△BCP，所以xy=yz⇒y2=zx，
故x2+xz+z2=1，即(x+z)2−xz=1，
∴xz=(x+z)2−1≤(x+z)24，
∴x+z≤ 43，当且仅当x=z时等号成立，
又x+z>b=1，所以1