四川省德阳市2026年八年级下学期月考数学试题附答案

这是一份四川省德阳市2026年八年级下学期月考数学试题附答案，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1，B．1.5，2，2.5C．4，5，6D．5，12，13
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．，，B．
C．D．
5．如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面米处折断，大树顶部落在距离大树底部米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（ ）
A．B．C．D．
7．若，则化简的结果是（ ）
A．B．C．5D．
8．如果直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边的长是（ ）
A．7B．5C．D．5或
9．下图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为( )
A．B．C．D．
10．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的外壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）
A．B．C．D．
11．在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为(4，0)，点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形后，点B落在平面内点B'处，则B'点坐标为( )
A．B．
C．D．
12．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，以三边长分别为3，4，5的四个直角三角形拼成一个正方形，以为边再作一个正方形，连结，，则的面积为（ ）
A．B．7C．D．
二、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分）
13．式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
14．观察下列数据，寻找规律：0，，，，，，，…，那么第10个数据应是 ．
15．如图，一个梯子长米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在上的位置上，如图，测得的长米，则梯子底端向右滑动了 米．
16．已知，，则 ．
17．如图，在中，，，，的平分线交于点，则 ．
18．如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为
三、解答题（本大题共7小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
20．如图，在中，，点，分别是，上的点，连接并延长交的延长线于点，，，．
（1）求证：；
（2）求证：是等腰三角形．
21．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积．
（1）三角形三边长分别为9，10，11；
（2）三角形三边长分别为，，．
22．已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）
23．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点A，B的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
（1）海港受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
24．已知：如图，在中，，，的周长为30．
（1）证明：是直角三角形；
（2）过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点．证明：．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
答案
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、1.5，2.5不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、，不是勾股数，不符合题意；
D、因为，所以5，12，13是勾股数，符合题意．
故答案为：D．
【分析】若三个正整数满足：较小两个数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数就是一组勾股数，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故该选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由二次根式性质“”可判断A选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断B选项；由积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘及二次根式性质“”，可判断C选项；由分母有理化运算即可判断D选项.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设，则，，
∵，
∴，解得
∴，，，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，该三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形内角和定理求出三角形中最大内角的度数，由有一个角为直角的三角形就是直角三角形，可判断C、D选项.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=1-（-1）=2，BC=1，
∴AC=，
∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P，
∴AP=AC=，
∴点P表示的数是，
故答案为：A．
【分析】本题先根据数轴上的两点间的位置，可以先求出AB的长，然后放到直角三角形ABC中，根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP=AC，即可得出答案．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，，，
由勾股定理得：，
∴这棵树折断之前的高度为，
故答案为：．
【分析】在Rt△ABC中，先根据勾股定理算出AB，然后根据树折断之前的高度等于AC+AB可求出答案.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：，
，，
，
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质先化简二次根式，再根据一个正数的绝对值等于其本身，一个负数的绝对值等于其相反数化简绝对值，最后合并同类项即可.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：当4为直角边时，斜边为；
当4为斜边时，另一边为：；
故答案为：D．
【分析】分①第三边是斜边，长度为3与4的边为直角边，②第三边是直角边，长度为4的边是斜边两种情况，分别根据勾股定理计算即可.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：在中，根据勾股定理得：
，即，
沿折叠，使点A与点B重合，
，
，，，
，，
在中，根据勾股定理得：
，即，
解得：，
在中，根据勾股定理得：
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC中，先根据勾股定理算出AB=10cm；由折叠得AD=BD，AE=BE=5cm，∠BED=∠AED=90°，在Rt△ACD中，利用勾股定理建立方程可求出BD的长，最后在Rt△NDE中，利用勾股定理算出DE的长即可.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，将杯子侧面展开，作点E关于点C的对称点F，连接AF，则AF 的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 ，
由题意得，，CE=CF=2cm，，BC=10cm，
∴BF=BC+CF=12cm
∴，
∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm，
故答案为：A．
【分析】将杯子侧面展开， 作点E关于点C的对称点F，连接AF，则AF 的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 ， 利用勾股定理求出AF即可．
11．【答案】B
【解析】【解答】解：过点B'作B'D⊥OC于点D，
∵A（4，0），
∴OA=4，
∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC=4，∠BCO=∠B=90°，
∵∠BPC=60°，
∴∠BCP=30°，
由折叠得B'C=BC=4，∠B'CP=∠BCP=30°，
∴∠B'CD=90°-∠BCP-∠B'CP=30°，
∴，
∴，
∴，
∴点B'的坐标为
故答案为：B．
【分析】过点B'作B'D⊥OC于点D，由点A的坐标得出OA=4，根据正方形的性质得出OA=OC=4，∠BCO=∠B=90°，由直角三角形两锐角互余求出∠BCP=30°， 由折叠得B'C=BC=4，∠B'CP=∠BCP=30°，根据角的构成推出∠B'CD=90°-∠BCP-∠B'CP=30°，由含30°角直角三角形的性质求出B'D=B'C=2，然后利用勾股定理算出CD的长，进而根据OD=OC-CD算出OD的长，从而即可求出点B'的坐标.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：过点H作于点K，如图所示∶
依题意得∶，
，
，
∴正方形的边长为1，即，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，，，
由勾股定理得∶
在中，，，
由勾股定理得∶，
设，
则，
在中，
由勾股定理得：，
在，由勾股定理得：
，
∴，
解得：，
∴，
∴的面积为：，
故答案为∶C．
【分析】过点H作于点K，由全等三角形的对应边相等、线段的和差及正方形性质得出EH=HG=1，EC=4，DG=3及CD=5，先利用勾股定理分别求出CH、DH的长，设DK+x，则CK=CD-DK=5-x，在Rt△DHK与Rt△CHK中利用勾股定理表示出KH2，即可构建出关于字母x的方程，求解得出x的值，进而再在Rt△HDK中，利用勾股定理算出KH，最后根据三角形面积公式列式计算即可求出△CDH的面积.
13．【答案】x≥3
【解析】【解答】由题意可得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．【答案】
【解析】【解答】解：由题意得这一列数据为：0，，，，，，，…
即0，，，，，，…，
∴第n个数据为，
∴第10个数据为，
故答案为：．
【分析】观察这列数的符号发现奇正偶负，从而得该数列的符号规律可表示为(-1)n-1，其中n为项数；将这列数的绝对值整理可得从而可得第n项的绝对值等于，综上得该列数第n个数据为，最后将n=10代入计算可得答案.
15．【答案】
【解析】【解答】解：中，
中，，
，
；
故答案为：．
【分析】在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长，由线段和差求出CE的长，由题意易得AB=ED=25米，在Rt△CED中用勾股定理可得CD的长，最后再根据BD=CD-CB进而算出答案.
16．【答案】3
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故答案为：3．
【分析】先根据同分母分式加法法则求出a+b的值，然后利用完全平方公式将待求式子分解因式，最后整体代入计算可得答案.
17．【答案】​​​​​​​
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵，是的角平分线，
∴，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于点，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=EF，由等腰三角形的三线合一得，再由勾股定理得CD=4，然后由根据三角形的面积公式，由S△BDC=S△BDE+S△BCE建立方程，求解即可得出DE的长.
18．【答案】10
【解析】【解答】解：连结，，，
正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点，
直线即为的垂直平分线，
，
，
∵BN+MN≥BM，
∴BN+MN的最小值为BM，
正方形的边长为8，且，
，，，
，
的最小值为10．
故答案为：10．
【分析】连结BD，BN，BM，由轴对称的性质得BN=DN，DN+MN=BN+MN，根据三角形三边关系得BN+MN≥BM，故 BN+MN的最小值为BM， 根据正方形的性质得BC=CD=8，∠BCD=90°，由线段和差求出CM=6，进而根据勾股定理求出BM的长即可得出答案.
19．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【解析】【分析】（1）先根据负整数指数幂法则“”、零指数幂法则“”、绝对值性质及二次根式性质分别化简，然后计算实数的加减法运算即可得出答案；
（2）先根据二次根式的乘法法则及二次根式的性质分别化简，然后再合并同类二次根式即可；
（3）先利用完全平方公式以、平方差公式分别展开括号，同时根据二次根式性质分别化简，最后 计算实数的加减法运算即可得出答案；
（4）先将括号里面二次根式分别化简，然后合并括号内的同类二次根式，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，最后计算二次根式的乘法得出答案.
（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
20．【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（）得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【解析】【分析】（）根据勾股定理的逆定理判断出，根据垂线的定义即可求证；
（）由，则，通过直角三角形的两锐角互余可得，，由等边对等角得，从而根据等角的余角相等得出，再结合对顶角相等得，然后由等腰三角形的判定即可求证.
（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（）得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
21．【答案】（1）解：因为三角形的三边是整数，所以可以选用海伦公式计算面积．
，
．
（2）解：因为三角形的三边是无理数，平方后可得整数，所以可选秦九韶公式计算．
，，，
【解析】【分析】（1）海伦公式与秦九韶公式都适用于知道三角形的三边，求面积的计算，观察两个公式发现海伦公式更适用于边长为整数的情况，故先计算出半周长，再代入公式求面积即可；
（2）三角形的三边是无理数，平方后可得整数，故可选秦九韶公式计算即可．
（1）解：因为三角形的三边是整数，所以可以选用海伦公式计算面积．
，
．
（2）解：因为三角形的三边是无理数，平方后可得整数，所以可选秦九韶公式计算．
，，，
．
22．【答案】（1）解：，，
∴，
=42-1
，
的值为15；
（2）解：
=1×4
，
的值为4．
【解析】【分析】（1）先根据实数加法法则算出x+y的值，根据二次根式乘法法则及平方差公式求出xy的值，然后将待求式子利用配方法变形为(x+y)2-xy，然后整体代入计算即可得出答案；
（2）将待求式子利用提取公因式法分解因式后，然后整体代入计算即可得出答案．
（1）解：，，
，
的值为15；
（2）
，
的值为4．
23．【答案】（1）解：海港受台风影响，理由如下：
如图，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，
∵，
∴海港受台风影响．
（2）解：以点C为圆心，50KM为半径画弧交AB于点E、F，则CE=CF=50km，则台风在线段EF上运动时，台风正好影响海港，
∴，
∴，
∵台风的速度为，
∴，
答：台风影响该海港持续的时间为．
【解析】【分析】（1）海港受台风影响，理由如下：过点作于点，先利用勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，再利用三角形的面积公式，由等面积法建立方程求出CD的长，将CD的长度与50km比较大小即可得出结论；
（2） 以点C为圆心，50km为半径画弧交AB于点E、F，则CE=CF=50km，则台风在线段EF上运动时，台风正好影响海港， 利用勾股定理求出DE=DF=14km，可得EF的长，再利用EF的长度除以台风的速度即可得答案．
（1）解：海港受台风影响，理由如下：
如图，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，
∵，
∴海港受台风影响．
（2）解：如图，当时，台风正好影响海港，
∴，
∴，
∵台风的速度为，
∴，
答：台风影响该海港持续的时间为．
24．【答案】（1）证明：，，的周长为30，
，
，，
，
是直角三角形且∠ACB=90°；
（2）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
于点，
，
，
∴ ∠B=∠ACD，
，
，
，
是的平分线，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先根据三角形周长计算公式算出BC的长，然后根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形；
（2）由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠B=∠ACD，由等边对等角得，则，而，由角平分线的定义得，根据角的和差关系即可得出.
（1）证明：，，的周长为30，
，
，，
，
是直角三角形．
（2）证明：，
，
于点，
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
．
25．【答案】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2−AC2＝102−62＝64，
∴BC＝8（cm）；
（2）由题意知BP＝2tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t−8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝62＋（2t−8）2，
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，
即：102＋[62＋（2t−8）2]＝（2t）2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t−8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，
所以（2t）2＝62＋（2t−8）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
【解析】【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；（2）由路程、速度、时间三者的关系得出BP=2tcm，然后分类讨论：①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，从而可得方程求出t的值；②当∠BAP为直角时， BP＝2tcm，CP＝（2t−8）cm，在Rt△ACP中，根据勾股定理用含t的式子表示出AP2，进而在Rt△BAP中，利用勾股定理建立方程可求出t的值，综上可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，分三种情况：①当AB＝BP时，直接根据路程、速度、时间三者的关系求出t；②当AB＝AP时，根据等腰三角形对称性得出BP=2BC，再根据路程、速度、时间三者的关系求出t；③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t−8|cm，在Rt△ACP中，利用勾股定理建立方程可求出t的值，综上可得答案.