重庆市2024_2025学年高一数学下学期3月月考试题含解析

这是一份重庆市2024_2025学年高一数学下学期3月月考试题含解析，共16页。试卷主要包含了 已知 ，则， 函数 ， 的增区间是， 函数 的最小值是， 下列各式的值为 的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
第Ⅰ卷 选择题（满分 58 分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式可得出所求代数式的值.
【详解】 ．
故选：B.
2. 对于非零向量 ， ，“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反向量一定 共线向量，共线向量不一定是相反向量可求解.
【详解】对于非零向量 ， ，因为 ，
所以 ，则 ，
即“ ”能推出 ，
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但当 时， ，显然 不一定成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数，对数函数，正弦函数的性质判断 ， ， 的范围，比较 ， ， 的大小即可.
【详解】由指数函数性质得 ，由对数函数性质得 ，
由正弦函数性质得 ，则 ，故 B 正确.
故选：B.
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 ，结合诱导公式即可求解.
【详解】因为 .
又因为 ，所以 .
故选：D
5. 函数 ， 的增区间是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式可得 ，再用整体代换的方法即可求出单调增区
间.
【详解】由题意，得 .
令 ，解得 .
所以函数 的单调增区间为 .
因为 ，所以令 ，则得函数 ， 的单调增区间为 .
故选：C.
6. 函数 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 和 可立即得到 ，再验证当 时有 ，即可得到
函数的最小值是 .
【详解】①一方面，显然 ， ，故 .
②另一方面，当 时，有
.
综合①②两方面，可知 的最小值是 .
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故选：C.
7. 已知函数 ，若 在 上有且只有 3 个零点，则 的取值范围为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合 的范围及正弦函数的图象和性质，求出 的取值范围即
可．
【详解】由辅助角公式得 ，
因为 ，所以 ，
因为 在 上有且只有 3 个零点，所以结合正弦函数图象可知 ，
解得 ，则 ，故 A 正确.
故选：A
8. 函数 ，若方程 在 内有两个不同的解，则实数 的取值范围为
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，画出函数 图象，分类讨论，将题意转化为函数 与 交
点个数问题，根据二次函数性质求解即可.
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【详解】当 时， 的图象如图所示，
则 ，令 ，则方程为 ， ，
又 ，当 时，若方程 在 内有两个不同的解，
只需 只有一解，即函数 与 ， 只有一个交点，
又函数 在 上单调递减，所以 ，即 ；
当 时， ，方程 的解为 和 ，
当 时， ，当 时，无解，显然方程 只有一解，不合题意；
当 时， ，方程 的解为 和 ，
当 时， ，当 时，无解，显然方程 只有一解，不合题
意；
当 时，若方程 在 内有两个不同的解，
只需 有两个不同的解，
即函数 与 ， 有两个不同的个交点，
又函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
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所以 ，所以 ；
综上所述，实数 的取值范围为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得
到结果，本题的关键是采用换元法，设 ，将原方程转化为一元二次方程，结合二次函数图象列出不
等式，解出即可.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.
9. 下列各式的值为 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用二倍角 正切公式可求 A；利用同角三角函数的基本关系以及二倍角正弦公式可求 B；利用二
倍角的余弦公式可求解 C；利用二倍角的余弦公式可求解 D；
【详解】对于 A：因为 ，
所以原式 ， A 不符合；
对于 B：原式 ，B 符合；
对于 C：原式 ，C 符合；
对于 D：原式 ，D 符合.
故选：BCD.
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10. 已知函数 的部分图象如图所示（分隔直线 右侧函数的零
点为 ），则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为 B.
C. D. 函数 在 上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，求出周期及 ，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即
可.
【详解】对于 A，由图可知，函数 的最小正周期 ，故 A 错误；
对于 B，由 ，所以 ，
因为 ，则 ，则 ，
因为 ，则 ，故 B 正确；
对于 C， ，又 ，所以 ，
所以 ，
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所以 ，故 C 正确；
对于 D，由 ，得 ，
而 ，即 时， 没有意义，故 D 错误；
故选：BC.
11. 定义在 上的函数 满足 ，且 的图象关于 对称，
设 ，则（ ）
A. 为奇函数
B. 为偶函数
C. 的图象关于点 中心对称
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由函数图象变换可得对称性，进而可得周期性，可得答案.
【详解】对于 A，函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位得到，
直线 向右平移 个单位可得直线 ，
因为函数 的图象关于直线 对称，
所以函数 的图象关于直线 ，即 轴对称，函数 为偶函数，故 A 错误；
对于 BC，由 A 可知 ，由 ，
则 ，所以函数 的图象关于 成中心对称，
由 ，
则函数 的图象可由函数 向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到，
由点 与 轴向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到点 与直线 ，
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则点 与直线 分别是函数 图象的对称中心与对称轴，
易知函数 图象的对称中心与对称轴分别是点 与直线 ， ，
当 时，直线 是函数 图象的对称轴，函数 是偶函数，故 B 正确，
当 时，点 是函数 图象的对称中心，故 C 正确，
对于 D，由 ，则 ，
易知函数 的最小正周期 ，
则 ，易得 ， ， ， ，
所以 ，故 D 正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.各题答案必须填写在答题卡相应位置（只
填结果，不写过程）
12. 向量 化简后等于______
【答案】
【解析】
【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可.
【详解】由向量加法的运算法则，可得
.
故答案为：
13. 在 中，若 ，则 的值为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用三角形内角和可求得 ，进而利用两角和的正切公式的变形公式可求解.
【详解】在三角形 ABC 中，因为 ，
所以
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.
故答案为： .
14. 式子 的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先应用二倍角余弦公式，正弦公式及切化弦化简求出 ，再结合两角和正弦公式
计算化简即可.
【详解】
故答案为：
四、解答题：本大题 5 个小题，共 77 分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说
明、演算步骤或推理过程）
15. 平面直角坐标系中，角 的始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为
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（1）求 ， ；
（2）化简并求值： .
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义求出 ，再由二倍角的正切公式即可求出 .
（2）由诱导公式和同角三角函数的商数关系化简已知式即可得出答案.
【小问 1 详解】
根据三角函数 定义： ， ，
则 ， .
【小问 2 详解】
.
16 已知 ， ， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用平方关系、和角的正弦公式求值.
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（2）利用平方关系、诱导公式及和角的余弦公式求值.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，而 ，则 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由 ，得 ，而 ，则 ，
所以
.
17. 建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能
减排的号召，在气温低于 时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单
位： ）随时间 （ ，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足
关系.
（1）求 的表达式：
（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
【答案】（1）
（2）8 小时
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的图像即可求得 表达式；
（2）根据正弦函数的图像与性质解 即可得.
【小问 1 详解】
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因为 图象上最低点坐标为 ，与之相邻的最高点坐标为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
将 代入解析式，有 ，
故 ，解得 ，
由 ，故 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）得， ，所以 ，
所以 ，
解得 ，
因为 ，所以 ，
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为 8 小时.
18. 已知函数 的最大值为 .
（1）求 的值和 的对称轴；
（2）求 在 上的单调递减区间；
（3）若 ， 成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ， 的对称轴方程为
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为 ，利用函数 的最大值可
求得 的值，利用正弦型函数的对称性可求得函数 的对称轴方程；
（2）由 可求出 的取值范围，利用正弦型函数的单调性可求出函数 在 上的减区
间；
（3）由题意可知， ，利用正弦型函数的基本性质求出函数 在区间 的最大值，
即可得出实数 的取值范围.
【小问 1 详解】
由题知 ，
因为 的最大值为 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
由 得 .
所以函数 的对称轴方程为 .
【小问 2 详解】
因为 ，令 ，则 ，
因为 的单调递减区间是 ，
由 ，得 ，
所以 在 的单调递减区间是 .
【小问 3 详解】
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由题意知 ，由 ，可得 ，
故当 时，函数 取最大值 ，所以， ，
因此，实数 的取值范围是 .
19. 已知函数 ．
（1）若 的终边经过点 ，求 的值；
（2）将 的图象向左平移 个单位长度后得到一个偶函数的图象，求 的最小值；
（3）若函数 在 上的最大值为整数，求 的值．
【答案】（1）2； （2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据三角函数定义求出角 ，然后代入函数解析式计算可得；
（2）通过配方，结合平方关系和辅助角公式化简，然后由平移变换和奇偶性可解；
（3）根据正弦函数求出 的值域，然后利用单调性求出 的最大值，由最大值为整数即可得解.
【小问 1 详解】
因为 终边经过点 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
【小问 2 详解】
第 15页/共 16页
，
则 ．
将 的图象向左平移 个单位长度后得到：
的图象，
依题意可得 ，
则 ，因为 ，所以 ．
【小问 3 详解】
若 ，则 ，
则 ．
设 ，则 ．
因为 ，所以 为减函数，
所以 ，
又 的最大值为整数，所以 ，即 ．
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