福建龙岩市连城县第一中学2025-2026学年高一下册3月阶段检测数学试卷（含答案）

这是一份福建龙岩市连城县第一中学2025-2026学年高一下册3月阶段检测数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：共8小题，共40分.每小题只有一项是符合题目要求的.
1. 若，，则的坐标为（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由向量减法的坐标运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 4
【正确答案】A
【分析】根据复数的除法运算以及模长公式计算可得结果.
【详解】由，可得，
所以.
故选：A
3. 已知，为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由题意可求得，进而可求得.
【详解】因为，所以，所以，
又因为，为单位向量，所以，所以，
又因为，所以.
故选：B.
4. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解.
【详解】因为，则，
所以在方向上的投影向量坐标为.
故选：B.
5. 设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【正确答案】D
【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状.
【详解】因为，所以，
则，因为，所以，
又，所以，
由，所以，，
所以为等腰直角三角形.
故选：D.
6. 已知为所在平面内的一点，，则（ ）
A B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据图形的几何性质分解向量即可得解.
【详解】如图所示，
由题意得.
故选：C.
7. 如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先通过和分别用正弦定理求出、的长度，再在中用余弦定理求出的长度.
【详解】在中，，
由正弦定理，即，得 km.
在中，，，故，
由正弦定理，即，得 km.
在中，由余弦定理，
代入得，故 km.
故选：A
8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A B. C. D. 4
【正确答案】B
【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值.
【详解】平方去绝对值号，由，则，
根据向量与的条件可得，
化简可得，
令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以.
观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解，
即，
又，
则的最小值为
三、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【正确答案】BC
【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，假设，则使得，
因为不共线得且，则无解，
故，不共线可作一组基底；
对于B，因为，所以，不能作为基底；
对于C，因为，所以，不能作为基底；
对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底.
故选:BC.
10. 已知复数，下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. D. 若，则为纯虚数
【正确答案】ACD
【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘方运算即可判断选项D.
【详解】设，
对于A，由，则，
而，则，故A正确；
对于B，举例，满足，但，无法比较大小，故B错误；
对于C，由复数模的运算性质可知，，故C正确；
对于D，由，则，而，
可得，则，则为纯虚数，故D正确．
故选：ACD
11. 在斜三角形中，，则（ ）
A. 角B为钝角B.
C. 若，则D. 的最大值为
【正确答案】ACD
【分析】对于A，利用诱导公式结合正弦函数的图象推得或，分析即得；对于B，根据两函数值的符号即可判断；对于C，利用正弦定理即可判断；对于D，将待求式中的角都用角的三角函数式表示，利用三角恒等变换、换元将其化成二次函数，结合二次函数的图象性质即得.
【详解】对于A，由可得，
因，则，则，或，
即或，
因为斜三角形，故，即角B为钝角，故A正确；
对于B，由A项已得角B为钝角，则，因，故，即B错误；
对于C，由正弦定理，，又，
代入解得，故C正确；
对于D，由上分析可得：，,
故
，设，
又,则，则，
则，且，
则，
故当时，的最大值为,故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知是虚数单位，则___________．
【正确答案】0
【分析】根据虚数单位的幂次的运算性质，分别计算、、、的值，再将它们相加.
【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得：
，
，
，
故
故答案为.
13. 中，为边的中线，，，，则中线的长为_________.
【正确答案】##
【分析】先由三角形构建平行四边形，使转化为，然后在根据余弦定理求，即可.
【详解】
如图，以边,为邻边做平行四边形，
因为边的中线，则由平行四边形性质知共线，且，
在平行四边形中，，，
在中，由余弦定理得：
，
所以，，
故
14. 如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解.
【详解】如图，取的中点，，
而，所以．
故
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 已知向量，且.
（1）求向量；
（2）若，求向量的夹角的正弦值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示，列出方程，求出参数，求出结果；
（2）根据向量加法的坐标表示，和向量夹角的余弦值的坐标表示，求出向量夹角的余弦值，根据同角三角函数关系，求出正弦值.
【小问1详解】
因为，且，
所以，.
解得，
所以；
【小问2详解】
设向量的夹角的大小为，.
由题意可得，，，
所以，得.
16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．
（1）求的面积；
（2）求边长及的值．
【正确答案】（1）
（2），
【分析】（1）利用平方关系和面积公式求解即可.
（2）利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【小问1详解】
由，且，
则，
所以．
【小问2详解】
由，
则，
又，则．
17. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）点为线段的中点，且，，求的值．
【正确答案】（1）
（2）1
【分析】（1）根据正弦定理可得，即可求出角的大小；
（2）利用中点向量公式和余弦定理求解即可．
【小问1详解】
由得，
所以，
因为是锐角，所以；
【小问2详解】
点是中点，且，
，平方得，
即，
由余弦定理：，
即，
联立解得：
的值为1．
18. 我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为．

（1）求的“广义坐标”；
（2）求向量与的夹角的余弦值；
（3）以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1），故，得到“广义坐标”为；
（2）计算出，，，故；
（3）平面直角坐标系中，，设，得到方程组，求出，故向量的“广义坐标”为.
【小问1详解】
由题意得，
故，
故的“广义坐标”为；
【小问2详解】
由题意得，，
故
，
，故，
，故，
所以向量与的夹角的余弦值为；
【小问3详解】
在平面直角坐标系中，，
设，向量在平面直角坐标系中的坐标为，
所以，
所以，解得，
故向量的“广义坐标”为.
19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，求周长的取值范围；
（3）若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围．
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）.
分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角；
（2）法一：应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；法二：应用正弦定理得三角形周长，再应用三角形内角性质及三角恒等变换得，最后应用正弦函数的性质求范围；
（3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围.
【小问1详解】
由已知及正弦边角关系得，
因为，所以，而，
所以，，，
所以，，故，即；
【小问2详解】
方法一：由余弦定理，得，即
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，，
由三角形三边关系知，所以，即，
所以周长的取值范围为；
方法二：由正弦定理，得，，
所以
，
因为，所以，即，即，，
所以周长的取值范围为；
【小问3详解】
因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以，
设，，
在中，由正弦定理，
所以，即，，
所以
，
因为，为锐角三角形，所以，即，
所以，即，
则，
所以面积的取值范围为.