2024-2025学年重庆市高一下册3月月考数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年重庆市高一下册3月月考数学质量检测试题（附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】B
【分析】利用平面向量基底的定义，逐项判断即得.
【详解】对于A，，A不是；
对于B，由，得不共线，B是；
对于C，，向量共线，C不是；
对于D，，向量共线，D不是.
故选：B
2. 已知，，，则（ ）
A. A、B、D三点共线 B. A、B、C三点共线
C. B、C、D三点共线D. A、C、D三点共线
【正确答案】A
【分析】利用向量的加法法则，得到，从而可得结论.
【详解】，，，
，，与共线，
因为两向量有一个公共点B，、B、D三点共线，故A正确．
由，，可得，
所以不存在使得，故A、B、C三点不共线，故B不正确；
由，，可得，
所以不存在使，故B、C、D三点不共线，故C不正确；
因为，，
所以，
又，可得，
所以不存在使，故A、C、D三点不共线，故D不正确；
故选：A.
3. 已知方向相同，且，则等于（ ）
A. 16B. 256C. 8D. 64
【正确答案】A
【分析】根据向量的模的计算公式计算即得.
【详解】因
,则.
故选：A.
4. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据在方向上的投影向量为即可求解.
【详解】，，
所以在方向上的投影向量为
故选：B.
5. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A. B. C. 2D.
【正确答案】B
【分析】直接利用正弦定理，结合题中所给的条件，求得结果.
【详解】根据正弦定理可得，
即，解得，
故选：B.
该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用正弦定理解三角形，属于基础题目.
6. 在中，为边上的中线，，则（ ）
A. B.
C D.
【正确答案】A
【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选：A.
7. 如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】方法1，将作为与夹角，利用向量知识结合题目数据可得答案；
方法2，如图建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积坐标表示完成运算；
方法3，利用余弦定理计算可得答案.
【详解】法一：分别是的中点，.
与的夹角等于，
，
则；
法二：以为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则
，
则
；
法三：在中，由余弦定理，
又因为P为的重心，则，
在中再由余弦定理，
在中由余弦定理，
在中，由余弦定理，则
.
故选：D.
8. 在中，内角A，，的对边分别为，，，已知，则（ ）
A. 4049B. 4048C. 4047D. 4046
【正确答案】A
【分析】根据同角的三角函数关系结合两角和的正弦公式化简可得，利用正余弦定理角化边可得，即可得答案.
【详解】在中，，可得，
即，故，
即，所以，
所以，即，所以
故.
故选：A.
二、多选题
9. 已知向量和实数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若且，则当时，一定有与共线
C. 若
D. 若且，则
【正确答案】BC
【分析】根据平面向量的共线定理、向量数乘和向量数量积的定义逐项分析判断.
【详解】对于A选项：若，则或或，A错误；
对于B选项：根据共线定理，若且，则当且仅当有唯一实数，使得时，一定有与共线，B正确；
对于C选项：当与均不是零向量时，由，可得，即，
故与的夹角为或，可得；
当与至少有一个是零向量时，显然；
综上所述：，C正确；
对于D选项：∵且，则，
∴，但不能确定，D错误．
故选：BC．
10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）.
A.
B. 的图象关于点对称
C. 在单调递增
D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
【正确答案】ACD
【分析】先根据图象求得的解析式，然后根据对称性、单调性、图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】根据图象可知，即，
所以，解得，所以A选项正确，
此时，
将代入得，即，
所以，解得，
又，所以，，
B选项，，所以B选项错误.
C选项，由得，，
是正弦函数的单调递增区间，所以在单调递增，C选项正确.
D选项，将函数的图象向右平移个单位得到
，
所以D选项正确.
故选：ACD
11. 若的内角的对边分别是，外接圆的半径为，若，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】对于A项，由边化角计算即可，对于B项，由切化弦计算即可，对于C项，及计算即可，对于D项，由与可判断范围，进而可得.
【详解】对于A项，，则，即，故A项正确；
对于B项，，则，故B项不成立；
对于C项，因为，
所以，故C项正确；
对于D项，，
由，可知均为锐角，所以，
又，所以，
所以，
所以，故D项正确.
故选：ABD.
三、填空题
12. 已知向量，，若，则________.
【正确答案】0
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得.
【详解】，由于，
所以.
故0
13. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且，则三角形的形状为________.
【正确答案】等腰三角形
【分析】先根据余弦定理和三角形面积公式对进行化简，得出角的值，再根据向量条件判断三角形的形状.
【详解】由余弦定理，移项可得，
由三角形的面积公式得.
将上述两个公式代入可得：
，所以.
所以，又因为，所以.
表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量.
以这两个单位向量为邻边作平行四边形，
则其对角线平分（菱形的对角线平分一组对角），
所以表示的角平分线方向的向量.
因为，所以的角平分线垂直于，
根据等腰三角形三线合一的性质可知.
所以是等腰三角形，又因为，所以，.
综上，三角形的形状为等腰三角形.
故等腰三角形
14. 已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为__________.
【正确答案】
【分析】延长至，使得，化简所给条件可知三点共线，取线段的中点，连接，利用向量的加法减法及数量积运算化简，转化为求的最小值.
【详解】依题意，解得，延长至，使得，如图，
因为，
所以点在直线上，取线段的中点，连接，
则，
显然当时，有最小值，
又易知，，所以的最小值为，所以，
故的最小值为，
故．
四、解答题
15. 已知，，且与的夹角为120°，求：
（1）；
（2）若向量与平行，求实数的值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用平方的方法来求得正确答案.
（2）根据向量平行列方程来求得.
【小问1详解】
，
所以.
【小问2详解】
由于向量与平行，
所以存在实数，使得，
所以，解得.
16. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理化简得到，求得，即可求解；
（2）由余弦定理列出方程求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理，可得，
即，
化简得，
因为，可得，所以，
因为，所以.
【小问2详解】
因为且，
由余弦定理，可得，
即，解得或（舍去），
故的面积为.
17. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.
（1）求点到点的距离；
（2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
【正确答案】（1）
（2）2小时
【分析】（1）中利用正弦定理，求出；
（2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间．
【小问1详解】
由题意知海里，
，
，
在中，由正弦定理得，
，
（海里）.
【小问2详解】
在中，，
（海里），由余弦定理得
，
（海里），则需要的时间（小时）．
答：救援船到达点需要2小时．
18. 在平面四边形中，，且.
（1）中，设角、、的对边分别为、、，若.
①当时，求的值；
②当时，求ac的最大值.
（2）若，当变化时，求长度的最大值.
【正确答案】（1）①16；②
（2）
【分析】（1）①根据正弦定理结合三角恒等变换与化简即可；
②作于，根据几何关系可得，再根据基本不等式求解即可；
（2）设，由余弦定理可得，由正弦定理可得，再根据余弦定理可得，进而可得长度的最大值.
【小问1详解】
①当时，由正弦定理可得，故
.
②当时，因为，故均为锐角，作于.
由图可得，，由可得
，故，则
.
.
故
，当且仅当，
即时取等号，故的最大值为
【小问2详解】
设，由余弦定理，即.
由正弦定理可得.
则，
.
故当时，取最大值，即最大值为.
19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
（1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
（2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；
（3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）根据“伴随函数”定义可得，可得值域；
（2）利用向量的坐标运算即可求得；
（3）由余弦定理并利用二次函数性质即可得的取值范围.
【小问1详解】
函数的“源向量”为，
所以，，
则，则当时，
则当时，，
所以函数的值域为
【小问2详解】
因为，则，则，
又，所以），
且，从而，
，
则
；
因此可得为定值.
【小问3详解】
如下图所示：
函数的“源向量”为，
则，则
则
则又，
即，
所以，
因为，即，当且仅当时取等号，
又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0，
综上所述，
令，则
从而，其中，
所以，
即取值范围．
关键点点睛：本题关键在于理解“源向量”和“伴随函数”的定义，并能写出“源向量”的伴随函数以及某函数的“源向量”，再根据三角函数性质、平面向量运算法则求得结果.