初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）3 平行线的证明课后复习题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）3 平行线的证明课后复习题，共17页。
1．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，∠ABO＝α，则下列结论正确的是（ ）
A．∠BOF=12αB．∠BOE＝180°﹣α
C．∠BOD＝2αD．∠EOD＝180°+α
2．如图，AB∥CD，N为CD上一点（N在F点左侧），直线EM交AB于M，交CD于F，且∠AME＝78°，若点P为射线FE上一点，PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC交AB于H，PT∥NH交CD于T，则∠TPQ的度数为（ ）
A．28°B．39°C．28°或152°D．39°或129°
3．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．36°B．40°C．46°D．50°
4．古城正定承载着丰富的古建筑文化．在如图的六边形窗户ABCDEF中，已知AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°，则∠BCD＝（ ）
A．120°B．100°C．80°D．60°
5．如图，一束平行于主光轴的光线a经凸透镜后，光线的传播方向发生改变，其与一束经过光心O的光线b（此光线的方向不发生改变）相交于点P，与主光轴交于点F．若∠2＝40°，∠3＝70°，则∠1的度数为（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
6．如图，AB、CD是两面平行放置的平面镜，一束光线MP在点P处经平面镜CD反射后得到光线PN，PN在点N处经平面镜AB反射后得到光线NQ，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠MPN＝70°，则∠4的度数为（ ）
A．35°B．40°C．50°D．55°
7．一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时AB∥CD，∠1＝73°，则∠2的度数为（ ）
A．73°B．93°C．107°D．117°
二、填空题（共5小题）
8．为了保护视力，某公司推出了护眼灯，如图所示，右侧示意图中（台灯底座高度忽略不计）BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝114°时，光线最佳．则此时∠DCB＝ °．
9．当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，MN为液面，AB⊥MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1＝50°，折射角∠2＝36°，则∠EDF的度数为 ．
10．如图，已知直线AB∥CD，点E是线段MN上的动点，若∠2＝95°，∠3＝50°，则∠1＝ 度．
11．图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，若记∠α＝40°，则∠AR1N＝ ．
12．如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内位于直线EF右侧的一个动点（点P不在直线AB，CD 上）．设∠BGP＝α，∠DHP＝β，在点P的运动过程中，∠P的度数可能是 .（结果用含α，β的式子表示）
三、解答题（共3小题）
13．如图，∠1+∠2＝180°，∠DEF＝∠A，∠BED＝60°，求∠ACB的度数．
解：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∠2+∠BDC＝180°（ ）
∴∠1＝∠BDC（ ）
∴AB∥ （ ）
∴∠DEF+∠ADE＝180°（ ）
又∵∠DEF＝∠A（已知）
∴∠A+ ＝180°（等式的基本事实）
∴AC∥DE（ ）
∴∠ACB＝∠BED＝60°．（ ）
14．如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠1，∠2＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠3＝75°，∠D＝35°，求∠AEM的度数．
15．已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．
（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
（2）求证：CG平分∠OCD；
（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣α，∠BOD＝∠ABO＝α，故C选项错误，不符合题意；
又∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=12∠BOC=90°−12α，故B选项错误，不符合题意；
∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=α+90°−12α=90°+12α，故D选项错误，不符合题意；
又∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOF=90°−∠BOE=90°−(90°−12α)=12α，故A选项正确，符合题意；
故选：A．
【分析】根据平行线的性质判断C选项；然后根据角平分线的定义判断B选项；再根据角的和差判断D选项；利用垂直的定义判断A选项解题即可.
2．【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：当点P在线段FM上时，
∵PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，
∴∠MPQ＝∠NPQ，∠PNH＝∠CNH，
设∠MPQ＝∠NPQ＝α，∠PNH＝∠CNH＝β，
∴∠PNT＝180°﹣∠CNP＝180°﹣2β，
∵AB∥CD，∠AME＝78°，
∴∠MFC＝∠AME＝78°，
∵PT∥NH，
∴∠PTC＝∠CNH＝β，
∵∠PNT＝∠MPN﹣∠PFN＝2α﹣78°，
∴180°﹣2β＝2α﹣78°，
∴α+β＝129°，
∵∠NPT＝180°﹣∠PNT﹣∠PTN＝β，
∴∠TPQ＝∠NPT+∠NPQ＝α+β＝129°；
当点P在射线ME上时，
∵PQ平分∠MPN，
∴∠MPQ＝∠NPQ，
∵NH平分∠PNC，
∴∠PNH＝∠CNH，
设∠MPQ＝∠NPQ＝α，∠PNH＝∠CNH＝β，
∴∠PNT＝180°﹣∠CNP＝180°﹣2β，
∵AB∥CD，∠AME＝78°，
∴∠MFC＝∠AME＝78°（两直线平行，同位角相等），
∵PT∥NH，
∴∠PTC＝∠CNH＝β，
∵∠PNF+∠PFN+∠NPF＝180°，
∴180°﹣2β+2α+78°＝180°，
∴α﹣β＝39°，
∵∠NPT＝180°﹣∠PNT﹣∠PTN＝β，
∴∠TPQ＝∠NPT﹣∠NPQ＝39°；
综上：∠TPQ＝39°或129°；
故选：D．
【分析】通过分点P在线段FM上和在射线ME上两种情况，利用相关性质和定理建立等式求解∠TPQ的度数.
3．【答案】A
【知识点】余角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如图，
∵直尺的两边平行，∠1＝54°，
∴∠3＝∠1＝54°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝36°，
故选：A．
【分析】根据平行线的性质得出∠3=∠1=54°，再根据余角的定义求解即可.
4．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+∠DCF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠B＝∠D＝140°，
∴∠BCF＝40°，∠DCF＝40°，
∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝40°+40°＝80°，
即∠BCD的度数为80°．
故选：C．
【分析】根据平行线的性质得∠B+∠BCF=180°，∠D+∠DCF=180°，进而得∠BCF=40°，∠DCF=40°，即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵∠POF＝∠2＝40°，∠3＝70°，
∴∠PFO＝∠3﹣∠POF＝30°，
∵光线与凸透镜的主光轴平行，
∴∠1+∠PFO＝180°，
∴∠1＝150°．
故选：D．
【分析】由三角形的外角性质得到∠PFO=∠3-∠POF=30°，由平行线的性质推出∠1+∠PFO=180°，即可求出∠1的度数.
6．【答案】D
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵两块平面镜平行放置，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠MPN＝70°，
∴∠1=∠2=12(180°−70°)=55°，
∴∠3＝∠2＝55°，
∴∠4＝∠3＝55°（等量代换），
即∠4的度数为55°，
故选：D．
【分析】由平行线的性质得出∠2=∠3，由平角的性质得出∠1=∠2=55°，进而即可得解.
7．【答案】C
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠1＝73°，
∴∠3＝∠1＝73°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣73°＝107°，
即∠2的度数为107°，
故选：C．
【分析】先根据平行线的性质可得∠3=∠1=75°，再根据邻补角的定义求解即可得.
8．【答案】156
【知识点】角的运算；铅笔头模型；平行公理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过C作CK∥AB，则CK∥AB∥DE，
∵DE∥AB，
∴CK∥AB∥DE，
∴∠BCK＝180°﹣∠CBA，∠DCK＝180°﹣∠CDE＝66°，
∵BC⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∴∠BCK＝90°，
∴∠DCB＝∠BCK+∠DCK＝156°．
故答案为：156．
【分析】过C作CK∥AB，则CK∥AB∥DE，利用平行线的性质得到相关角的度数，再根据角的和差关系求出∠DCB的度数.
9．【答案】14°
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵点F为CD的延长线上一点，
∴∠1＝∠FDB＝50°，
∴∠EDF＝∠FDB﹣∠2＝50°﹣36°＝14°，
即∠EDF的度数为14°，
故答案为：14°．
【分析】根据对顶角相等求出∠FDB=50°，再计算角的差即可.
10．【答案】45
【知识点】猪蹄模型；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线相互平行），
∴∠1＝∠MEF，∠3＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∴∠2＝∠MEF+∠CEF＝∠1+∠3，
∵∠2＝95°，∠3＝50°，
∴∠1＝∠2﹣∠3＝95°﹣50°＝45°，
即∠1的度数为45°．
故答案为：45．
【分析】过点E作EF//AB，由AB//CD得EF//AB//CD，进而得∠1=∠MEF，∠3=∠CEF，再根据∠2=∠MEF+∠CEF=∠1+∠3进行求解即可.
11．【答案】140°
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图1所示，
∵PN∥QM，
∴∠PAB＝∠ABM＝40°，
∴如图2所示，∠MAR1＝∠PAB＝40°，
∵AM∥R1N，
∴∠AR1N＝180°﹣∠MAR1＝140°，
故答案为：140°．
【分析】在图1中，由平行线的性质得到∠PAB=∠ABM=40°，在图2中，由对顶角线段得到∠MAR=∠PAB=40°，则由平行线的性质进而即可得出结论.
12．【答案】α+β或α﹣β或β﹣α
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：①P在AB，CD之间时，过P点作PM∥AB，
∵AB∥PM，
∴∠BGP＝∠GPM＝α，
∵AB∥CD，AB∥PM，
∴PM∥CD，
∴∠DHP＝∠MPH＝β，
∵∠GPH＝∠GPM+∠MPH，
∴∠GPH＝α+β；
②P在AB上方时，过P点作PM∥AB，
∵PM∥AB，
∴∠BGP＝∠MPG，
∵∠BGP＝α，
∴∠MPG＝α，
又∵AB∥CD，
∴CD∥PM，
∴∠DHP＝∠MPH，
∵∠DHP＝β，
∴∠MPH＝β，
又∵∠MPH＝∠MPG+∠GPH，
即β＝α+∠GPH，
∴∠GPH＝β﹣α；
③P在CD下方时，过P点作PM∥AB，
∵PM∥AB，
∴∠BGP＝∠MPG，
∵∠BGP＝α，
∴∠MPG＝α，
又∵AB∥CD，
∴CD∥PM，
∴∠DHP＝∠MPH，
∵∠DHP＝β，
∴∠MPH＝β，
又∵∠MPG＝∠MPH+∠GPH，
即α＝β+∠GPH，
∴∠GPH＝α﹣β．
综上所述，∠P的度数可能是α+β或α﹣β或β﹣α．
故答案为：α+β或α﹣β或β﹣α．
【分析】分情况讨论：①P在AB，CD之间；②P在AB上方；③P在CD下方，根据平行线的性质解答即可.
13．【答案】邻补角互补；同角的补角相等；EF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；∠ADE；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【知识点】邻补角；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠2+∠BDC＝180°（邻补角互补），
∴∠1＝∠BDC（同角的补角相等），
∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠DEF+∠ADE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠DEF＝∠A（已知），
∴∠A+∠ADE＝180°（等量代换 ），
∴AC∥DE（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠ACB＝∠BED＝60°（两直线平行，同位角相等），
故答案为：邻补角互补；同角的补角相等；EF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；∠ADE；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【分析】根据平行线的性质和判定补充证明过程即可得答案.
14．【答案】（1）证明：∵点E、F在直线AB上，ED与FG交于点H，∠2＝∠3，
∴CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
又∵∠C＝∠1，
∴∠FGD＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）解：由（1）知AB∥CD，
∴∠BED＝∠D＝35°，
∵∠CEB＝∠2+∠BED，∠2＝∠3＝75°，
∴∠CEB＝75°+35°＝110°，
∴∠AEM＝∠CEB＝110°．
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)先证明CE//GF，则∠C=∠FGD，所以∠FGD=∠1，再由平行线的判定即可求证；
(2)根据平行线的性质得出∠BED=∠D=35°，由角度和差得出∠CEB=110°，最后再由对顶角相等即可求解.
15．【答案】（1）解：∵DE∥OB，
∴∠O＝∠ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵∠O＝40°，
∴∠ACE＝40°，
∵∠ACD+∠ACE＝180°，（平角的定义）
∴∠ACD＝140°，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF＝70°，（角平分线定义）
∴∠ECF＝70°+40°＝110°；
（2）证明：∵CG⊥CF，
∴∠FCG＝90°，
∴∠DCG+∠DCF＝90°，
又∵∠AOC＝180°，（平角的定义）
∴∠GCO+∠FCA＝90°，
∵∠ACF＝∠DCF，
∴∠GCO＝∠GCD，（等角的余角相等）
即CG平分∠OCD．
（3）解：结论：当∠O＝60°时，CD平分∠OCF．
理由：当∠O＝60°时，
∵DE∥OB，
∴∠DCO＝∠O＝60°．
∴∠ACD＝120°．
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF＝60°，
∴∠DCO＝∠DCF，
即CD平分∠OCF．
【知识点】角平分线的概念；余角；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质，得到∠ACE=40°，根据平角的定义以及角平分线的定义，即可得到∠ACF=70°，进而得出∠ECF的度数；
(2)根据∠DCG+∠DCF＝90°，∠GCO+∠FCA＝90°，以及∠ACF＝∠DCF，运用等角的余角相等，即可得到∠GCO＝∠GCD，即CC平分∠OCD；
(3)当∠O＝60°时，根据平行线的性质，得出∠DCO＝∠O＝60°，再根据角平分线的概念，即可得到∠DCF＝60°，进而即可得出结论.