重庆市顶级名校2025-2026学年高一下学期3月检测试题 数学（含解析）

这是一份重庆市顶级名校2025-2026学年高一下学期3月检测试题 数学（含解析），共35页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知是定义在上的函数，且满足；则的值为（ ）
A．－5B．C．－1D．1
6．在中，，，，为边AC上一点，且BD平分，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．D．
8．已知函数，若是方程的解，则不等式成立的最小整数为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数一定过第一象限
B．函数且的图象过点且不与直线相交
C．函数的定义域为
D．，当时，恒有
10．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数最大值为2
C．将函数的图像向左平移个单位后得到的函数为偶函数
D．函数的图象关于直线对称
11．平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，
C．D．
三、填空题
12．已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______．
13．重庆“云端之眼”观景台位于解放碑联合国际写字楼第六十七层，是各地游客来重庆旅游的网红打卡地．如图，一架无人机在点处观测到“云端之眼”顶端的仰角为，地面上点的俯角是，若无人机离地面的高度为，，则“云端之眼”的高度为______．
14．已知平面向量，定义线性变换，且满足，则的最小值为______．
四、解答题
15．在中，，点在边上，且．
(1)求和；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
16．已知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为．
(1)求的值和在区间上的单调递减区间；
(2)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
17．已知是定义域为的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)用定义证明在上是增函数：
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
(1)求角；
(2)若，的周长为，求的面积；
(3)若，过点在所在平面内作，且，求线段的最大值．
19．人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量之间的相似度的一种定义为．
(1)菱形ABCD中，，动点在直线CD上．
（ⅰ）当时，求；
（ⅱ）求的取值范围．
(2)在信息处理的过程中，有时为了增加的相似度，会选取合适的正实数，将调整为后再纳入模型计算，证明：对任意不共线的向量，及任意正实数，总有．
参考答案
1．B
【详解】由，，得，
所以.
2．C
【详解】向量在上的投影向量为.
3．A
【详解】由二倍角余弦公式可知，
即.
4．B
【详解】因为是的中点，，
因为，所以，又，
由题意得，故B正确.
5．C
【详解】令，则，因为是奇函数，所以.
因为，所以，所以，
所以.
6．B
【详解】
因为BD平分，所以，
又因为，所以，，
在中，,
在中，，
所以．
7．D
解：由，，又，故，所以.
因为，所以，又三点共线，
所以.
因此，当，时，，
当且仅当，即时取等号，所以最小值为.
8．B
【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
由，所以，
因为是方程的解，则，可得，
构造函数，其中，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，所以函数的零点在区间上，
即，且，即，所以，
所以，
构造函数，则函数在上为减函数，且，，
所以，故满足的最小整数为.
9．ABD
【详解】对A：因为的图象必过点，
所以函数一定过第一象限.故A正确；
对B：因为，所以函数的图象过定点，
又，所以，所以函数的图象 不与直线相交.故B正确；
对C：由，
所以函数的定义域为，故C错误；
对D：根据指数函数，一次函数和对数函数的增长速度可得，对，
当足够大时，必定成立，故D正确.
10．AB
【详解】，则，可化为，所以，
对A，函数的最小正周期，A对；
对B，的值域为，最大值是2，B对；
对C，将函数的图像向左平移个单位后得到的图像，该函数是奇函数，不是偶函数，C错；
对D，因为，所以是图像的对称中心，的图象不关于直线对称，D错.
11．ACD
【详解】对于A，，，所以，A正确；
对于B，，当时，，B错误；
对于C，，
因为，
所以，
因为向量夹角范围为，所以，C正确；
对于D，，
所以
，
令，则，
所以，故，D正确．
12．
【详解】由向量共线，根据平面向量共线定理可得，
化简得：，
所以，解得，
因此.
13．
【详解】由题意知，，则，
在中，，
故，则，
在中，，
故.
14．
【详解】由题意得，所求的.
由，
令，则，解得，
则，
代入，得，
当且仅当且时等号成立，此时所求最小值为.
15．(1)，
(2)
【详解】（1）由平面向量数量积定义：.
代入，，， 得.
因为点在边上，且,所以是中点，所以.
则 .
故.
（2），
所以 .
.
设向量与的夹角为，则.
16．(1)
(2)
【详解】（1）
由相邻对称轴间距为，得周期.
由，且得，即.
令， 解得.
结合定义域，对整数分类讨论：
取时，得区间，该区间完全包含在内，符合要求；
取时，得区间，与无交集，舍去；
取时，得区间，与无交集，舍去。
同理易得取非零整数时， 单调区间均与无交集.
综上所述，在上的单调递减区间为.
（2）方程可化为， 即函数与直线的图象有个不同交点，时， .
令， 在有最大值，最小值.
故.
如图所示：
当时，一个函数值对应个不同；
当或时，一个函数值对应个.
要使有个不等实根，需满足， 解得.
17．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由定义在上的奇函数，得，解得，
此时，，
因此函数是奇函数，所以.
（2），，
由函数是上的增函数，得，，
则，即，所以在上是增函数.
（3）由（1）得，由（2）知函数在上是增函数
则，
依题意，对任意，不等式恒成立，
，
当且仅当，即时取等号，则，
所以实数的取值范围是.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，，且，
则，
则由正弦定理得，
又在锐角中，，
则,即，解得．
（2）由，的周长为，则，
又由余弦定理有，
即，得，
所以的面积为．
（3）在中，，不妨设，则，，
由正弦定理有，
得，，
在锐角中，由，则，
由正弦定理有，得，
所以
，
又，则，则，所以，
故，即线段的最大值为．
19．(1)（ⅰ）；（ⅱ）
(2)证明见解析
【详解】（1）如图：以为原点，建立平面直角坐标系，不妨设（）.
则，，所以
（ⅰ）因为点在直线CD上，当时，，所以.
所以，，，
所以.
（ⅱ）因为点在直线CD上，可设，则.
所以，，.
所以.
设，由，所以函数为奇函数.
当时，（当且仅当时取等号）.
所以.
所以.
（2）因为，
，.
所以.
设，，，.
则，.
问题转化为证明，即.
只需证.
因为不共线，所以，
所以，即成立.
所以成立.