福建省连城县第一中学2022-2023学年高一下学期月考（一）数学试卷（含答案）

福建省连城县第一中学2022-2023学年高一下学期月考（一）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、下列说法错误的是(   )

A.  B.、是单位向量，则

C.若，则 D.任一非零向量都可以平行移动

2、如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是(   )

A.与 B.与 C.与 D.与

3、设,是非零向量，,分别是,的单位向量，则下列各式中正确的是(   )

A.         B.或      C.        D.

4、已知是边长为2的等边三角形，D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点，则(   )

A.  B.

C.  D.

5、若的三个内角A、B、C满足，则(   )

A. B. C.       D.

6、已知向量，,则实数(   )

A.-1 B.0 C.1 D.-1或1

7、小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为(   )

A.20m B.30m C. m D. m

8、在中，，,则的范围是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、下列说法正确的是(   )

A.向量在向量上的投影向量可表示为

B.若，则与的夹角的范围是

C.若是等边三角形，则，的夹角为

D.若，则

10、在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(   )

A.，,有唯一解 B.，,无解

C.，,有两解 D.，,有唯一解

11、设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是(   )

A.若，则点M在直线BC上

B.若＝＋，则点M是三角形的重心

C.若，则点M在边BC的中线上

D.若，且x＋y＝，则的面积是面积的

12、已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，且，延长BA至D.则下面结论正确的是(   )

A.

B.

C.若，则周长的最大值为

D.若，则面积的最大值为

三、填空题

13、若向量与的方向相反，且，，则点B坐标为______.

14、在河水的流速大小为情况下，当航程最短时，一艘小船以实际航速的速度大小驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为__________.

15、如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，F为直径BC上一点，且，则________.

16、在中，角，B，C所对的边分别为a，b，C，，则的外接圆直径为______；若点P在边BC上，且，O为的外心，则OP的长为______.

四、解答题

17、.已知向量，.

(1)求的坐标以及与之间的夹角；

(2)当时，求的取值范围.

18、在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知,,

(1)求c；

(2)求.

19、在中，点D，E分别在边BC和边AB上，且，，AD交CE于点P，设，.

(1)试用，表示；

(2)在边AC上有点F，使得，求证：B，P，F三点共线.

20、在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求其面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，_________？

21、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.

(1)求角A；

(2)若的面积为，D为BC边上一点，且，求AD的最小值.

22、为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD.其中百米，百米，且是以D为直角顶点的等腰直角三角形.拟修建两条小路AC BD(，路的宽度忽略不计)，设，

（1）当时，求小路AC的长度；

（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度.

参考答案

1、答案：C

解析：对于A 项, 因为, 所以, 故A 项正确;

对于B 项, 由单位向量的定义知, , 故B 项正确;

对于C 项，两个向量不能比较大小, 故 C 项错误;

对于 D 项, 因为非零向量是自由向量, 可以自由平行移动, 故 D 项正确.

2、答案：A

解析：

3、答案：D

解析：

4、答案：D

解析：对选项 A:, 错误;

对选项 B:, 错误;

对选项 C:, 错误;

对选项 D:, 正确.

故选: D

5、答案：C

解析：根据正弦定理化简已知的等式得：，设，，

根据余弦定理得：

又A 为三角形的内角,

则.

故选: C.

6、答案：D

解析：由已知向量，,

可得，,

由 可得,

即, 解得,

故选: D

7、答案：D

解析：, 由题意知:，, 所以,

在中, ,

在 中, 由正弦定理得,

所以,

在中,.

故选: D

8、答案：B

解析：，,

，

，

，

的取值范围是

故选：B.

9、答案：AB

解析：A.向量 在向量 上的投影向量为, 故 A正确；

B., 所以,所以 的范围是, 故 B正确;

C.是等边三角形, ,的夹角为 ，故C 错误;

D., 可得, 即 , 或 或 为零向量, 零向量与任意向量平行, 故 D错误.

故选 AB

10、答案：AD

解析：选项A.,,, 已知三边三角形确定,有唯一解, A正确;

选项B., 有两解, B 错;

选项 C.因为, 且,有唯一解, C 错;

选项 D, 、B 是锐角, 有唯一解, D 正确.

11、答案：ABD

解析：

12、答案：ACD

解析：，

，解得：，

由得：，

，

，解得：（舍）或，

，，A正确；

，，，即，

为等边三角形，，B错误；

，，

在中，由余弦定理得：，

（当且仅当时取等号），

解得：，周长的最大值为，C正确；

设，则，

，

则当时，取得最大值，D正确.

故选：ACD.

13、答案：

解析：向量与的方向相反,

，，

解得或(舍去),

设点B 的坐标为,

点A 的坐标是,

解得,

点B 的坐标为

综上所述, 答案:

14、答案：

解析：设河水的流速为, 小船在静水中的速度 为, 船的实际速度为, 则，，. 由题意 可得，, 所以  , 即小船在静水中的速度大小为.

15、答案：

解析：由题意知，, 且.

又由 知, ,

所以 .

16、答案：  ;1

解析：因为，所以，

因为，所以，即，因为，

所以，所以，即的外接圆直径为；

所以，

，

，

，

，，

，

在中，根据余弦定理可得，，

即，解得.

故答案为：；1；

17、答案： (1)

(2)

解析：　(1)因为向量，，

所以，

设与a之间的夹角为，

所以.

因为，所以向量与a的夹角为.

(2).

易知当时，，所以的取值范围是.

18、答案：(1)

(2)

解析：（1）因为，且，,

所以，

所以.

（2）由（1）知，，

因为，且，

所以.

因为，所以为锐角，

所以，

故.

19、答案：(1)

(2) B，P，F三点共线

解析：（1）设由题意，所以，

①

设，由，，

②

由①、②得，，

所以，解得，所以；

（2）由，得，所以，

所以，因为与有公共点B，所以B，P，F三点共线.

20、答案：见解析

解析：若选条件①， ;若选条件②， ；若选条件③，三角形不存在.

由和余弦定理得.

由及正弦定理得.

于是，由此可得.

若选条件①：

由①，解得，

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时.

若选条件②：

由上可得：，，.

由②，得，.

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时.

若选条件③：

由于③，与矛盾.

因此，选条件③时问题中的三角形不存在.

21、答案：(1)

(2)

解析：（1）由正弦定理得，

又，则，

化简得，

又，则，

所以，所以；

（2）由（1）得，则，得，

又，则，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值为.

22、答案： (1)

(2) (i)当时，小路AC的长度为百米；

(ii)草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为百米

解析：(1)在中，，，.

由余弦定理得，，

所以.

因为，

所以.

由正弦定理得，即，

解得.

因为是以D为直角顶点的等腰直角三角形，

所以且，

所以.

在中，由余弦定理得，，

所以.

(2)由(1)得，，

，

此时，，且.

当时，四边形ABCD的面积最大，即，

此时，，

所以，即.

(i)当时，小路AC的长度为百米；

(ii)草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为百米.