2025-2026学年河南省许昌市高三下学期一模考试数学试题（含答案解析）

这是一份2025-2026学年河南省许昌市高三下学期一模考试数学试题（含答案解析），共7页。试卷主要包含了函数的值域为，集合的真子集的个数是等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
2．设双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（c,0）（c＞0），且离心率等于，若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．若θ是第二象限角且sinθ =，则=
A．B．C．D．
4．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ）
A．400米B．480米
C．520米D．600米
5． “”是“函数的图象关于直线对称”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
7．若实数满足的约束条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．甲乙两人有三个不同的学习小组， ， 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．集合的真子集的个数是（ ）
A．B．C．D．
11．设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
12．设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_______．
14．设，则______.
15．已知为双曲线的左、右焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线的右支相交于点，若是上的一个靠近点的三等分点，且，则四边形的面积为_______．
16．将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线距离的最小值和最大值.
18．（12分）已知在中，内角所对的边分别为，若，，且.
（1）求的值；
（2）求的面积.
19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）若，求曲线与的交点坐标；
（2）过曲线上任意一点作与夹角为45°的直线，交于点，且的最大值为，求的值.
20．（12分）已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围
21．（12分）已知，，函数的最小值为.
（1）求证：；
（2）若恒成立，求实数的最大值.
22．（10分）在平面直角坐标系中，，，且满足
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过，作直线交轨迹于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
直接代入检验，排除其中三个即可．
【详解】
由题意，排除D，，排除A，C．同时B也满足，，，
故选：B．
本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解．
2．C
【解析】
由题得，，又，联立解方程组即可得，，进而得出双曲线方程.
【详解】
由题得 ①
又该双曲线的一条渐近线方程为，且被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为2，
所以 ②
又 ③
由①②③可得：，，
所以双曲线的标准方程为.
故选：C
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.
3．B
【解析】
由θ是第二象限角且sinθ =知：，．
所以．
4．B
【解析】
根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.
【详解】
设第一展望台到塔底的高度为米，塔的实际高度为米，几何关系如下图所示：
由题意可得，解得；
且满足，
故解得塔高米，即塔高约为480米.
故选：B
本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.
5．A
【解析】
先求解函数的图象关于直线对称的等价条件，得到，分析即得解.
【详解】
若函数的图象关于直线对称，
则，
解得，
故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件．
故选：A
本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
6．A
【解析】
由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】
，，，
因此，函数的值域为.
故选：A.
本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.
7．B
【解析】
根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围.
【详解】
实数满足的约束条件，画出可行域如下图所示：
将线性目标函数化为，
则将平移，平移后结合图像可知，当经过原点时截距最小，；
当经过时，截距最大值，，
所以线性目标函数的取值范围为，
故选：B.
本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.
8．A
【解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.
9．C
【解析】
根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.
【详解】
因为圆心，半径，直线与圆相交，所以
，解得
所以相交的概率,故选C.
本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.
10．C
【解析】
根据含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，计算可得；
【详解】
解：集合含有个元素，则集合的真子集有（个），
故选：C
考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，属于基础题．
11．B
【解析】
设，根据复数的几何意义得到、的关系式，即可得解；
【详解】
解：设
∵，∴，解得.
故选：B
本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.
12．B
【解析】
由圆过原点，知中有一点与原点重合，作出图形，由，，得，从而直线倾斜角为，写出点坐标，代入抛物线方程求出参数，可得点坐标，从而得三角形面积．
【详解】
由题意圆过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为，如图，
由于，，∴，∴，，
∴点坐标为，代入抛物线方程得，，
∴，．
故选：B.
本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点是其中一个交点，从而是等腰直角三角形，于是可得点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最小值为，确定出的值，进而确定出C点坐标，结合目标函数几何意义，从而求得结果.
【详解】
先做的区域如图可知在三角形ABC区域内，
由得可知，直线的截距最大时，取得最小值，
此时直线为，
作出直线，交于A点，
由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A点，
由，得，代入，得，
所以点C的坐标为．
等价于点与原点连线的斜率，
所以当点为点C时，取得最小值，最小值为，
故答案为：.
该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目.
14．121
【解析】
在所给的等式中令，,令，可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求.
【详解】
令，得，令，得，两式相加，得，所以.
故答案为:.
本题主要考查二项式定理的应用,考查学生分析问题的能力,属于基础题,难度较易.
15．60
【解析】
根据题中给的信息与双曲线的定义可求得与,再在中,由余弦定理求解得,继而得到各边的长度,再根据计算求解即可.
【详解】
如图所示：设双曲线的半焦距为.
因为,,,所以由勾股定理,得.
所以.
因为是上一个靠近点的三等分点,是的中点,所以.
由双曲线的定义可知：,所以.
在中,由余弦定理可得
,所以,整理可得.
所以,解得.所以.
则.则,得.
则的底边上的高为.
所以
.
故答案为：60
本题主要考查了双曲线中利用定义与余弦定理求解线段长度与面积的方法,需要根据双曲线的定义表示各边的长度,再在合适的三角形里面利用余弦定理求得基本量的关系.属于难题.
16．
【解析】
根据图像的平移变换得到函数的解析式，再利用整体思想求函数的值域.
【详解】
函数的图像向右平移个单位得，
，
，
.
故答案为：.
本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意整体思想的运用.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）最大值；最小值.
【解析】
（1）结合极坐标和直角坐标的互化公式可得；
（2）利用参数方程，求解点到直线的距离公式，结合三角函数知识求解最值.
【详解】
解：（1）因为，代入，可得直线的直角坐标方程为.
（2）曲线上的点到直线的距离
，其中，.
故曲线上的点到直线距离的最大值，
曲线上的点到直线的距离的最小值.
本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及最值问题，椭圆上的点到直线的距离的最值求解优先考虑参数方法，侧重考查数学运算的核心素养.
18．（1）；（2）
【解析】
（1）将代入等式，结合正弦定理将边化为角，再将及代入，即可求得的值；
（2）根据（1）中的值可求得和，进而可得，由三角形面积公式即可求解.
【详解】
（1）由，得，
由正弦定理将边化为角可得，
∵，
∴，
∴，化简可得，
∴解得.
（2）∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
本题考查了正弦定理在边角转化中的应用，正弦差角公式的应用，三角形面积公式求法，属于基础题.
19．（1），；（2）或
【解析】
（1）将曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线与的交点坐标；
（2）由直线的普通方程为，故上任意一点，根据点到直线距离公式求得到直线的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案.
【详解】
（1），
.
由，得，
曲线的直角坐标方程为.
当时，直线的普通方程为
由解得或.
从而与的交点坐标为，.
（2）由题意知直线的普通方程为，
的参数方程为（为参数）
故上任意一点到的距离为
则.
当时，的最大值为所以；
当时，的最大值为，所以.
综上所述，或
解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
20．（1）.
（2）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．
试题解析：
（1）不等式等价于或
或，解得或，
所以不等式的解集是；
（2），，
，解得实数的取值范围是．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
21．（1）见解析；（2）最大值为.
【解析】
（1）将函数表示为分段函数，利用函数的单调性求出该函数的最小值，进而可证得结论成立；
（2）由可得出，并将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，进而可得出实数的最大值.
【详解】
（1）.
当时，函数单调递减，则；
当时，函数单调递增，则；
当时，函数单调递增，则.
综上所述，，所以；
（2）因为恒成立，且，，所以恒成立，即.
因为，当且仅当时等号成立，
所以，实数的最大值为.
本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
22．（1）．（2）的方程为．
【解析】
（1）令，则，由此能求出点C的轨迹方程．
（2）令，令直线，联立，
得，由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方程。
【详解】
解：（1）因为，即直线的斜率分别为且，
设点，则，
整理得.
（2）令，易知直线不与轴重合，
令直线，与联立得，
所以有，
由，故，即，
从而，
解得，即。
所以直线的方程为。
本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题。