四川省成都市2026年八年级下学期月考数学试卷附答案

这是一份四川省成都市2026年八年级下学期月考数学试卷附答案，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的D．缩小为原来的
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
B．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形
C．如果，那么，
D．三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
6．如图，在中，是边上一点，，连接，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ）
A．与坐标轴围成的面积为，
B．函数图象与轴的交点坐标为，
C．函数图象可由函数的图象向上平移个单位长度得到，
D．函数图象经过第二、三、四象限，
8．某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）
9．若式子的值为0，则a的值为 ．
10．若关于x的不等式的解集如图所示，则 ．
11．如图，等边中，D为中点，，，则线段的长度为 ．
12．如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
13．如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ．
三、解答题（共5小题，共48分）
14．（1）因式分解：；
（2）解不等式组：；
（3）解方程：；
（4）解方程：．
15．先化简，再求值：；请在以下四个数：，，，中，选择一个适当的数作为的值，并求出代数式的值．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，解答下列问题：
（1）将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位得到，作出并写出三个顶点的坐标；
（2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出；
（3）若将绕某一点旋转可得到，在图中作出该点并写出旋转中心的坐标 ．
17．古代护城河上有座吊桥，图是它的结构原理图，图是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴点在竖直平面内转动，在点正上方固定一个定滑轮，绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且．某人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为．
（1）若，，求从到定滑轮，再到点拉着的绳长（结果保留根号）；
（2）若的长为，比长，求桥面的宽．
18．已知，中，，，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边．
（1）如图，若，平分，求的长；
（2）如图，点是的中点，的延长线交于点，求证：；
（3）若为射线上一动点，在（）的条件下，连接，当为等腰三角形时，直接写出的度数．
四、填空题（共5小题，每题4分，共20分）
19．若，，则的值为 ．
20．关于x的分式方程 无解，则m＝ .
21．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=4cm，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A'BC'，则阴影部分的面积为 ．
22．在平面直角坐标系中，已知顶点坐标分别为点、，，l1是过点与x轴垂直的直线．若直线上存在点Q，使点Q关于直线l1的对称点在的内部或边上，则b的取值范围是 ．
23．如图，等边中，，O是上一点，且，点M为边上一动点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为 ．
五、解答题（共30分）
24．综合与实践：随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车（电车）逐渐受到人们的青睐．小聪家计划购买新车，正在考虑购买油车还是电车．小聪通过市场调查，获取了以下信息：
信息一：燃油车的油箱容积为50升，油价：7.6元/升，续航里程（加满一箱油可持续行驶的里程）为千米，每千米行驶费用：元；
信息二：新能源车同样行驶千米时，需要耗费电池的电量为70千瓦时，电价为0.5元/千瓦时，每千米行驶费用：①_________元；
信息三：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
解决问题：
（1）根据信息二，用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用①是_____元；
（2）分别求出这两款车的每千米行驶费用的具体数值；
（3）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？请你帮小聪给出购车建议．（年费用=年行驶费用+年其它费用）
25．如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴和y轴于A，B两点，点C的坐标为，连接．
（1）直接写出点B的坐标及直线的函数表达式；
（2）连接，若的面积为6，求k的值；
（3）在第一象限内的直线上取一点D，连接，当是等腰直角三角形时，求点D的坐标．
26．如图，在中，，，，，．
（1）如图，连接，，当时，求的面积；
（2）如图，点在线段上，连接，点在线段上，连接，当时，求线段，，的关系；
（3）点在射线上，连接，点在线段上，连接，且，连接，取的中点，连接，若，当最小时，求出的面积．
答案
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故A项不合题意；B．该图形是轴对称图形，是中心对称图形，故B项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C项不合题意；
D．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D项不合题意；
故选：B．
【分析】根据轴对称图形的概念与中心对称的概念逐一判断即可作答．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、，该项错误，故A项不符合题意；
B、，该项正确，故B项符合题意；
C、，不是因式分解，此选项错误，故C项不符合题意；
D、，无法分解因式，此选项错误，故D项不符合题意；
故选：B．
【分析】直接利用提取公因式法和公式法分解因式，即可求得．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，原计算错误，该选项不符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、，正确，该选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】 分式的分子与分母同乘或同除以同一个非零整式，分式的值不变 ，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：因为分式中，x、y都扩大2得到，
而=•
所以分式中，x、y都扩大2倍，分式的值缩小为原来的．
故选：C．
【分析】由于分式中的x、y同时扩大为原来的2倍可得到，根据分式的基本性质得到=•，所以分式中，x、y都扩大2倍，分式的值缩小为原来的．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，是真命题，故A项不符合题意；
B、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，是真命题，故B项不符合题意；
C、如果，那么，或，，原命题假命题，故C项符合题意；
D、三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，是真命题，故D项符合题意；
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理、等边三角形的判定和角平分线的性质逐一判断即可．
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，，根据等腰三角形的性质得出，即可求得．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：当时，；当时，；
∴与x轴的交点为，与y轴的交点为，
∴与坐标轴围成的面积为，
A项说法错误，故A项不符合题意；
B项说法错误，故B项不符合题意；
、函数图象可由函数的图象向下平移个单位长度得到，C项说法错误，故C项不符合题意；
、函数图象经过第二、三、四象限，D项说法正确，故D项符合题意；
故选：．
【分析】根据一次函数的性质和平移变换规律之一判断分析，即可求得.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：由原计划每间宿舍住x名学生，原来所用房间数为，实际所用房间数为．
∴所列方程为．
故答案为：C．
【分析】由原计划每间宿舍住x名学生，原来所用房间数为，实际所用房间数为，根据“工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍”列方程即可．
9．【答案】-1
【解析】【解答】解：根据题意可知，
且，
解得．
故答案为：-1．
【分析】根据分式值为零的条件：分母不为零且分子为零，列出关于字母a的混合组，求解即可.
10．【答案】7
【解析】【解答】解：解不等式得：，
由数轴得不等式的解集为：，
∴，
解得：，
故答案为：7．
【分析】由题意，先解不等式得，根据数轴得该不等式的解集为，然后可得关于m的方程，解方程即可求解．
11．【答案】​​​​​​​
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，D为中点，，
∴，，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：.
【分析】根据等边三角形的性质可得，，，再由勾股定理可求得BD的值，然后根据直角三角形的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”即可求解．
12．【答案】
【解析】【解答】解：由图象得，当时，直线的图象在直线的图象下方，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，再结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
13．【答案】
【解析】【解答】解：由作图可知是的垂直平分线，
，CE=BE，
，
∴∠ADC=∠DCB+∠B=50°.
，CE=BE，
∴，
∴∠EAB=∠B=25°，
∴∠APC=∠EAB+∠ADC=25°+50°=75°.
故答案为：．
【分析】由作图可知，可得，继而可利用外角性质得∠ADC的度数；再根据直角三角形斜边上中线的性质可得AE=CE=BE，可得∠EAB=∠B=25°，再利用外角的性质即可得到答案．
14．【答案】解：（1）；
（2），
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴原不等式组的解集为；
（3），
去分母得，，
解得，，
检验，当时，，
∴原方程的解为；
（4），
去分母得，，
解得，，
检验：当时，，
∴原方程无解．
【解析】【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，在求其公共部分，即可求得；
（3）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求得；
（4）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求得．
15．【答案】解：，
，
，
，
∵分母与除数不为零，
∴且，
∴，
∴原式．
【解析】【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，再根据分式有意义的条件确定的值，代入计算求值即可．
16．【答案】（1）解：如图1即为所求；
由图可知，，，；
（2）解：绕点O按顺时针方向旋转得到，如图即为所求；
（3）
【解析】【解答】解：（3）解：如图，连接，，再分别作出线段，的垂直平分线，点P即为所求的旋转中心，
∴旋转中心的坐标为，
故答案为：．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）连接，，再分别作出线段，的垂直平分线，交点即为所求.
（1）解：如图1即为所求；
由图可知，，，；
（2）解：绕点O按顺时针方向旋转得到，如图即为所求；
（3）解：如图，连接，，再分别作出线段，的垂直平分线，点P即为所求的旋转中心，
∴旋转中心的坐标为，
故答案为：．
17．【答案】（1）解：由题意知，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴从到定滑轮，再到点拉着的绳长为；
（2）解：由（）可得，，，
设AB=BC=x m，
∴，，
∴，即，
解得，，
∴桥面的宽为．
【解析】【分析】（）由题意知，，根据勾股定理求出，，即可求得；
（）设AB=xm，可得CF和CD的长，根据勾股定理列出方程即可求得.
（1）解：由题意知，，
∴，
∵，
∴，
由题意可知：四边形是矩形，
∴，
由题意知：，
∴，
∴，
∴，
∴从到定滑轮，再到点拉着的绳长为；
（2）解：由（）知，，
∴，
∵比长，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴桥面的宽为．
18．【答案】（1）解： ∵，，∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴的长为；
（2）证明：连接，在上截取，连接， 如图，
∵，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：的度数为或．
【解析】【解答】解：（3）当点在的延长线上时，如图，
∵中，，，点是的中点，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴平分，
∴，
当点在边上时，如图，
由（）知，，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴点是的中点，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，即点是的中点，
即点重合，
在和中，
，
∴，
∴，
即；
综上所述，的度数为或．
【分析】（）利用直角三角形的性质和等边三角形的性质即可求得答案；
（）连接，在上截取，连接，利用证明，可得，，进而证明，可得，即可证得结论；
（）分两种情况：当点在的延长线上时，当点在边上时，分别求出的度数即可．
（1）解： ∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴的长为；
（2）证明： 如图，连接，在上截取，连接，
∵，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点在的延长线上时，如图，
∵中，，，点是的中点，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴平分，
∴，
当点在边上时，如图，
由（）知，，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴点是的中点，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，即点是的中点，
即点重合，
在和中，
，
∴，
∴，
即；
综上所述，的度数为或．
19．【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】提公因式进行化简，再整体代入即可求出答案.
20．【答案】
【解析】【解答】去分母得mx-8=2(x-2)
得mx=2x+4，
∵方程无解，∴m=2，
方程有增根x=0，或x=2，代入解出m=4，
∴
【分析】先根据分式方程的解法去掉分母，再代入增根x=2或x=0，分别求出m的值.
21．【答案】4
【解析】【解答】解： 设AC与BA'相交于D，如图，
∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A'BC'，
∴∠ABA'=45°，BA'=BA=4，△ABC≌△A'BC'，
∴S△ABC=S△A'BC'，
∵S四边形AA'C'B=S△ABC+S阴影部分=S△A'BC'+S△ABA'，
∴S阴影部分=S△ABA'，
∵∠BAC=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴∠ADB=90°，AD=AB=2，
∴S△ABA'=AD•BA'=×2×4=4（cm2），
∴S阴影部分=4cm2．
故答案为：4．
【分析】 设AC与BA'相交于D，如图，由旋转的性质得∠ABA'=45°，BA'=BA=4，△ABC≌△A'BC'，由全等三角形的面积相等得出S△ABC=S△A'BC'，从而利用割补法可推出S阴影部分=S△ABA'；易得△ADB为等腰直角三角形，且∠ADB=90°，由等腰直角三角形性质算出AD的长，进而根据直角三角形面积计算公式计算出△ABA'的面积即可.
22．【答案】
【解析】【解答】解：∵点，是过点与x轴垂直的直线，
∴关于直线的对称点为关于直线的对称点为，
如图，当经过点时，则，
解得，
当直线经过点时，则，解得，
故由图形可知，若直线上存在点，使点关于直线的对称点在的内部或边上，
则的取值范围是．
故答案为：．
【分析】易得点B、C关于直线l1对称的点B'、C'的坐标分别为(-1，0)，(1，4)，然后将B'、C'的坐标分别代入直线y=x+b求出b的值，结合图形即可得出b的取值范围.
23．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点N作于点D，过点O作于点H，则，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
根据题意得，，，
∴，
∴，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的左侧，与的距离是，
作点C关于该直线的对称点E，连接交该直线于N，
即当点B，N，E三点共线时，的周长最小，连接交该直线于G，则，，
∴，
∴△ACN的周长的最小值为，
故答案为：．
【分析】过点N作于点D，过点O作于点H，则，根据AAS证明得，从而确定点N的运动轨迹是直线，与平行，且距离是，作点C关于该直线的对称点E，连接交该直线于N， 即当点B，N，E三点共线时，的周长最小，连接交该直线于G，则，，根据勾股定理即可求得.
24．【答案】（1）
（2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
（3）解：设每年行驶里程为，
由题意得，，
解得，
即当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
建议：如果每年行驶里程超过大于买新能源车，如果每年行驶里程小于买燃油车，如果每年行驶里程等于买新能源车和燃油车都可以．
【解析】【解答】（1）解：新能源车的每千米行驶费用是（元），
故答案为：；
【分析】（1）根据单价=总价÷路程，即可求得；
（2）根据“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元”列分式方程，解方程并检验即可求得；（3）根据设每年行驶里程为，根据燃油车费用高于新能源车列不等式，解不等式，再根据求出的答案提出建议即可．
（1）解：新能源车的每千米行驶费用是（元）
故答案为：
（2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
（3）解：设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
即当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
建议：如果每年行驶里程超过大于买新能源车，如果每年行驶里程小于买燃油车，如果每年行驶里程等于买新能源车和燃油车都可以．
25．【答案】（1）解：，直线的函数表达式为；
（2）解：设交轴于，如图：
在中，令得，
，
的面积为6，，，
，
，
当在右侧时，，
，
解得；
当在左侧时，，
，
解得；
的值为或2；
（3）解：设，
当B为直角顶点时，过作轴于，过作轴于，如图∶
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图：
同理可得，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图：
同理可得，
，，
，
解得，
．
综上所述，的坐标为或或．
【解析】【解答】（1）解：在中，令得，
，
设直线的函数表达式为，
把，代入得：，
解得，
直线的函数表达式为；
【分析】（1）令中的，算出对应的y的值即可得出点B的坐标；再用待定系数法可得直线BC的函数表达式为；
（2）设交轴于，令直线BC解析式中的y=0算出对应的x的值，可求得点K的坐标；根据S△ABC=S△ABK+S△AKC结合三角形面积公式建立方程求解得出AK=3；分当A点在K的右侧与左侧两种情况，结合x轴上点的坐标特点可求出点A的坐标，进而将点A的坐标代入y=kx+3即可算出k的值；
（3）设，分类讨论：当为直角顶点时，过作轴于，过作轴于，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等得∠DBE=∠BCF，从而由“AAS”证明△DBE≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得DE=BF，BE=CF，可得，故；当C为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得；当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，同理可得△BMD≌△DNC，由全等三角形的对应边相等得BM=DN，DM=CN，可得，故D（3，2）.
（1）解：在中，令得，
，
设直线的函数表达式为，
把，代入得：，
解得，
直线的函数表达式为；
（2）解：设交轴于，如图：
在中，令得，
，
的面积为6，，，
，
，
当在右侧时，，
，
解得；
当在左侧时，，
，
解得；
的值为或2；
（3）解：设，
当B为直角顶点时，过作轴于，过作轴于，如图∶
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图：
同理可得，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图：
同理可得，
，，
，
解得，
．
综上所述，的坐标为或或．
26．【答案】（1）解：过点作于点，连接，
如图，
在中，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：如图，延长交于点，连接，，
∵，
即，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（）知：是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，取的中点，连接，，，，
由（）知：，
∵点是的中点，，
∴，，
∴，
设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点在射线上运动，
∴当时，取得最小值，
如图，过点作于点，过点作于点，
则，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（）过点作于点，连接，根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出，进而可得，结合已知线段的长度及勾股定理分别求得，，即可求得答案；
（）延长交于点，连接，，可证得，，进而得出，根据是等腰直角三角形，则，得出；
（）根据题意得出点在射线上运动，当时，取得最小值，进而证明，再求得，即可求得答案．
（1）解：过点作于点，连接，如图，
在中，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，延长交于点，连接，，
∵，
即，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（）知：是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，取的中点，连接，，，，
由（）知：，
∵点是的中点，，
∴，，
∴，
设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点在射线上运动，
∴当时，取得最小值，
如图，过点作于点，过点作于点，
则，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．