湖北省武昌市重点高中2025-2026学年高一下学期3月月考试题 数学（含解析）

这是一份湖北省武昌市重点高中2025-2026学年高一下学期3月月考试题 数学（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知一个扇形的弧长为6，面积为9，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．2
2．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
3．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
5．如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．的值为（ ）
A．B．C．1D．
7．已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
二、多选题
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知、均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得
B．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C．若且，则
D．若平面内有四个点、、、，则必有
10．已知，下列说法正确的是（ ）
A．若，在区间上单调
B．若关于直线轴对称，则
C．若，且为的一个对称中心，则
D．若，在区间上的最大值与最小值的差的最大值是
11．已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的单位向量，，记，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O，A，B，C四点在同一个圆上
B．若，则的最大值为2
C．若，则的最大值为
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．已知，则________
13．已知点为所在平面内一点，若，则_______.
14．如图，在中，已知，，，直线过的重心，且与边、分别交于、两点，则的最小值为________．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象，若，求函数在上的取值范围.
16．如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.

(1)若，求的值；
(2)求的取值范围.
17．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表：
（1）请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米.
①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
②如果该船是货船，在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于台风等天气原因该船必须在10:00之前离开该港口，为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口，那么该船在什么整点时刻必须停止卸货（忽略出港所需时间）？
18．如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数
(1)若到弦的距离是，
（i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值；
（ii）求的取值范围；
(2)若，记向量和向量的夹角为，求的最小值.
19．已知函数的部分图象如图所示，其中为坐标原点，是的图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，均是的图象与轴的交点．
(1)求的长度及的值；
(2)设点的横坐标为，若对任意的，任意的，恒成立，求的取值范围；
(3)若函数，且关于的方程在上恰有3个不相等的解，求的取值范围．
时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
参考答案
1．D
【详解】设扇形的圆心角为，半径为，
因为扇形的弧长为6，面积为9，
所以，解得，
所以这个扇形圆心角的弧度数为
故选：D
2．D
【详解】由，，可得，
，且，
则，，
则向量在向量上的投影向量为：
，
故向量在向量上的投影向量的坐标为.
故选：D.
3．C
【详解】的图象向右平移个单位长度，
可得，
因为函数的对称中心为，
若平移后的图象关于原点对称，
则，得，
因为，故当时，取得最小值.
故选：C.
4．A
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
由数量积的几何意义可知：等于与在上的投影的乘积，
故当在上的投影最大时，数量积最大，此时点在以为圆心的圆的最上端处，此时投影为，故数量积为，
故当在上的投影最小时，数量积最小，此时点在以为圆心的圆的最下端处，此时投影为，故数量积为,
故，
故选：A

5．B
【详解】因为所以
因为三点共线，
所以即,
又因为，
所以,且为不共线的非零向量，
所以，解得，
所以，
所以
.
故选：B.
6．A
【详解】.
故选：A
7．C
【详解】当，，
函数（）在上单调递增，
所以，所以
当，，
且，
在上有且仅有1个零点，
所以或，
所以或，
综上的取值范围为，
故选：C
8．B
【详解】平方去绝对值号，由，则，
根据向量与的条件可得，
化简可得，
令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以.
观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解，
即，
又，
则的最小值为
9．AD
【详解】对于A选项，已知、均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得，A对；
对于B选项，，
若与的夹角为锐角，则，解得，
且与不共线，则，解得，
所以，实数的取值范围是，B错；
对于C选项，且，则，则，C错；
对于D选项，，故，D对.
故选：AD.
10．BCD
【详解】对于A：当时，，
因为，所以，
因为函数在上不单调，
所以函数在区间上不单调.故A错误；
对于B：若关于直线轴对称，故，
所以，故，此时，
而，故确为对称轴，故B正确.
对于C：时，为的一个对称中心，
所以，故，
所以，故C正确；
对D：当时，，
其中，，且，
当时，，
由正弦函数的图像得，在同一单调区间上时最大值与最小值的差才可能最大，
即求与的差的绝对值何时最大，
令
，
当即，时
，.故D正确.
11．AD
【详解】对于A选项，如图，若，则，所以，又，所以，所以O，A，B，C四点在同一个圆上，故A正确；
对于B选项，若，由A选项知，O，A，B，C四点在同一个圆上，
又，则其长度为圆上弦的长度.当线段为该圆的直径时，最大，且最大值等于，故B错误；
对于C选项，由题可得A，B，C均在以为圆心、1为半径的圆上，
设，又，则
.其中.
则
，
当时取等号.故C错误.
对于D选项，由C选项分析结合可知.
又，则
，
则由重要不等式有：.
得，当且仅当时取等号.故D正确.
故选：AD
12．
【详解】令，则，且；
代入目标表达式：；
利用诱导公式，得：；
用二倍角公式，代入，则.
故答案为：
13．
【详解】过点A作，，则，
以，为邻边作平行四边形，
所以，，
可得，，
所以.
14．
【详解】先证明结论：已知为直线外一点，、、为直线上三个不同的点，若，则.
因为、、为直线上三个不同的点，则，
可设，即，所以，，
所以，，结论成立.
本题中，设，，
当点与点重合时，为的中点，此时；
当点为线段的中点时，与点重合，此时，故，同理可得.
由，
又、、三点共线，，即，
延长交于点，则为的中点，且有，
又
，
当且仅当，时取得最小值.
故答案为：.
15．(1)最小正周期为；；
(2).
【详解】（1）因为，
所以的最小正周期为；
令，则，
所以的单调增区间为.
（2）的图象向左平移个单位长度得到，
再向上平移1个单位长度得到，
所以.令，
因为，
又因为，所以.
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
即函数在上的取值范围是.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由三点共线，且，可知，
在等腰梯形中，由，，
可得，
又，所以，
所以，
因为三点共线，所以向量共线，
可得，结合，解得，
所以.
（2）由（1）知，又，
则，
分别过作的垂线，垂足分别为，

因为等腰梯形中，，
所以，可得，
又，得，
所以，，
可得
，
又是边上一点（含端点），，则，
所以.
17．（1）（2）①16个小时②为了安全，货船在整点时刻6时必须停止御货
【详解】解析（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图.如图.

根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系.
由数据和散点图可以得出，，，.
由，得，
所以这个港口水深y与时间t的关系可用近似描述.
（2）①由题意得，时就可以进出港，令得，所以，解得，
又，∴或.
由于该船1:00进港，所以可以17:00离港，
又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00，且该时刻水深为7米，大于6.5米，
所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时.
②设在x时刻货船航行的安全水深为y，那么.
在同一坐标系下画出与的图象.

设,
由且知，为了安全，货船在整点时刻6时必须停止御货.
18．(1)（i）；（ii）
(2)
【详解】（1）解：由到弦的距离是，可得，故
（i）由圆的几何性质得，
故
（ii）记劣弧的中点为，且
①
②
①+②得
进一步得：
，
其中
故的取值范围为：
（2）解：记，由两边平方，得
，又，∴
∴
故
又和向量的夹角为，
记，
显然关于单调递增，
所以当时，.
19．(1)，；
(2)；
(3).
【详解】（1）将点坐标代入函数解析式可得：，即，
又，所以，所以，
易知，函数的最大值为3，最小值为，周期为，
记，则，所以.
令得，
所以或，即或，
由图可知，，所以
（2）对任意的，任意的，恒成立，
等价于在区间上的最小值大于在上恒成立.
由（1）可知，，当时，，
所以，所以，即，
所以，即在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
由余弦函数性质可知，.
（3），
令，则，
解得或，即或，
即或（舍去），所以，
所以或或或，
即或或或，
则方程的非负实数根由小到大为，
因为方程在上恰有3个不相等的解，
所以，即的取值范围为.