福建省龙岩市连城县第一中学2025-2026学年高二下册3月阶段检测数学试卷（含答案）

这是一份福建省龙岩市连城县第一中学2025-2026学年高二下册3月阶段检测数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1. 下面求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用基本初等函数的求导公式逐项求解作答.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
2. 已知，，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【正确答案】B
【分析】由向量垂直的坐标表示列出式子直接得出答案.
【详解】，，且，
，
解得：，
故选：B.
3. 设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（ ）
A. B. C. 6D. 14
【正确答案】D
【分析】利用导数的几何意义可求解.
【详解】因为曲线在处的切线方程为，
所以，，
所以．
故选：D.
4. 函数的图像如图所示，则（ ）
A. B.
C. D. 的正负不确定
【正确答案】B
【分析】由导数的几何意义求解即可.
【详解】由题中图像可知，函数在上单调递减，故在上有．故．
故选：B
5. 在正方体中，若，E为线段上一点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】利用给定的基底，利用空间向量线性运算求得答案.
【详解】在正方体中，，
由，得.
故选：D
6. 一束光线自点出发，被平面反射到达点被吸收，那么光线所经过的距离是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】求出点关于平面对称点，的长度即是光线所经过的距离.
【详解】由题意得，点关于平面的对称点为，
则.
故选：D.
7. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，再利用为奇函数求出的值，从而将原不等式转化为关于的不等式进行求解.
【详解】设，
则，
因为，所以，所以为定义在上的减函数，
因为为奇函数，
所以，，，，
即，即，
故．
故选：C.
8. 对任意，不等式恒成立，则正数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】将所求不等式变形为，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，可得出，参变分离得出，利用导数求出函数的最小值，可得出关于实数的最大值.
【详解】对任意的，不等式恒成立，则，可得，
，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
由可得，则，
故对任意的，，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，故，解得，
即正实数的最大值为.
故选：A.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 下列命题中，是真命题的为 （ ）
A. 若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同
B. 若空间向量满足，则
C. 若空间向量满足，则
D. 在正方体中，必有
【正确答案】CD
【分析】根据给定条件，利用空间向量的相关概念逐项判断即得.
【详解】当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，A错误；
模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，B错误；
由相等向量的传递性，知若，则，C正确；
在正方体中，四边形是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即，D正确，
故选：CD
10. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 它的极大值为，极小值为
B. 当时，它的最大值为，最小值为
C. 它的单调递减区间为
D. 它在点处的切线方程为
【正确答案】ACD
【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D.
【详解】函数，．
由，得或，此时函数单调递增；
由，得，此时函数单调递减，C正确；
当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，A正确；
当时，单调递增，它的最大值为，
最小值为，B错误；
，，它在点处的切线方程为，D正确．
故选：ACD.
11. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】AC
【分析】利用给定条件结合基本不等式判断A，C；利用构造函数，求导，利用单调性进行判断B，D.
【详解】对于A项，因，，且，则有，
当且仅当时取“=”，A正确；
对于B项，因，，且，则,
得，则B错误；
对于C项，因，，且，则，
得，，
设，，
得，得函数在上单调递增，
得，得，
即，得，故C正确；
对于D项，，
令，
得，得函数在上单调递增，
得，得，即，故D项错误.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知函数的导函数为，若，则________.
【正确答案】5
【分析】根据导数的定义直接求解.
【详解】.
故5
13. 已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数_____．
【正确答案】
【分析】根据空间向量基本定理判断向量共面，可得解.
详解】由题知，
即
又，，，四点共面，
所以，解得.
故答案为.
14. 已知函数.若对，都有恒成立，则的取值范围为______.
【正确答案】
【分析】对求导，分析单调性，求出的最大值，使得，进而可得的取值范围．
【详解】由题意知，当时，.
，
①当时，恒成立，即在上单调递减，
所以恒成立，所以.
②当时，由，得到，由，得到，
所以区间上单调递减，在区间上单调递增.
当，即时，在区间上单调递增，
所以，（舍去），
当，即时，在上单调递减，，所以，
当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，
所以，得到，所以，
综上，的取值范围为．
故．
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
【正确答案】（1）单调递增区间是：和，单调减区间是：；
（2）最小值为，最大值为.
【分析】（1）求导由，，可求单调区间；
（2）由（1）结合单调性即可求解；
【小问1详解】
由，
可得：，，
由，可得：或；
由，可得：；
所以函数的单调递增区间是：和，
单调减区间是：；
【小问2详解】
由（1）知：函数在区间上的单调性为： 单调递减，单调递增，
所以最小值为，
又，
所以最大值为.
所以函数在区间上的最小值为，最大值为.
16. 如图在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点．

（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求的长．
【正确答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【分析】（1）利用勾股定理证明垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求两直线的夹角余弦值；（3）根据空间坐标系中两点距离公式求解.
【小问1详解】
因正方体的棱长为1，所以，而是线段的中点，因此.
由勾股定理得，，，因是线段的中点，所以.
在直角三角形中，是其斜边上的中线，故.
由勾股定理得，.
因此，，故是直角三角形，其中，故.
【小问2详解】
以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.

则，，，.
，.
设直线与所成角，则
【小问3详解】
17 设函数，．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【正确答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）由可求出的值，再利用导数的几何意义可求出所求切线的方程；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间.
【小问1详解】
因为，则，解得，故，
所以，所以，
此时，曲线在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
因为，则，
当时，则，
即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间；
当时，由可得，由可得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为.
18. 二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价8元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
【正确答案】（1）
（2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.
【分析】（1）分和讨论计算即可；
（2）当时，利用导数求出其最值，时，利用基本不等式求出其最值，比较大小即可.
【小问1详解】
由题意，当时，，
当时，.
所以.
【小问2详解】
当时，，令，解得.
当，，当，；
则在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，
当时，，当且仅当，即时取等号.
综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.
19. 已知函数.
（1）若，，求实数a的取值集合；
（2）设，
（i）对任意正整数n，证明：函数有唯一的零点（记零点为）；
（ii）证明.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）求导，根据函数的单调性求解函数的最值，即可得解.
（2）（i）根据导数，结合分类讨论，可得的单调性，即可求解零点，
（ii）先构造函数由导数证明不等式,进而利用该不等式以及，结合对数的运算性质即可求解.
【小问1详解】
由可得，
记，则，
当时，此时在上单调递增，当时，此时在上单调递减，
故当时，取到最大值，且最大值为，故，
实数a的取值集合为.
【小问2详解】
（i）证明：则，
当时，由得，此时无零点，不符合题意，
当时，单调递增，
由于，，
故在有唯一的零点，
综上可知：对任意正整数n，证明：函数有唯一的零点，
（ii）设，，
则当时，，在单调递减，
当时，在单调递增，
故，故当且仅当时取等号，
由得，
故，
所以，则，
又因为，所以
即，
再由可得，当且仅当时取等号，
由得，
，即，则，
当且仅当时取等号，
当时，
，
由得，
所以，
故，
则,当且仅当时取等号，