北师大版（2024）八年级上册（2024）3 平行线的证明第2课时教学设计

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）3 平行线的证明第2课时教学设计，共6页。教案主要包含了内容与内容解析，目标与目标解析，学生学情分析，教学策略分析，教学过程分析等内容，欢迎下载使用。
（一）教学内容
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第七章“证明”的第3节。内容包括：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
（二）教学内容解析
地位与作用：本节是在学生学习了"命题、定理与证明"以及"平行线的判定"的基础上，对平行线性质的进一步研究。它是平面几何的基础知识，也是后续学习三角形、四边形等知识的重要工具。
核心素养：通过对平行线性质的探索和证明，培养学生的逻辑推理能力、几何直观能力和数学语言表达能力。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
【教学重点】平行线的三个性质定理及其应用。
二、目标与目标解析
（一）教学目标
1. 能说出平行线的三条性质，并会用符号语言表示。
2. 能运用平行线的性质进行简单的推理和计算。
3. 经历观察、操作、猜想、推理、交流等活动，探索平行线的性质。
4. 通过对比，理解平行线的性质与判定的区别和联系。
5. 在探索和合作交流的过程中，体验学习数学的乐趣，培养主动探究的精神。
（二）教学目标解析
达成目标1的标志是：学生能独立复述性质内容，并在具体图形中正确写出对应的角的关系。
达成目标2的标志是：学生能利用平行线的性质，结合对顶角、邻补角等知识，解决求角的度数或证明角相等的问题。
达成目标3的标志是：学生能通过测量、剪拼等方式提出猜想，并尝试用"反证法"或利用"判定定理"进行证明。
达成目标4的标志是：学生能在具体问题中，明确何时用性质（由平行推角相等/互补），何时用判定（由角相等/互补推平行）.
三、学生学情分析
已有基础
学生已经学习了平行线的定义、画法以及三种判定方法。
学生初步具备了一定的观察、操作和简单推理能力。
学生对"三线八角"的识别有了一定的基础。
可能困难
容易混淆平行线的性质和判定，特别是在复杂图形中。
从"判定"的正向思维转向"性质"的逆向思维存在障碍。
用严谨的数学语言进行推理和证明，对学生来说仍是难点。
辅助线的添加是后续学习的难点，本节课虽不直接要求，但需为其铺垫。
基于以上分析，确定教学难点如下：
【教学难点】平行线的性质与判定的区别，以及综合运用它们进行逻辑推理。
四、教学策略分析
1. 教学方法
启发探究式：通过设置问题链，引导学生自主探索、合作交流。
对比教学法：将性质和判定进行对比，帮助学生辨析，加深理解。
讲练结合法：教师精讲点拨，学生多练巩固，及时反馈。
2. 教学手段
利用多媒体课件展示图形、动画，增强直观性。
引导学生使用量角器、直尺等工具进行动手操作。
3. 学法指导
鼓励学生动手实践、自主探索、合作交流。
指导学生进行对比学习，梳理知识结构。
培养学生规范的解题步骤和书写格式。
五、教学过程分析
（一）复习引入
问题1：如何判断两条直线平行？（引导学生回顾判定定理）
问题2：反过来，如果知道两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角之间有什么关系呢？
分析：通过复习判定，创设"逆向思考"的情境，自然引入本节课主题，激发学生的探究欲望。设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。
（二）主动参与、感悟新知
我们已经探索过平行线的性质，下面证明它们。
定理两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
简述为：两直线平行，同位角相等。
已知：如图,直线AB//CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角。
求证：∠1=∠2。
*证明：假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2,如图7-10所示。
根据“同位角相等，两直线平行”,可知GH//CD。
又因为AB//CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行。
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾。
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2。
利用上面的定理，我们可以证明：
定理两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。
简述为：两直线平行，内错角相等。
已知：如图7-11,直线l₁//l₂,∠1和∠2是直线l₁,l₂被直线l截出的内错角。
求证：∠1=∠2。
分析：由条件l₁//l₂可以得到哪些角的等量关系，这些等量关系中的角与∠1,∠2有什么联系?
证明：∵l₁//l₂(已知),
∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等)。
又：∠2=∠3(对顶角相等),
∴∠1=∠2(等量代换)。
类似地，还可以证明：
定理两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简述为：两直线平行，同旁内角互补。
例 已知：如图7-12,b//a,c//a,∠1,∠2,∠3是直线a,b,c被直线d截出的同位角。
分析：由条件b//a,c//a可以得到哪些等量关系?为了证明b//c需要怎样的等量关系?
∴ ∠2=∠1(两直线平行，同位角相等)。
:c//a(已知),
∴∠3=∠1(两直线平行，同位角相等)。
∴∠2=∠3(等量代换)。
:b//c(同位角相等，两直线平行)。
一般地，我们有如下定理：
定理平行于同一条直线的两条直线平行。
回顾·反思
(1)回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节?
(2)对于证明思路的分析，你积累了哪些经验?
【例1】如图①所示的是大众汽车的图标，图②反映其中直线间的关系，并且AC∥BD，AE∥BF.∠A与∠B相等吗？请证明.
【解析】首先判断两个角是否相等，再根据平行线的性质说明理由即可.
【解】∠A与∠B相等.
证明：∵AC∥BD，AE∥BF（已知），
∴∠A＝∠DOE，∠DOE＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∴∠A＝∠B（等量代换），
即∠A与∠B相等.
【例2】如图，AB∥CD，∠B＝∠D.求证：AD∥BC.
【解析】根据平行线的性质得出∠B＋∠C＝180°，求出∠D＋∠C＝180°，根据平行线的判定推出即可.
【解】如图，连接BD（构造一组内错角）.
∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等）.
∵∠B＝∠D（已知），
∴∠B－∠1＝∠D－∠4（等式的性质），
即∠2＝∠3，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.
【例3】如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C＝50°，则∠AED的度数为 .
【解析】根据平行线的性质得出∠BAE＋∠AED＝180°，∠BAC＋∠C＝180°.求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，即可得出答案.
【解】115°
【例4】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，F是BC上任意一点，EF⊥AB，垂足为E，且∠1＝∠2.求证：∠B＝∠ADG.
【解析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程.
【解】∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知），
∴∠CDE＝∠FEB＝90°（垂直的定义），
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BCD（两直线平行，同位角相等）.
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠BCD＝∠1（等量代换），
∴DG∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠ADG（两直线平行，同位角相等）.
（三）课堂总结
1、本节课研究了什么问题？
2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？
3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？
【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。
（四）布置作业、巩固提高
1.如图所示，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为（ ）
A.140°B.60°
C.50°D.40°
2.如图所示，AB∥ED.若∠A＝135°，∠ACD＝80°，则∠CDE的度数为 .