山西省长治市重点高中2025-2026学年高一下学期3月质量检测 数学（含解析）

这是一份山西省长治市重点高中2025-2026学年高一下学期3月质量检测 数学（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．集合与集合不是同一个集合
B．已知，满足条件的集合的个数有7个
C．代数式的值组成的集合是
D．函数的零点为
3．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．设命题：函数是在上单调递增的幂函数；命题：实数满足，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．下列命题正确的是（ ）
A．函数的定义域为；
B．在上是减函数；
C．已知函数是奇函数，则；
D．函数的最大值为.
6．已知，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．图象的对称中心为
C．直线是图象的一条对称轴
D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
8．函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．与是同一个函数
C．函数的最小值为2
D．若函数的定义域为，则的定义域为
10．下列说法不正确的是（ ）
A．若，则为第一象限角
B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是
C．终边经过点的角的集合是
D．在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为
11．在声学中，音量被定义为，其中是音量（单位为），是基准声压，为，p是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中对应的听觉下限阈值为对应的听觉下限阈值为，则下列结论正确的是（ ）
A．音量同为20dB的声音，1000～10000Hz的高频比30～100Hz的低频更容易被人们听到
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa
D．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍
三、填空题
12．在中，若，则这个三角形的形状是________．
13．已知下列结论：
①函数的定义域为；
②函数(且)的图象恒过定点；
③不等式的解集为，则实数的取值范围为；
④已知定义在上的函数满足，，当时，，则.以上四个结论，其中正确结论的序号为______.
14．已知函数，方程有四个不同解，，，，则实数的取值范围是______；的取值范围是______．
四、解答题
15．求下列各式的值：
(1).
(2)已知，求的值.
16．已知集合．
(1)若，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17．（1）若，且，
求：（i）的最小值；
（ii）的最小值.
（2）解关于的不等式：.
18．已知是自然对数的底数，.
(1)若是偶函数，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，用单调性定义证明函数在上是增函数；
(3)在（1）（2）的条件下解不等式
19．已知函数
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)将函数的图像向左平移单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．
(3)若函数在上有三个不同零点，求实数取值范围．
参考答案
1．B
【详解】因为，，
所以.
2．D
【详解】选项A，是点集，是数集，不是同一个集合，A对；
选项B，因为，
所以满足条件的集合的个数有，B对；
选项C，当时，；
当或时，；
当时，，C对；
选项D，函数的零点不是点，是变量x的值，
所以函数的零点是，D错．
3．C
【详解】由在上递增，则，
由在上递增，则．所以．
故选：C
4．B
【详解】∵幂函数在上单调递增，
∴，解得或；
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
5．C
【详解】对于A，函数有意义，则满足，解得且，
所以函数的定义域为，所以A不正确；
对于B，由函数，可得在，上是减函数，所以B不正确；
对于C，由 ，当时，可得，则，
因为为奇函数，，
所以当时，，所以C正确；
对于D，因为，所以，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以函数的最大值为，所以D错误.
故选：C.
6．D
【详解】，，
，，
，，
，，，，故选项A正确；
，
，
，，
，故选项D错误；
联立，解得，则，故选项B和C正确.
故答案为：D.
7．B
【详解】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，且为正弦型函数的振幅，所以.
设函数的周期为，根据正弦函数图象性质，，则，所以，此时.
已知函数图象过点，将其代入可得，即.
因为，所以，，解得，那么.
对于A，将代入，得，所以选项A错误.
对于B，对于正弦函数，其对称中心的横坐标满足，.
令，，解得，，此时，
所以图象的对称中心为，，选项B正确.
对于C，对于正弦函数，其对称轴方程满足，.
令，，解得，.
当时，，，所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误.
对于D，将的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到.
根据诱导公式，，所以选项D错误.
故选：B.
8．D
【详解】由函数满足对且，都有，
可得函数在上单调递增，因此，
解得，则实数的取值范围是.
故选：D
9．AD
【详解】对A：命题“，”的否定是“，”，故A正确；
对B：函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误；
对C：，
当且仅当即当时等号成立，
但，故等号不成立，所以函数，故C错误；
对D：若函数的定义域为，则，∴，
所以函数的定义域为，故D正确.
10．ABD
【详解】A选项，若，则为第一象限角或第三象限角，故错误；
B选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动，故分针转过的角度是，故错误；
C选项，终边经过点的角的终边在直线上，故角的集合是，故C正确；
D选项，扇形面积为，故错误，
故选：ABD.
11．AD
【详解】对于A，30～100Hz的低频对应的听觉下限阈值高于20dB，1000～10000Hz的高频对应的听觉下限阈值低于20dB，
所以对比高频更容易被听到，故A正确；
对于B，从图象上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；
对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，，令，此时，故C错误；
对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，令，此时，
所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确．
故选：AD.
12．等腰三角形
【详解】，
，
代入条件可得，即，
即，
所以三角形是等腰三角形.
故答案为：等腰三角形
13．①②④
【详解】对于①，由解得，
所以函数的定义域为，故正确；
对于②，令得，因为函数(且)
的图象恒过定点，所以函数(且)的
图象恒过定点，故正确；
对于③，当时，原不等式为成立；
当时，若不等式的解集为，
则，解得，
综上实数的取值范围为，故错误；
对于④，根据定义在上的函数满足，
可得为奇函数，且，所以，解得，
又因为，所以的周期为6，
所以，故正确.
故答案为：①②④.
14．
【详解】画出的图象：
因为方程即有四个不同解，，，，
故的图象与有四个不同的交点，
由图可知，所以实数的取值范围是.
又，不妨假设，
由图可知.
又由图可知，故，
故且，所以.
所以，由对勾函数性质可知在单调递减，
所以，所以.
故答案为：；
15．(1)11
(2)
【详解】（1）
.
（2）因为，则， 即，
则， 即，
所以.
16．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
则；
（2）因为，
由是的必要不充分条件，得⫋，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得，
综上，，故实数的取值范围为.
17．（1）（i）（ii）；（2）答案见解析
【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得，
故，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为64；
（ii），，，
，
当且仅当且，即，时等号成立，即 取得最小值18；
（2），
当时，，即，原不等式的解集为；
若，原不等式化为，
显然，所以原不等式的解集为；
若，原不等式化为，
（i）当即时，原不等式的解集为；
（ii）当即时，原不等式的解集为；
（iii）当即时，原不等式的解集为.
综上所述，当时原不等式的解集为；
时，所以原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为.
18．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由是偶函数，得，即，
整理得，而不恒为0，
所以.
（2）由（1）知，，任取，
则，
由，得，即，则，
因此，所以函数在上是增函数.
（3）由（1）知，不等式化为：，
由（2）知，，解得或，
所以原不等式的解集为.
19．(1)，单调递减区间为，；
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
所以的最小正周期为，
令，，解得，，
所以函数的单调递减区间为，．
（2）由（1）知，，
将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象，
∵，则，
∴，则，
∴在上的值域为．
（3）由（1）知，
由，可得，
令，则，，
若函数在有三个零点，
即在有三个不相等的实数根，
又的图象如图，
所以关于t的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是1，另一个实根在，
当一个根在，另一个实根在，令，
所以，即，解得，
当一个根为0时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意，
当一个根是，即，解得，所以，
令，得另一根，所以符合题意，
当一个根是1，另一个实根在，由得，
此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意，
综上a的取值范围是．